【正文】 不必事先支付成本，但不利之處在于公司要承擔(dān)簽署某個(gè)互換協(xié)議的義務(wù)。當(dāng)互換期權(quán)以剛才所描述的方式使用時(shí)，互換期權(quán)為公司提供了擔(dān)保，即保證在某個(gè)未來(lái)時(shí)間內(nèi)公司為某個(gè)貸款所支付的固定利率將不會(huì)超過(guò)某個(gè)水平。如果6個(gè)月后發(fā)現(xiàn)常規(guī)的5年期的固定利率小于年率12％，則公司將不執(zhí)行互換期權(quán)而選擇按通常的方式簽署一項(xiàng)互換協(xié)議。我們舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)明互換期權(quán)是如何使用的，某公司在6個(gè)月后要簽署一個(gè)5年期浮動(dòng)利率貸款協(xié)議，每6個(gè)月重新設(shè)定一次利率，它希望將浮動(dòng)利息支付方式換成固定利息支付方式以使該貸款轉(zhuǎn)化為固定利率貸款。它給予持有者一個(gè)在未來(lái)某個(gè)確定時(shí)間進(jìn)行某個(gè)確定的利率互換的權(quán)利（當(dāng)然持有者并不是必須執(zhí)行這個(gè)權(quán)利）。歐洲美元期貨期權(quán)非常類似于利率期權(quán)元，人們經(jīng)常將基于3個(gè)月期LIBOR的利率期權(quán)元所隱含的遠(yuǎn)期的遠(yuǎn)期波動(dòng)率與從歐洲美元期貨價(jià)格中計(jì)算的波動(dòng)率進(jìn)行比較。經(jīng)紀(jì)人所報(bào)出的波動(dòng)率通常是單一波動(dòng)率。另一種方法是對(duì)所有的組成任何特定利率上限的利率期權(quán)元都使用相同的波動(dòng)率，但按利率上限有效期限的不同來(lái)改變這個(gè)波動(dòng)率。對(duì)于方程中的波動(dòng)率，一種方法是對(duì)每個(gè)利率期權(quán)元使用不同的波動(dòng)率測(cè)度。由于 所以利率期權(quán)元的價(jià)格是：即＄。假設(shè)一年后開(kāi)始的3個(gè)月期遠(yuǎn)期利率是年率7％（每季計(jì)復(fù)利一次）；％（每季計(jì)復(fù)利一次）；而且利率期權(quán)元所依附的3個(gè)月期利率的波動(dòng)率度量為20％。考慮一個(gè)貸款金額為＄10,000，一年后開(kāi)始的，把上限利率限定在年度8％（每季計(jì)復(fù)利一次）的3個(gè)月期貸款合約。從（）式得到對(duì)應(yīng)的利率下限估值的表達(dá)式為： （）在這些方程中，是到期日為的按連續(xù)復(fù)利計(jì)息的零收益率曲線利率。注意到利率上限多頭與利率下限空頭組合給出了與互換相等的現(xiàn)金流，很容易看到這個(gè)結(jié)果是成立的。互換是這樣一個(gè)協(xié)議，即收取浮動(dòng)利率并支付的固定利率，但在第一個(gè)重新設(shè)定利率日并不交換利息。在構(gòu)造利率雙限時(shí)，通常使得利率上限的價(jià)格等于利率下限的價(jià)格，于是利率雙限的凈成本為零。利率下限的出售方通常是浮動(dòng)利率資金的借款方。類似于利率上限的討論，我們可以將一個(gè)利率下限看成是一個(gè)基于利率的看跌期權(quán)的組合或是一個(gè)基于貼現(xiàn)債券的看漲期權(quán)的組合。二、利率下限和利率雙限利率下限和利率雙限（有時(shí)叫作地板－頂板協(xié)議，F(xiàn)loorCeiling Agreement）的定義與利率上限相似。在時(shí)刻方程式（）中的收益等于時(shí)刻的： 經(jīng)過(guò)代數(shù)變換它化簡(jiǎn)為： （）表達(dá)式是一個(gè)在時(shí)刻收益為的貼現(xiàn)債券在的基于在時(shí)刻到期的貼現(xiàn)債券的看跌期權(quán)的收益，該貼現(xiàn)債券的面值為，看跌期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為L(zhǎng)。因此，在時(shí)刻利率上限具有潛在的收益。這是一個(gè)在時(shí)刻觀察到的基于利率的看漲期權(quán)，其收益在時(shí)刻出現(xiàn)。包含在利率上限中的單獨(dú)期權(quán)有時(shí)稱之為利率期權(quán)元（Caplets）。