【正文】 1xxefxe???，則 0x? 是 ()fx的（ ） A. 可去間斷點； B. 第二類間斷點； C. 跳躍間斷點； D. 連續(xù) 點 . 設(shè)在 [0,1] 上 ( ) 0fx?? ? ，則下面正確的為 （ ） . A． (1 ) ( 0) (1 ) ( 0)f f f f??? ? ?； B． 1 ) (1 ) ( 0) ( 0)f f f f??? ? ?； C． (1 ) ( 0) (1 ) ( 0)f f f f??? ? ?； D． (1 ) ( 0) (1 ) ( 0)f f f f? ? ?. 下列等式中不正確的是（ ） A. ? ?( ) (f x dx f x? ?? ）； B. ? ?0 ( ) ( )x f t dt f x? ?? ； C. ( ) ( )d f x dx f x dx?? ； D. ( ) ( )dF x F x?? . 下列計算正確的是（ ） A. 11 112 21()11 [ a r c ta n ]1121 ( )d xdxxxx???? ? ? ? ? ? ?? ???； B. 11221 , 11d x d tx t x x t t??? ? ?? ? ? ???令， 121 01dxxx??????； C. 22l im 011 AAAxxd x d x??? ? ?? ? ???????； D. 211 sin 3 0xe xdx?? ?? ? ?20 cossin? dxxx （ ） A. 0； B. 22； C. 2 2 1? ； D. 2 2 1?（）. 已知 21, ,y y x y x? ? ?是某二階非齊次線性微分方程的三個解，則該方程的 通解為（ ） A. 212C C x x??； B. 212(1 ) (1 )C x C x? ? ?； C. 2212(1 ) (1 )C x C x x? ? ? ?； D. 2212(1 ) (1 )C x C x x? ? ? ?. 三 、 計算下列各題 （每小題 6 分，共 18 分） . 已知 2ln(1 )arctanxty t t? ??? ???，求 22,dyd ydx dx. 計算極限20 sinlim ln(1 2 )x x arc xxx? ? ?. 閱卷人 得分 三峽大學(xué) 試卷紙 教學(xué)班號 序號 學(xué)號 姓名 …………………….………….……答 題 不 要 超 過 密 封 線………….……………………………… 計算極限 2coslim xaxax t dtxa???? . 四、計算下列各題 （每小題 6 分，共 18 分） (1 )dxxx??； 已知1 ,01()1 ,01 xxxfxxe? ??? ?? ?? ????，求 11 ()f x dx??； 閱卷人 得分 求微分方程 (1 2 )yxy x??? 的通解 . 五 、 解 下列各題 （每小題 6 分，共 18 分） 求函數(shù) xxexf ln)( ? 的極值 . 證明：當 0x? 時， arcta nln(1 ) 1 xx x?? ?. 閱卷人 得分 三峽大學(xué) 試卷紙 教學(xué)班號 序號 學(xué)號 姓名 …………………….………….……答 題 不 要 超 過 密 封 線………….……………………………… 已知 sinxx 是 ()fx的一個原函數(shù)，求 ()xf x dx?? . 六、 （ 8 分） 設(shè)由曲線 yx? ，直線 4x? 及 x 軸所圍圖形為 T. （ 1）求 T的面積； （ 2）求 T繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積 . 閱卷人 得分 七 、 （ 8 分） 設(shè)光滑曲線 ()yx?? 過原點，且當 0x? 時， ( ) 0x? ? ，對應(yīng)于 [0, ]x 一段 曲線的弧長為 1xe? ，求 ()x? . 習(xí)題 4?2 1. 在下列各式等號右端的空白處填入適當?shù)南禂?shù) ??使等式成立 (例如 ?? )74(41 ?? xddx : (1) dx???d(ax)。?閱卷人 得分 解 xdx? 101 d(5x2). (5) )1( 2xdxdx ?? 。 解 )1( 2 22 xx eddxe ?? ??? . (9) )23(c o s 23sin xdxd x? 。 解 )3(a rc ta n 31 91 2 xdxdx ?? . (13) )a rc ta n1( 1 2 xdxdx ??? 。 解 Cxxdxdxx ????????? ?? |21|ln21)21(21 12121 1 . (4)? ?3 32 xdx 。 解 ? ? xdxx 210 sectan Cxxxd ??? ? 1110 t a n111t a nt a n . (8)? xxx dxlnlnln 。 解 ? ?? dxee xx 1 Cedeedxe e xxxx x ?????? ?? a rc t a n1 11 22 . (12)? ? dxxex2 。 