【正文】 ?B 在 O 點(diǎn) 產(chǎn)生的磁場(chǎng)為零。2 FrqrqqF ????? (2)小球 3 依次交替接觸小球 2 很多次后，每個(gè)小球帶電量均為 32q . ∴ 小球 2 間的作用力 002 94π4 32322 FrqqF ??? *826 如題 826圖所示，一平行板電容器兩極板面積都 是 S，相距為 d ，分別維持電勢(shì)AU =U ， BU =0不變．現(xiàn)把一塊帶有電量 q 的導(dǎo)體薄片平行地放在兩極板正中間，片的面積也是 S，片的厚度略去不計(jì)．求導(dǎo)體薄片的電勢(shì)． 解 : 依次設(shè) A ,C ,B 從上到下的 6 個(gè)表面的面電荷密度分別為 1? ， 2? ， 3? ， 4? , 5? , 6?如圖所示．由靜電平衡條件，電荷守恒定律及維持 UUAB? 可得以下 6 個(gè)方程 題 826 圖 ????????????????????????????????6543215432065430021001??????????????????dUSqSqdUUCSSqBA 解得 Sq261 ???? SqdU 2032 ???? ??? SqdU 2054 ???? ??? 所以 CB 間電場(chǎng) SqdUE0042 2??? ??? )2 d(212d 02 SqUEUU CBC ????? 注意：因?yàn)?C 片帶電，所以 2UUC? ，若 C 片不帶電，顯然 2UUC? 827 在半徑為 1R 的金屬球之外包有一層外半徑為 2R 的均勻電介質(zhì)球殼，介質(zhì)相對(duì)介電常數(shù)為 r? ，金屬球帶電 Q ．試求： (1)電介質(zhì)內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)； (2)電介質(zhì)層內(nèi)、外的電勢(shì)； (3)金屬球的電勢(shì)． 解 : 利用有介質(zhì)時(shí)的高斯定理 ?? ?? qSDS ?? d (1)介質(zhì)內(nèi) )( 21 RrR ?? 場(chǎng)強(qiáng) 303 π4,π4 rrQErrQD r?????? ??內(nèi) 。π4 39。 cm1，超過(guò)這個(gè)數(shù)值時(shí)空氣要發(fā)生火花放電．今有一高壓平行板電容器，極板間距離為 d =，求此電容器可承受的最高電壓． 解 : 平行板電容器內(nèi)部近似為均勻電場(chǎng) ∴ ??? EU V 820 根據(jù)場(chǎng)強(qiáng) E? 與電勢(shì) U 的關(guān)系 UE ???? ，求下列電 場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)： (1)點(diǎn)電荷 q 的電場(chǎng)；(2)總電量為 q ，半徑為 R 的均勻帶電圓環(huán)軸上一點(diǎn)； *(3)偶極子 qlp? 的 lr?? 處 (見題820圖 )． 解 : (1)點(diǎn)電荷 rqU0π4 ?? 題 820 圖 ∴ 0200 π4 rrqrrUE ??? ?????? 0r? 為 r 方向單位矢量． (2)總電量 q ，半徑為 R 的均勻帶電圓環(huán)軸上一點(diǎn)電勢(shì) 220π4 xRqU ?? ? ∴ ? ? ixRqxixUE ??? 2/3220π4 ?????? ? (3)偶極子 lqp ??? 在 lr?? 處的一點(diǎn)電勢(shì) 200 π4c o s])c o s21(1)c o s2(1[π4rqlllrqU????? ????? ∴ 30π2c osrprUE r ? ?????? 30π4 s in1 rpUrE ? ??? ????? 821 證明：對(duì)于兩個(gè)無(wú)限大的平行平面帶電導(dǎo)體板 (題 821 圖 )來(lái)說(shuō)， (1)相向的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號(hào)相反 ； (2)相背的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號(hào)相同． 證 : 如題 821圖所示，設(shè)兩導(dǎo)體 A 、 B 的四個(gè)平面均勻帶電的電荷面密度依次為 1? ， 2? ， 3? ， 4? 題 821 圖 (1)則取與平面垂直且底面分別在 A 、 B 內(nèi)部的閉合柱面為高斯面時(shí)，有 0)(d 32 ?????? SSEs ???? ∴ ?2? 03?? 