表達(dá)式max（，0）是基于R的看漲期權(quán)所得的收益。例如，當(dāng)每個(gè)季度開(kāi)始時(shí)的3個(gè)月期LIBOR利率是年率11％時(shí)，10,000,000＝＄25,000。假如一個(gè)本金為1,000萬(wàn)美元的貸款利率每3個(gè)月按3個(gè)月期LIBOR重新設(shè)定一次，而一家金融機(jī)構(gòu)提供了一項(xiàng)年利率10％的利率上限（由于是每季支付一次利息，這個(gè)上限利率也是按季度計(jì)復(fù)利來(lái)表示的）。當(dāng)它們由不同的金融機(jī)構(gòu)提供時(shí)，為獲得利率上限，可能會(huì)要求事先支付一筆承諾費(fèi)。這個(gè)利率水平被稱為上限利率（Caps Rate）。第三節(jié) 利率上限和利率下限一、利率上限金融機(jī)構(gòu)在場(chǎng)外市場(chǎng)提供的流行的利率期權(quán)是利率上限（Interest Rate Caps）。假設(shè)D是期權(quán)的標(biāo)的遠(yuǎn)期債券的經(jīng)調(diào)整的久期。（五）收益率的波動(dòng)率債券期權(quán)報(bào)價(jià)所對(duì)應(yīng)的波動(dòng)率常常是收益率波動(dòng)率度量而不是價(jià)格波動(dòng)率度量。在為債券的歐式期權(quán)進(jìn)行估值時(shí)，所使用的波動(dòng)率測(cè)試為： 一般來(lái)說(shuō)，隨著期權(quán)有效期限的增加，減少。在債券的到期日標(biāo)準(zhǔn)偏差也是零，因?yàn)槲覀冎赖狡跁r(shí)債券價(jià)格將等于它的面值。債券價(jià)格對(duì)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差會(huì)隨時(shí)間變化。（b）如果執(zhí)行價(jià)格是執(zhí)行時(shí)支付該債券的報(bào)價(jià)，由于期權(quán)的到期日是息票支付日之后的一個(gè)月，一個(gè)月的累計(jì)利息必須加到X中去。從方程式（）得到債券遠(yuǎn)期價(jià)格如下： （a）如果執(zhí)行價(jià)格是執(zhí)行時(shí)支付該債券的現(xiàn)金價(jià)格，方程式（）中的參數(shù)是F＝，X＝1,000，＝，＝，T＝。）。假設(shè)當(dāng)前債券現(xiàn)金價(jià)格為＄960，執(zhí)行價(jià)格為＄1,000，10個(gè)月期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為10％，在10個(gè)月內(nèi)該債券價(jià)格的波動(dòng)率測(cè)度為年率9％。如果執(zhí)行價(jià)格定義為期權(quán)履約時(shí)適用該債券的報(bào)價(jià)，X應(yīng)該設(shè)定等于執(zhí)行價(jià)格加上截止到期權(quán)到期日的累計(jì)利息（交易員將債券的報(bào)價(jià)看作為“干凈價(jià)格”，而將現(xiàn)金價(jià)格看作為不純價(jià)格（Dirty Price））。在方程式（）和（）中的執(zhí)行價(jià)格應(yīng)該是現(xiàn)金執(zhí)行價(jià)格。從即期債券價(jià)格B可以計(jì)算出F，公式如下： （）其中I是在期權(quán)有效期內(nèi)所支付的息票的現(xiàn)值。如果假設(shè)在期權(quán)到期日標(biāo)的債券的價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，令F等于遠(yuǎn)期債券價(jià)格，則可用方程程式（）和（）為該期權(quán)估值。因此，在為歐式利率期權(quán)估值時(shí)，Black模型比所期望的具有更強(qiáng)的理論基礎(chǔ)。2．即使計(jì)算期權(quán)盈利時(shí)刻這些利率假設(shè)為隨機(jī)變量，也假設(shè)用來(lái)貼現(xiàn)的這些利率為常數(shù)。用于貼現(xiàn)的變量和是從計(jì)算出來(lái)的零息票收益率。變量V可以是利率、債券價(jià)格、或兩個(gè)利率之間的價(jià)差。