解 ?? ????????? Cxxdxdxxx |1|ln43)1(1 1431 3 44443 . (16)? ?? dttt ))s in((c o s 2 ???? 。 解 dxxxdxxdxxx ??? ?????? 222 4949 1491 )49(49 181)32()32(1121 222 xdxxdx ????? ?? Cxx ????2494132a rc s in21 . (20)? ? dxxx 239 。 解 Cxxxdxxdxx d x ?????? ??? 3223 s i n31s i ns i n)s i n1(s i nc o sc o s . (24)? ? dtt )(cos2 ?? 。 解 Cxxdxxxx d xx ??????? ?? 2s i n4112s i n241)2c o s12(c o s217s i n5s i n . (28)? xdxxsectan3 。 解 Cxxdxxxdx ????? ?? a rc s i n1a rc s i n)(a rc s i n11)(a rc s i n 222 . (32)? ? dxxx x2)ln( ln1 。 解 CxCtdtt d tttttxxx dx ????????? ??? 1a rc c o st a ns e ct a ns e c 1s e c12 令 . 或 Cxxdxdxxxxxdx ???????? ??? 1a r c c o s11111111 2222. (36)? ? 32 )1(xdx。 解 ???? ????????? dttdttt d tttxxdx )2s e c211()c o s1 11(c o sc o s1 1s i n11 22 令 CxxxCtttCtt ???????????? 211a rc s i nc o s1 s i n2t a n . (40)? ?? 21 xx dx . 解 ??? ? ????????? dttt ttttt d ttttxxx dx c o ss i n s i nc o ss i nc o s21c o sc o ss i n 1s i n1 2 令 Ctttttdttdt ???????? ?? |c o ss i n|ln2121)c o s(s i nc o ss i n 12121 Cxxx ????? |1|ln21a rc s i n21 2. 習(xí)題 5?1 1. 利用定積分定義計算由拋 物線 y=x2?1, 兩直線 x=a、 x=b(ba)及橫軸所圍成的圖形的面積 . 解 第一步 : 在區(qū)間 [a, b]內(nèi)插入 n?1 個分點 inabaxi ??? (i?1, 2, ? ? , n?1), 把區(qū)間[a, b]分成 n 個長度相等的小區(qū)間 , 各個小區(qū)間的長度為 : nabxi ??? (i?1, 2, ? ? , n). 第二步 : 在第 i 個小區(qū)間 [xi?1, xi] (i?1, 2, ? ? , n)上取右端點 inabaxii ????? , 作和 n abin abaxfS niiinin ???????? ?? ?? ]1)[()( 211 ? ?? ??????? ni in abin abaan ab 1 2222 ]1)()(2[ ]6 )12)(1()(2 )1()(2[)( 2 22 nnnnn abnnn abanan ab ???????????? ]16 )12)(1()()1)(()[( 222 ?????????? n nnabn nabaaab . 第三步 : 令 ??max{?x1, ?x2, ? ? , ?xn} nab?? , 取極限得所求面積 ?? ?? ??? ni iiba xfdxxfS 10 )(l i m)( ?? ]16 )12)(1()()1)(()[(l i m 222 ?????????? ?? n nnabn nabaaabn ababababaaab ??????????? )(31]1)(31)()[( 3322 . 2. 利用定積分定義計算下列積分 : (1) xdxba? (ab)。 (4) ?? ?? 2022 co s2co s??? xd xxd x . 解 (1)?102xdx 表示由直線 y?2x、 x 軸及直線 x?1 所圍成的面積 , 顯然面積為 1. (2)? ?10 21 dxx 表示由曲線 21 xy ?? 、 x 軸及 y 軸所圍成的四分之一圓的面積 , 即圓x2?y2?1 的面積的 41 : 41411 210 2 ?? ?????? dxx . (3)由于 y?sin x為奇函數(shù) , 在關(guān)于原點的對稱區(qū)間 [??, ?]上與 x軸所夾的面積的代數(shù)和為零 , 即 ?? ??? 0sinxdx . (4) ??22cos?? xdx 表示由曲線 y?cos x 與 x 軸上 ]2 ,2[ ??? 一段所圍成的圖形的面積 . 因為 cos x 為偶函數(shù) , 所以此圖形關(guān)于 y 軸對稱 . 因此圖形面積的一半為 ?20 cos? xdx , 即 ?? ?? 2022 co s2co s???