[工學(xué)]第4章____線性系統(tǒng)的概軌跡法-全文預(yù)覽
【正文】 +2) (1) 根軌跡有三個開環(huán)極點 p1=p2=0 , p3= 2，無開環(huán)零點 (2)三條根軌跡分支，始于 p p2 、 p3， 終于無窮遠 (3)實軸 [2， ∞]為根軌跡 (4)漸近線交點： ?a = 3 2 = ?a = 3 (2k+1)? = ( K=0 ) 3 ? 3 ? ? ( K= 1 ) ( K=1 ) 2 附加適當(dāng)?shù)拈_環(huán)零點可改善系統(tǒng)性能 4－ 3 廣義根軌跡 二 . 附加開環(huán)零點的作用 解： G(s)H(s)= K s2 (s+2) (1) 根軌跡有三個開環(huán)極點 p1=p2=0 , p3=2， z1= a (2)三條根軌跡分支，始于 p p2 、 p3， 終止于 z1和無窮遠 (3)實軸 [2， a]為根軌跡 (4)漸近線交點： ?a = 3 2+a ?a = 2 (2k+1)? = ( K=0 ) 2 ? 2 ? ( K= 1 ) 若附加一個零點 a,且 0a2 2 a 此時系統(tǒng)是穩(wěn)定的 附加適當(dāng)?shù)拈_環(huán)零點可改善系統(tǒng)性能 4－ 3 廣義根軌跡 二 . 附加開環(huán)零點的作用 解： G(s)H(s)= K s2 (s+2) (1) 根軌跡有三個開環(huán)極點 p1=p2=0 , p3=2， z1= a (2)三條根軌跡分支，始于 p p2 、 p3， 終止于 z1和無窮遠 (3)實軸 [2， a]為根軌跡 (4)漸近線交點： ?a = 3 2+a ?a = 2 (2k+1)? = ( K=0 ) 2 ? 2 ? ( K= 1 ) 若附加一個零點 a,且 a≥2時 2 a 此時系統(tǒng)是不穩(wěn)定的， 但與沒有開環(huán)零點相 比，根軌跡向左偏移。 A為變化的參數(shù) 4－ 3 廣義根軌跡 1. 開環(huán)零點變化時的根軌跡 ( ) ( )G s H s設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ( ) ( ) 1 0G s H s ??閉環(huán)特征方程為 () 10()PsAQs ??等效變換成 一 . 參數(shù)根軌跡 當(dāng)變化的參數(shù)為開環(huán)增益 K以外的參數(shù)時的 根軌跡。 ④ 實軸上根軌跡區(qū)段［－ 1， 0］及［－ ∞，－ 4］ ⑤ 漸近線的位置與方向 ?a和交點 ?a d 2. 對稱于實軸 4. 根軌跡區(qū)段 左側(cè) 6. 根軌跡 ?pk和 ?zk 8. 分離角或會合角 ? G(s)H(s)= K* s(s+1)(s+4) ?a = 3 14 = ?a = 3 (2k+1)? = ( K=0 ) 3 ? 3 ? ? ( K= 1 ) ( K=1 ) ⑥ 分離點與分離角 d 1 + d+1 1 d+4 1 + = 0 d1= , d2= (此點不在根軌跡上舍去） 分離角為 + 和 2 ? 2 ? ⑦ 與虛軸的交點 將 s=j?代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程 s(s+1)(s+4)+k*=0 后由實部、虛部為零 解得 ?＝ 2， k*=20, 由于 k*=4k， k=5 ? j ? ⑧ 確定 k的取值范圍 與分離點 d1= k*可由 模值條件求得 k*=|d1|.|d1+1|.|d1+4|= K=k*/4= 由圖可知使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)呈現(xiàn) 衰減振蕩形式 k的取值范圍 k5 常 見 閉 環(huán) 系 統(tǒng) 根 軌 跡 圖 知識回顧 一 . 根軌跡法 在已知開環(huán)零、極點時，迅速求出開環(huán)增益（或其他參數(shù)）從零變到無窮時閉環(huán)特征方程所有根在復(fù)平面上的分布，即 根軌跡 。這對于判斷根軌跡的走向很有意義。 *2( ) ( ) ( 3 ) ( 2 2 )KG s H ss s s s?? ? ?九 . 根軌跡與虛軸的交點 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 解 ： 按步驟畫圖 ① 有 4條根軌跡 ② 各條根軌跡分別起于開環(huán)極點 0， 3， 1+j1, 1j1 ；終于無窮遠 ③ 實軸上的根軌跡在 0到 3之間 ④ 漸 近 線 00( 2 1 )45 , 13 540 3 1 1 1 14aakjj????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?⑤ 確定分離點 d 4110idp???1 2 , 32 .3 , 0 .9 2 0 .3 7d d j? ? ? ? ?解方程得 （舍去） 3 1 3 2 3 4 3400 0 0 000180180 135 90p p p p p p pp? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ????⑥ 確定起始角 ⑦ 確定根軌跡與虛軸的交點。 練習(xí)：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) G(s) H(s)= K*(s+2) (s+1j)(s+1+j) 概略繪制出根軌跡圖。 ?若根軌跡位于 實軸兩相鄰 開環(huán) 零點 之間，則此二極點之間至少存在一個 會合點 。 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 11( 2 1 ) ( ) ( )kmnp k j k ijiikk p z p p?????? ? ? ? ? ? ? ???)()()12(11jmkjjkniikz zzpzkk ???????? ???????例 : * ( 2 ) ( 2 )( ) ( )( 1 2 ) ( 1 2 )K s j s jG s H ss j s j? ? ? ??? ? ? ? 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試?yán)L制系統(tǒng)概略根軌跡。 ③ 法則四，在負實軸上， 0到－ 1區(qū)間和－ 2到負無窮區(qū)間是根軌跡。 1s4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 四 . 實軸上的根軌跡 一般，設(shè)試驗點右側(cè)有 L個 開環(huán)零點， h個開環(huán)極點，則有關(guān)系式 證畢 11( ) ( ) ( )lhiiiis z s p l h ???? ? ? ? ? ? ???( ) ( 2 1 )l h k??? ? ??如滿足相角條件必有 所以， Lh必為奇數(shù)，當(dāng)然 L+h也為奇數(shù)。 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 一 . 根軌跡的分支數(shù) 分支數(shù)＝開環(huán)極點數(shù)或零點數(shù)中大者 ＝閉環(huán)特征方程的階數(shù) 二 . 根軌跡對稱于實軸 閉環(huán)極點為 實數(shù) → 在實軸上 復(fù)數(shù) → 共軛 → 對稱于實軸 起 于開環(huán) 極點 ， 終 于開環(huán) 零點 。 應(yīng)滿足相角方程 12122 , 2,ppss? ? ? ? 若系統(tǒng) 閉環(huán) 極點為 證明： 該系統(tǒng)的 開環(huán) 極點 四 .根軌跡方程 4－ 1 根軌跡法的基本概念 3. 模值方程和相角方程 K* Π i=1 m szi Π i=1 n spi = 1 ∑ i=1 m ∠ ( spi ) ∑ i=1 m ∠ ( spi ) = (2k+1)? 2s以 為試驗點，可得 1s 以 為試驗點，可得 圖 4－ 4 1 1 1 2( ) ( ) 9 0 9 0( 2 1 )22 ( 1 )s p s pkk????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???001 1 1 2( ) ( ) 90 90( 2 1 )22s p s pk?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?(k=0) 2s 2s四 .根軌跡方程 4－ 1 根軌跡法的基本概念 3. 模值方程和相角方程 12,ss
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