【正文】 為 a? ，在 x,y方向的分量分別為 ?xa 與 ?ya ，那么：xyaa????tan 利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的公式， 21a a a??? 所以： 1xxa a a? ?? yy aa ?? 于是：1ta nyyxxaaa a a? ???? ? 即： 1si n c os si nxya a a? ? ??? （ 4） 由（ 1）（ 2）（ 3） （ 4）聯(lián)立，計(jì)算可得： 21 212sin co ssinmagmm???? ? ； 12 212sin c o ssinmagmm????? ? ； 12 2( ) sinsinmmag???? ? ? 相互作用力 N= gmm mm ??221 21 sincos? 210. 一小環(huán)套在光滑細(xì)桿上，細(xì)桿以傾角 ? 繞豎直軸作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為 ? ，求：小環(huán)平衡時(shí)距桿端點(diǎn) O 的距離 r . 13 z r ? O 解：根據(jù)題意，當(dāng)小環(huán)能平衡時(shí)，其運(yùn)動(dòng)為繞 Z軸的圓周運(yùn)動(dòng)，所以可列式： mgN ??sin ??? sinco s 2 rmN ? 所以，可得：??? sintan2 gr ? 211. 設(shè)質(zhì)量為 m 的帶電微粒受到沿 x 方向的電力 iF )( cxb?? ，計(jì)算粒子在任一時(shí)刻 t 的速度和位置，假定0?t 時(shí)， 0,0 00 ?? xv .其中 cb、 為與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)， m 、 F 、 x 、 t 的單位分別為 kg 、 N 、 m 、 s . 解：根據(jù)題意和牛頓第二定律，可列式：22)( dtdmcxb x??? iF ， 整理可得二階微分方程： 022 ??? bcxdtdm x 。設(shè)各面間 的摩擦力均可忽略不計(jì)。 解：由題意和牛頓第二定律可得： dxdvmvdtdxdxdvmdtdvmxkf ?????2 再采取分離變量法可得： mvdvdxxk ??2 ， 兩邊同時(shí)取積分，則： m vdvdxxk vAA ?? ?? 024/ 所以：mAkv 6? 24. 一質(zhì)量為 kg2 的質(zhì)點(diǎn)，在 xy 平面上運(yùn)動(dòng)，受到外力 jiF 2244 t?? (SI)的作用， 0?t 時(shí)，它的初速度為jiv 430 ?? (SI)，求 st 1? 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度及受到的法向力 nF 解：由題意和牛頓第二定律可得： dtdmm vaf ?? ，代入 f與 v，并兩邊積分， vj i mddtt vv?? ?? 0)244( 210， 10 )]43([284 jivj i ????? iv 5? 速度是 i 方向，也就是切向的，所以法向的力是 j 方向的，則 24??Fj 25. 如圖，用質(zhì)量為 1m 的板車運(yùn)載一質(zhì)量為 2m 的木箱，車板與箱底間的摩擦系數(shù)為 ? ，車與路面間的滾動(dòng)摩擦可不計(jì)，計(jì)算 拉車的力 F 為多少才能保證木箱不致滑動(dòng)？ 解 ： 根 據(jù) 題 意 ， 要 使 木 箱 不 致 于 滑 動(dòng) ， 必 須 使 板 車 與 木 箱 具 有 相 同 的 加 速 度 ， 所 以 列 式 ：21 2 2 2m sxF mgfa m m m m??? ? ?? 可得： gmmF )( 21 ??? 26. 如圖所示一傾角為 ? 的斜面放在水平面上，斜面上放一木塊，兩者間摩擦系數(shù)為 )( ?? tg? 。 習(xí)題 2 21. 質(zhì)量為 m 的子彈以速度 0v 水平射入沙土中，設(shè)子彈所受阻力與速度反向，大小與速度成正比，比例系數(shù)為 k ，忽略子彈的重力，求： (1) 子彈射入沙土后，速度隨 時(shí)間變化的函數(shù)式； (2) 子彈進(jìn)入沙土的最大深度。 14. 運(yùn)動(dòng)物體的加速度隨時(shí)間減小，而速度隨時(shí)間增加，是可能的嗎？ 答：是可能的。求：（ 1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程；（ 2）質(zhì)點(diǎn)的速度大小；（ 3）質(zhì)點(diǎn)的加速度大小。 113. 一物體和探測(cè)氣球從同一高度豎直向上運(yùn)動(dòng)，物體初速為 s/ ?v ，而氣球以速度 s/?v 勻速上升，問氣球中的觀察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末測(cè)得物體的速度各多少？ 物體在任意時(shí)刻的速度表達(dá)式為 gtvvy ?? 0 故氣球中的觀察者測(cè)得物體的速度 vvv y ??? 代入時(shí)間 t可以得到第二秒末物體速度 smv ?? 第三秒末物體速度 0??v 第四秒末物體速度 smv ??? 114. 質(zhì)點(diǎn)沿 x 在軸向運(yùn)動(dòng)，加速度 kva ?? ， k 為常數(shù)．設(shè)從原點(diǎn)出發(fā)時(shí)速度為 0v ，求運(yùn)動(dòng)方程 )(txx? . 解： kvdtdv ?? ?? ?? tvv kdtdvv 00 1 tkevv ?? 0 tkevdtdx ??0 dtevdx tktx ??? ?0 00 )1(0 tkekvx ??? 115. 跳水運(yùn)動(dòng)員自 m10 跳臺(tái)自由下落，入水后因受水的阻礙而減速，設(shè)加速度 2kva ?? ， ??k .求運(yùn)動(dòng)員速度減為入水速度的 10%時(shí)的入水深度。 