說(shuō)明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號(hào)相反； (2)在 A 內(nèi)部任取一點(diǎn) P ，則其場(chǎng)強(qiáng)為零，并且它是由四個(gè)均勻帶電平面產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)疊加 而成的，即 02222 04030201 ???? ???????? 又∵ ?2? 03?? ∴ 1? 4?? 說(shuō)明相背兩面上電荷面密度總是大小相等，符號(hào)相同． 822 三個(gè)平行金屬板 A ， B 和 C 的面積都是 200cm2， A 和 B 相距 ， A 與 C 相距 mm． B ， C 都接地，如題 822圖所示．如果使 A 板帶正電 107C，略去邊緣效應(yīng)，問(wèn)B 板和 C 板上的感應(yīng)電荷各是多少 ?以地的電勢(shì)為零，則 A 板的電勢(shì)是多少 ? 解 : 如題 822圖示，令 A 板左側(cè)面電荷面密度為 1? ，右側(cè)面電荷面密度為 2? 題 822 圖 (1)∵ ABAC UU ? ，即 ∴ ABABACAC EE dd ? ∴ 2dd21 ???ACABABACEE?? 且 1? + 2? SqA? 得 ,32 SqA?? SqA321 ?? 而 71 10232 ???????? AC qSq ? C C101 72 ?????? Sq B ? (2) 301 ???? ACACACA EU ??V 823 兩個(gè)半徑分別為 1R 和 2R （ 1R ＜ 2R )的同心薄金屬球殼 ，現(xiàn)給內(nèi)球殼帶電 +q ，試計(jì)算： (1)外球殼上的電荷分布及電勢(shì)大小； (2)先把外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，此時(shí)外球殼的電荷分布及電勢(shì)； *(3)再使內(nèi)球殼接地，此時(shí)內(nèi)球殼上的電荷以及外球殼上的電勢(shì)的改變量． 解 : (1)內(nèi)球帶電 q? ；球殼內(nèi)表面帶電則為 q? ,外表面帶電為 q? ，且均勻分布，其電勢(shì) 題 823 圖 ? ?? ? ???? 2 2 020 π4π4 ddR R RqrrqrEU ???? (2)外殼接地時(shí)，外表面電荷 q? 入地，外表面不帶電，內(nèi)表面電荷仍為 q? ．所以球殼電勢(shì)由內(nèi)球 q? 與內(nèi)表面 q? 產(chǎn)生： 0π4π4 2020 ??? RqRqU ?? (3)設(shè)此時(shí)內(nèi)球殼帶電量為 q? ；則外殼內(nèi)表面帶電量為 q?? ，外殼外表面帶電 量為??q q? (電荷守恒 )，此時(shí)內(nèi)球殼電勢(shì)為零，且 0π4 39。OO 題 813 圖 (a) 題 813 圖 (b) (3)設(shè)空 腔任一點(diǎn) P 相對(duì) O? 的位矢為 r?? ，相對(duì) O 點(diǎn)位矢為 r? (如題 813(b)圖 ) 則 03??rEPO ?? ?， 03??rE OP ???? ??, ∴ 000 339。 m3求距球心 5cm，8cm ,12cm 各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)． 解 : 高斯定理 0d ??? ?? qSEs??, 02π4 ??? qrE 當(dāng) 5?r cm 時(shí)， 0??q , 0?E? 8?r cm 時(shí)， ?q 3π4p? 3(r )3內(nèi)r? ∴ ? ?2023π43π4rrrE?? 內(nèi)?? ?? 1CN ?? ， 方向沿半徑向外． 12?r cm時(shí) , 3π4? ??q ?3(外r ）內(nèi) 3r ∴ ? ? 42033π4???? r rrE ?? 內(nèi)外 1CN ?? 沿半徑向外 . 811 半徑為 1R 和 2R ( 2R ＞ 1R )的兩無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面，單位長(zhǎng)度上分別帶有電量 ? 和 ? ,試求 :(1)r ＜ 1R ； (2) 1R ＜ r ＜ 2R ； (3) r ＞ 2R 處各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)． 解 : 高斯定理 0d ??? ?? qSEs?? 取同軸圓柱形高斯面，側(cè)面積 rlS π2? 則 rlESES π2d ??? ?? 對(duì) (1) 1Rr? 0,0 ??? Eq (2) 21 RrR ?? ?lq?? ∴ rE 0π2 ??? 