【正文】 Ⅱ 在齒輪 Ⅰ上滾動(dòng) ， 齒輪 Ⅱ 一方面繞其中心軸 OB轉(zhuǎn)動(dòng) ， 同時(shí) ， OB軸又繞固定軸 OA轉(zhuǎn)動(dòng) ， 已知 OB軸繞 OA軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 ?1， 如圖所示 。 因?yàn)镺點(diǎn)的速度為零 ， ve＝ ?e h2＝ 2?OAC面積 ， vr＝ ?r h2＝2△ OBC面積 ， OABC是平行四邊形 ， △ OAC面積＝△ OBC面積 ， 所以 C點(diǎn)的絕對(duì)速度為零 。 只要找到絕對(duì)速度等于零的 C點(diǎn)，直線 OC是剛體運(yùn)動(dòng)到圖示位置的瞬軸。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 幾何法 根據(jù)幾何關(guān)系，判斷剛體上除定點(diǎn) O以外速度為零的點(diǎn) C， OC連線即瞬軸。 直角坐標(biāo)法 1. 瞬軸位置的確定 zyxzyx???000 ??zyxzyx???????????000 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 解析法：先求出瞬軸的位置，再寫出速度和加速度在直角坐標(biāo)系中的投影表達(dá)式。 角加速度 ?也是一個(gè)矢量，其方向沿角速度矢量 ?的矢端曲線的切線方向 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 在任一瞬時(shí)，剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)既然可以看作是繞瞬軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，就可以應(yīng)用速度、加速度矢量式求此瞬時(shí)定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度和加速度。 定參考坐標(biāo)系稱為地理坐標(biāo)系或 東北天坐標(biāo)系 。 x1x?z1y?y?y1z?z?x?x x?zy y?z? 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 卡爾丹角的方向余弦矩陣 ? ? ? ? ? ? ? ??????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????c o sc o sc o ssi nsi nsi nsi nc o sc o ssi nsi nsi nsi nc o sc o ssi nc o sc o ssi nc o ssi nsi nc o ssi nsi nsi nc o sc o sc o s c o ssi n0si nc o s0001c o s0si n010si n0c o s1000c o ssi n0si nc o s , CCCC 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) ? ????????????????????????????1 1 0 0 1c o sc o sc o ss i ns i ns i nc o s0s i nc o ss i ns i nc o s,???????????????????C 工程上往往只關(guān)心 z?軸 (陀螺軸 )的運(yùn)動(dòng)，取隨體坐標(biāo)系 Ox?y?z?與內(nèi)環(huán)相固結(jié)，稱為 陀螺坐標(biāo)系，令 ?=0， 即得陀螺坐標(biāo)系的方向余弦矩陣 C?(?,?,?)。 x?y?z?????????????????????????????????????c o ss inc o ss inc o ss ins inzyxkji ?????? ??? zyx ???? 瞬時(shí)角速度公式向隨體坐標(biāo)系 Ox?y?z?中的投影與歐拉角速度的關(guān)系式為 ???? ??? ???稱為歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 卡爾丹角 ：設(shè)隨體坐標(biāo)系為 Ox?y?z?，剛體繞 x軸轉(zhuǎn) ?角，再繞 y?1軸轉(zhuǎn) ?角，最后繞新 z?軸轉(zhuǎn) ?角達(dá)到 所示位置 。由此可知，無(wú)限小位移 ?? 是矢量。這表明，無(wú)論按什么順序，繞 Oz， ON， Oz?三軸分別轉(zhuǎn)過(guò)微小角度 ??，??， ??，剛體都將達(dá)到同一位置。令此長(zhǎng)方體先繞 Oz(OC)轉(zhuǎn)過(guò)900（ ?）到達(dá)圖 (b)所示位置；再繞 Oy(OA)轉(zhuǎn)過(guò) 900（ ?）到達(dá)圖(c)所示位置； 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) (a) (b) (c) 最后繞軸 Ox(OC)轉(zhuǎn)過(guò) 900（ ?）到達(dá)圖 (d)所示位置。 剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移定理 (達(dá)朗貝爾 — 歐拉定理 ) 隨體坐標(biāo)系由最初位置至任一位置，可依次轉(zhuǎn)過(guò)三個(gè)歐拉角達(dá)到，下面將證明上述有限位移可通過(guò)一次轉(zhuǎn)動(dòng)而實(shí)現(xiàn)。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) ??????????????????????????????????????222111c o ssi n0si nc o s0001zyxzyx????? ??????????????????c o ssi n0si nc o s0001C 同理，繞軸 ON(或 Ox?1)轉(zhuǎn)過(guò) ?角 (圖 1— 7b)， 隨體參考系到達(dá) Ox?2y?2z?2所示位置，剛體上任意一點(diǎn) M在兩個(gè)參考系中的坐標(biāo)有下列關(guān)系： 令 1y?2y?1z?2z? 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 2x?3x?2y?3y???????????????????????? ???????????????3332221000c o ssi n0si nc o szyxzyx????? ??????????? ??1000c o ssi n0si nc o s?????C 同理，若剛體繼續(xù)繞軸 Oz?2轉(zhuǎn)過(guò)角 ?