【正文】 x x d x i m?? ??? 則 (2)式成為 (3) 1 1 1 1 0 0...m m m ma a a a? ? ? ???? ? ? ?101 1 1...n n nmm k k k k kk k ka A x a A x a A? ? ?? ? ? ?? ? ?第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 由于系數(shù) 的任意性，故使 (3)式 成為恒等式的充要條件是 (4) (4)式的待定系數(shù)有 2n個，所以確定待定系數(shù)的獨立條件至多給出 2n個，從而可知 m至多為 2n1。 然后討論 Gauss型求積公式的構造。 0{ ( )}kkgx ??()kgx20,( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ) 0bbnmanax g x g x dxx g x dx????? ????? ?0{ ( )}kkgx ??第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 定義 3 若 n次多項式 中含 項的系 數(shù)為 ，則稱 為 的 首次系數(shù) ； 時，稱 為 首次系數(shù)為 1的 n次多項式 。 0{ ( )} nkkgx ?0{ ( )} nkkgx ?[ , ]nP a b [ , ]nP a b()npx0( ) ( )nn k kkp x a g x?? ?0{}nkka ?第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 性質(zhì) 2 若 為 [a,b]上帶權 ?(x)的正交多 項式序列 ,且 ,則 0{ ( )}kkgx ??( ) [ , ]nq x P a b? (1) (2) 事實上 ,由性質(zhì) 1, . 由 的正交性定義容易證得 (1). 證 (2)也是類似的 . 0( ) ( )nkkkq x a g x?? ?{ ( )}ngx( ) ( ) ( ) 0 , 1 , 2 , . . .b ka x q x g x d x k n n? ? ? ? ??( ) ( ) 0 , 0 , 1 , 2 , . . . , 1b ina x g x x d x i n? ? ? ??第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 Gauss型求積公式 由 引理 1和 定義 1可知， n點的求積 公式 (1)若具有最高的代數(shù)精確度，即 具有 2n1次的代數(shù)精確度，為 Gauss型 求積公式 . 求積公式 (1)的求積節(jié)點 和 求積系數(shù) 如何選取 ,才能使之 成為 Gauss型求積公式 ? 1{}nkkx ?1{}nkkA ?第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 定理 1 求積公式 (1)中的 n個求積節(jié)點 ,取為 區(qū)間 [a,b]上帶權函數(shù) ?(x)的 n次正交多項式 的 n個根，則求積公式 (1)為 Gauss型求積公式。 給定 [a,b]和 ?(x) ，構造 n個點的 Gauss求積公式 ： 先求出區(qū)間 [a,b]上帶權函數(shù) ?(x)的 n次正交多項式 , 然后用多項式求根的方法求出 的 n個根 , 從而獲得了求積節(jié)點 ()ngx()ngx 1{}nkkx ?1{}nkkx ?第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 為了求得求積系數(shù) ,將 n個求積節(jié)點 代入方程組 (4)中的前 n個方程并加以求解 , 即解線性代數(shù)方程組 1{}nkkA ? 1{}nkkx ?求得系數(shù) ,完成 Gauss型求積公式的構造 . 1{}nkkA ?1 2 01 1 2 2 11 1 2 2nnnm m mn n mA A AA x A x A xA x A x A x???? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 例 1 求 使求積公式 具有三次代數(shù)精確度 . 問題是構造區(qū)間 [0,1]上帶權函數(shù) 的兩點 Gauss型求積公式 . 解 方法 1 容易計算出當 時 的積分值分別為 所求 公式具有 3次代數(shù)精確度 . 1 2 1 2, , , ,A A x x11 1 2 20 ( ) ( ) ( ) ( , )x f x d x A f x A f x R x f? ? ??()xx? ?23( ) 1 , , ,f x x x x?10 ()x f x d x? 2222,3 5 7 9第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 故可得 為未知數(shù)的方程組為 (1) (2) (3) (4) 又因為 為 Gauss型求積公式的求積節(jié)點 , 所以它們是區(qū)間 [0,1]上帶權函數(shù) 且 首項系數(shù)為 1的二次正交多項式 的兩個根 . 121 1 2 2221 1 2 2331 1 2 22/32/52 / 72/9AAA x A xA x A xA x A x???????????? ???12,xx()xx? ?*2()gx1 2 1 2, , , ,A A x x第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 不妨記 ,為此 又因為 必須滿足方程 (2)(3)(4),所以 *22 ()g x x。 [a,b]上帶權函數(shù) ?(x)的 1{}nkkx ?()ngx21( ) [ , ]nf x P a b??n次正交多項式 的 n個根記為 ,記 其首項系數(shù)為 .由定義 3有 因此 , (5) 其中 . ()ngx 1{}nkkx ?nd*1()( ) ( )n nnkk ngxg x x xd?? ? ??*( ) ( ) ( ) ( ) ,nf x q x g x r x??1( ) , ( ) [ , ]nq x r x P a b??第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 在 (5)式兩邊同乘 ?(x),并從 a到 b積分 . 由正交多項式的性質(zhì)可知 ,含 項的積分為零 ,所以 (6) 注意到當 作為插值節(jié)點時建立的 n點插值 1{}nkkx ?* ( ) ( )ng x q x( ) ( ) ( ) ( )bbaax f x d x x r x d x?? ???求積公式 至少具有 n1次代數(shù)精確度 ,而 , 所以 (7) 1( ) ( )nn k kkI f A f x?? ?1( ) [ , ]nr x P a b??1( ) ( ) ( )nk k nkI r A r x I r????第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 又由 (5)式可知 , 即 (8) 綜合 (6),(7),(8)式可知 ,當 時 ,求積 公式 (1) 成立 . 因此公式 (1)具有 2n1次代數(shù)精度，為 Gauss型求積公式。 證 對任意的 x?[a,b],若 ，在式子 兩邊同乘 ?(x)gl(x)(l=0,1,..n), 并從 a到 b積分 , 由 的正交性定義 2中的 (3)可知必有 l=0,1,..,n. 故正交多項式序列 線性無關。 (2) ，則稱函數(shù) f(x)和 g(x)在區(qū) 間 [a,b]上帶權 ?(x)正交。 Gauss型求積公式的求積節(jié)點 ，稱為 Gauss點，它們可以通過求區(qū)間 [a,b]上帶權 ?(x)的 n次 正交多項式 的 n個根獲得。 4 Gauss求積公式 第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 引理 1 當求積系數(shù) 和求積節(jié)點 都可以自由選取時， n點的求積公式 (1)的代數(shù)精確度 最高可以達到 2n1次。 第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 )(151 22 nnn SSSI ???同理，由復合辛普森公式的余項 可得 nC? nn SSI 1511516 2 ??由復合柯特斯公式的余項 )(631 22 nnn CCCI ???nR?得 nn CCI 63163642 ??通稱為 龍貝格公式 ，是一種加速技術 第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 一般的，若記 )()(0 hThT ? ，則有 )()2,1()(14 1)2(14 4)( 11 ?????? ?? mhThThT mmmmmm上述處理方法稱為 理查森外推加速法 通常，取 m≤3即可。 3 龍貝格積分方法 復合梯形公式的遞推化 龍貝格算法 算法設計 第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 梯形公式 ,Simpson公式 ,Cotes公式的代數(shù)精度分別為 1次 ,3次和 5次 復合梯形、復合 Simpson、復合 Cotes公式的收斂階分別為 2階、 4階和 6階 在代數(shù)精度和收斂速度方面 , 梯形公式都較差 但梯形公式形式簡單、計算量小 有沒有辦法改善梯形公式呢 ? 第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 1.