沿徑向向外 (3) 2Rr? 0??q ∴ 0?E 題 812 圖 812 兩個(gè)無(wú)限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分別為 1? 和 2? ，試求空間各處場(chǎng)強(qiáng)． 解 : 如題 812圖示，兩帶電平面均勻帶電，電荷面密度分別為 1? 與 2? ， 兩面間， nE?? )(21 210 ??? ?? 1? 面外， nE ?? )(21 210 ??? ??? 2? 面外， nE ?? )(21 210 ??? ?? n? ：垂 直于兩平面由 1? 面指為 2? 面． 813 半徑為 R 的均勻帶電球體內(nèi)的電荷體密度為 ? ,若在球內(nèi)挖去一塊半徑為 r ＜ R 的小球體，如題 813圖所示．試求：兩球心 O 與 O? 點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，并證明小球空腔內(nèi)的電場(chǎng)是均勻的． 解 : 將此帶電體看作帶正電 ? 的均勻球與帶電 ?? 的均勻小球的組合，見題 813圖 (a)． (1) ?? 球在 O 點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng) 010?E? ， ?? 球在 O 點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng) 39。 m1(1)在導(dǎo)線的延長(zhǎng)線上與導(dǎo)線 B端相距 1a = P 點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)； (2)在導(dǎo)線的垂直平分線上與導(dǎo)線中點(diǎn)相距 2d = 處 Q 點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)． 解： 如題 86圖所示 (1)在帶電直線上取線元 xd ，其上電量 qd 在 P 點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)為 20 )( dπ4 1d xa xE P ?? ?? 2220 )( dπ4d xa xEEllPP ??? ?? ??? ]2121[π40 lala ???? ?? )4(π 220 lal ?? ? ? 用 15?l cm ， ???? 1mC ?? , ?a cm 代入得 ??PE 1CN ?? 方向水平向右 (2)同理 2220 ddπ4 1d ?? x xE Q ?? 方向如題 86 圖所示 由于對(duì)稱性 ? ?l QxE 0d ，即 QE? 只有 y 分量， ∵ 22222220 ddddπ4 1d??? xxxE Qy ?? 22π4dd ??? ?? l QyQy EE ?? ?22 23222 )d(dll xx 2220 d4π2 ?? ll? ? 以 ???? 1cmC ?? , 15?l cm , 5d2? cm 代入得 ??? QyQ EE 1CN ?? ，方向沿 y 軸正向 87 一個(gè)半徑為 R 的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為 ? ,求環(huán)心處 O 點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)． 解 : 如 87圖在圓上取 ?Rddl? 題 87圖 ??? ddd Rlq ?? ， 它在 O 點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)大小為 20π4 dd RRE ? ??? 方向沿半徑向外 則 ????? ds inπ4s indd0 REE x ?? ?????? dc osπ4)c os (dd0 REE y???? 積分 RRE x 000 π2ds i nπ4 ??????? ?? ? 0dc osπ4 00 ??? ? ????? RE y ∴ REE x 0π2 ????，方向沿 x 軸正向． 88 均勻帶電的細(xì)線彎成正方形，邊長(zhǎng)為 l ，總電量為 q ． (1)求這正方形軸線上離中心為 r 處的場(chǎng)強(qiáng) E ； (2)證明：在 lr?? 處，它相當(dāng)于點(diǎn)電荷 q 產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) E ． 解 : 如 88圖示，正方形一條邊上電荷 4q 在 P 點(diǎn)產(chǎn)生物強(qiáng) PE?d 方向如圖，大小為 ? ?4π4c o sc o sd22021lrE P ??????? ∵