至 Ox?3y?3z?3所示位置，則剛體上 M點(diǎn)在 Ox?2y?2z?2與 Ox?3y?3z?3兩個(gè)參考系中的坐標(biāo)有下列關(guān)系： 令 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) ??????????????????????? ?????????????????????? ????????????zyxzyx1000c o ss i n0s i nc o sc o ss i n0s i nc o s00011000c o ss i n0s i nc o s???????????? 此時(shí)，隨體參考系變化到了 Ox?3y?3z?3位置，剛體上任意一點(diǎn) M在固定參考系 Oxyz中的坐標(biāo)為 令 ? ? ? ? ? ? ? ???????????????????????????????????????????????????????c o sc o ssi nsi nsi nsi nc o sc o sc o sc o ssi nsi nsi nc o sc o sc o ssi nsi nsi nc o sc o ssi nsi nc o ssi nc o ssi nc o sc o s, CCCC? ?????????????????????????zyxCzyx??? ,上式可寫為 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 如果已知?jiǎng)傮w的連體坐標(biāo)系相對(duì)定參考系的歐拉角，則可以計(jì)算出剛體的連體坐標(biāo)系相對(duì)定參考系的方向余弦矩陣； 反過(guò)來(lái)，如果已知?jiǎng)傮w的連體坐標(biāo)系相對(duì)定參考系的方向余弦矩陣，那么 反解矩陣方程 ，則可得到確定其歐拉角的幾個(gè)表達(dá)式，即 ????????????????????????????s i ns i n,s i nc o ss i ns i n,s i nc o s1s i n,c o s3132132323333cccccc其中， cij表示方向余弦矩陣 C(?,?, ?)中的第 i行的第 j列元素（ i，j = 1， 2， 3）注意求得的歐拉角將是多組解，但各組解的剛體位置是相同的，因此，只選擇其中的一組解。 歐拉角 (?、 ? 、 ?)是 順序 分別轉(zhuǎn)過(guò) ?、 ? 、 ?角 有限位移到達(dá)。剛體的位置可由圖示的 ?、 ? 和 ?三個(gè)角唯一地確定： x?z?y?圖 14 進(jìn)動(dòng)角 ?＝ ∠ xON， 章動(dòng)角 ?＝ ∠ zOz?， 自轉(zhuǎn)角 ?＝ ∠ NOx?。建立靜坐標(biāo)系 Oxyz和隨體坐標(biāo)系 Ox?y?z?。 ＊ 魚(yú)雷上的“陀螺自動(dòng)操縱舵”。 目前，研究多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的各種方法很多，研究的課題多在帶有撓性部件的多體系統(tǒng)上。 機(jī)械學(xué)院 機(jī)械學(xué)院剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 自從 1957年人類首次發(fā)射人造地球衛(wèi)星以來(lái)，航天技術(shù) ( 衛(wèi)星、飛船、空間站等 ) 發(fā)展得十分迅速，因而形成了一門新的新興學(xué)科，它主要 包括軌道力學(xué)及姿態(tài)動(dòng)力學(xué) 。 剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)是從十八世紀(jì)開(kāi)始研究的。 多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué) 是 60年代在經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的力學(xué)新分支。通常所說(shuō)的剛體動(dòng)力學(xué)，其主要內(nèi)容是研究剛體繞定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。 此外，剛體動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域還重點(diǎn)研究了含有陀螺效應(yīng)的各種系統(tǒng)的共同特性，從而形成了 陀螺耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué) 和轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué) 。形成了多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。 ＊ 飛機(jī)上的方向儀就叫“陀螺羅盤”。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程 研究剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)首先要確定剛體在 空間的位置 。Ox?y?z?系的 Ox?y?平面與 Oxyz系的 Oxy平面的交線 ON稱 為節(jié)線。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體從某一位置移動(dòng)到另一位置的位置變化稱為有限位移。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的有限位移與無(wú)限小位移 1．剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的有限位移 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 定量分析，隨體坐標(biāo)系 Oz軸轉(zhuǎn)過(guò) ?角后，此時(shí)，剛體上任意一點(diǎn) M?在固定參考系 Oxyz中的坐標(biāo)為 1000c o ss in0s inc o s111111111???????????????????????zyxzzyxyzyxx????1x?1y? M?寫為矩陣形式 ??????????????????????? ????????????1111000c o ss i n0s i nc o