在這種情況下，有必要從時(shí)刻而不是從時(shí)刻T貼現(xiàn)該盈利。為了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，我們定義為T時(shí)刻V的波動(dòng)率測(cè)度（Volatility Measure）。由于我們并沒(méi)有假設(shè)V和F的變化遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，那么定義變量為波動(dòng)率并不嚴(yán)格?？傊?，只要假設(shè)利率是非隨機(jī)變量，期權(quán)到期時(shí)標(biāo)的變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，任何時(shí)候我們都可以利用方程式（）和（）為歐式期權(quán)估值。當(dāng)利率是非隨機(jī)變量時(shí)，期貨價(jià)格和遠(yuǎn)期價(jià)格是相同的。我們僅只是要求在T時(shí)刻V服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。（一）運(yùn)用Black模型為歐式期權(quán)定價(jià)考慮一個(gè)基于變量V的歐式看漲期權(quán)，假設(shè)利率是非隨機(jī)變量并定義：：期權(quán)到期日：在期限為T的合約中的V的未來(lái)價(jià)格：期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格：期限為T的零息票收益：的波動(dòng)率：在時(shí)刻T時(shí)V的價(jià)值：在時(shí)刻T時(shí)F的價(jià)值在時(shí)刻T，期權(quán)的盈利狀態(tài)是，由于，因此我們可認(rèn)為在T時(shí)刻的期權(quán)盈利狀態(tài)為，Black模型給出0時(shí)刻歐式看漲期權(quán)的價(jià)值c為： （）其中 相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值p為： （）（二）Black模型的擴(kuò)展Black模型假設(shè)F的波動(dòng)率為常數(shù)，我們可以稍微放松這個(gè)假設(shè)。該模型擴(kuò)展后為范圍廣泛的歐式期權(quán)估值提供了一個(gè)靈活的框架。為了將該模型運(yùn)用于利率衍生證券的定價(jià)，人們做了各種擴(kuò)展。正如在第十三章所述，該模型經(jīng)過(guò)擴(kuò)展之后，可為貨幣期權(quán)、指數(shù)期權(quán)以及期貨期權(quán)估值。線性插值給出的下一次試算的漂移量為： ；如此等等。自然我們利用線性插值計(jì)算得： ，將它作為下一次試算的漂移量。假設(shè)這個(gè)漂移量給出該金融工具價(jià)格為＄。舉個(gè)例子，假設(shè)市場(chǎng)價(jià)格是＄，利用國(guó)債收益曲線計(jì)算出的價(jià)格為＄。運(yùn)用一系列迭代過(guò)程以確定平行漂移到所輸入的國(guó)債收益率曲線的平行漂移量，該量將使得模型的價(jià)格等于市場(chǎng)的價(jià)格。為了計(jì)算某個(gè)金融工具的OAS，首先利用政府長(zhǎng)期零息票收益率曲線進(jìn)行估值，并將該值輸入到新的定價(jià)模型中去。第二節(jié) 利率期權(quán)的定價(jià)一、經(jīng)過(guò)期權(quán)調(diào)整的價(jià)差現(xiàn)在我們開(kāi)始討論利率期權(quán)的定價(jià)，利率期權(quán)定價(jià)的關(guān)鍵是利率期限結(jié)構(gòu)。可在抵押貸款中，借款人擁有一個(gè)提前償還的期權(quán)。期權(quán)價(jià)值內(nèi)嵌期權(quán)既可能增加主體的價(jià)值，也有可能降低主體的價(jià)值。一般將含有內(nèi)嵌期權(quán)的金融工具價(jià)格分解成兩部分，主體價(jià)值和期權(quán)價(jià)值，主體價(jià)值是不含期權(quán)的同類工具的價(jià)值。一個(gè)利率( Interest only ) MBS僅由抵押貸款的利息償還部分組成，類似的，本金( Principal only )MBS僅由本金償還組成。這個(gè)打包稱為部分( Tranch