解：小球落地時(shí)速度為 ghv 20 ? ,以小球第一次落地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) 建立直角坐標(biāo)系， 如圖 000 60cosvvx ? 2000 60c os2160c os tgtvx ?? 4 （ 1） 000 60sinvvy ? 2000 60s in2160s in tgtvy ?? （ 2）第二次落地時(shí) 0?y gvt 02? 所以 mgvtgtvx os2160c os202000 ???? 19. 地球的自轉(zhuǎn)角速度最大增加到若干倍時(shí)，赤道上的物體仍能保持在地球上而不致離開地球 ?已知現(xiàn)在赤道上物體的向心加速度約為 2s/ ，設(shè)赤道上重力加速度為 2m/ . 解：赤道上的物體仍能保持在地球必須滿足 2?Rg? 現(xiàn)在赤道上物體R ????? 17 2 ???? ??? 110. 已知子彈的軌跡為拋物線，初速為 0v ，并且 0v 與水平面的夾角為 ? .試分別求出拋物線頂點(diǎn)及落地點(diǎn)的曲率半徑。 解： 1）由 jir )t23(t4 2 ??? 可知 2t4x? t23y ?? 消去 t得軌道方程為： 2)3y(x ?? 2） jirv 2t8dtd ??? jijivr 24)dt2t8(dt 1010 ????? ??Δ 3） jv 2(0)? jiv 28(1) ?? 13. 已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為 jir tt 22 ?? ，式中 r 的單位為 m ， t 的單位為 s .求：（ 1）任一時(shí)刻的速度和加速度；（ 2）任一時(shí)刻的切向加速度和法向加 速度。 解： 1） 由 )ωts inωt( c o s ji ?? Rr 知 tcosRx ω? tsinRy ω? 消去 t可得軌道方程 222 Ryx ?? 2） jrv tRc oss i n ωωtωRωdtd ???? i RωtωRωtωRωv ???? 2122 ])c o s()s i n[( 12. 已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為 jir )t23(t4 2 ??? ，式中 r 的單位為 m ， t 的單位為 s .求：（ 1）質(zhì)點(diǎn)的軌道；（ 2）從 0?t 到 1?t 秒的位移；（ 3） 0?t 和 1?t 秒兩時(shí)刻的速度。試證明人影的頂端作勻速運(yùn)動(dòng)，并求其速度 2v . 證明：設(shè)人從 O點(diǎn)開始行走， t 時(shí)刻人影中足的坐標(biāo)為 1x ，人影中頭的坐標(biāo)為 2x ，由幾何關(guān)系可得 圖 16 21122 hhxx x ?? 而 tvx 01? 所以，人影中頭的運(yùn)動(dòng)方程為 021 121 112 vhh thhh xhx ???? 人影中頭的速度 021 122 vhh hdtdxv ??? 17. 一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為 2242 ttx ??? (m)，在 t從 0秒到 3 秒的時(shí)間間隔內(nèi)，則質(zhì)點(diǎn)走過的路程為多少？ 解： tdtdxv 44 ??? 若 0?v 解的 st 1? mxxx 22)242(011 ???????? mxxx 8)242()32342( 2133 ????????????? mxxx 1021 ?????? 18. 一彈性球直落在一斜面上，下落高度 cm20?h ，斜面對(duì)水平的傾角 ?30?? ，問它第二次碰到斜面的位置距原來的下落點(diǎn)多遠(yuǎn) (假設(shè)小球碰斜面前后速度數(shù)值相等，碰撞時(shí)人射角等于反射角 )。 解：兩個(gè)物體在任意時(shí)刻的速度為 jiv A )s in(c o s0 gtvv 0 ??? ?? jiv B g t)s in(c o s0 ?? 0vv ?? jivvv ABA )s i ns i n()c o sc o s( 0000B ???? vvvv ?????? 與時(shí)間無關(guān)，故 B 相對(duì)物體 A 的速度是常 矢量。 解：（ 1） )1ln( btudtdxv ???? （ 2） btubdtdva ??? 1 117. 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為： ,2,s i n,c os thztRytRx ???? ??? 式中 ?、 hR 為正的常量。 答：平均加速度表示速度 v? 在 t? 時(shí)間內(nèi)的平均變化率，它只能粗略地反映運(yùn)動(dòng)速 度的變化程度和方向，而瞬時(shí)加7 速度能精確反映質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的變化及方向。 答：方法一 如圖，以 A 船為參考系，在該參考系中船 A是靜止的，而船 B的速度Avvv B ??? . v? 是船 B相對(duì)于船 A的速度 ,從船 B作一條平行于 v? 方向的直線 BC,它不與船 A相交 ,這表明兩船不會(huì)相碰 . 由 A作 BC垂線 AC,其長(zhǎng)度 minr 就是兩船相靠最近的距離 ?sinmin Rr ? 作 FD//AB,構(gòu)成直角三角形 DEF,故有 v vv AB ??? ??? s ins ins in 在三角形 BEF中 ,由余弦定理可得 )c o s (222 ?? ????? BABA vvvvv Rvvvv vvrBABAAB )c os (2 s i ns i n22m in ???? ??? ?? 方法二： 兩船在任一時(shí)刻 t 的位置矢量分別為 jir A )ts in)c o s( ?? BA vtv (?? jir B )t s i n)c o s( ?? BB vtvR (??? jirrr A ])s i ns i n[(])c o sc o s([B tvvtvvR ABAB ???? ?????? 任一時(shí)刻兩船的距離為 22 ])s i ns i n[(])c osc os([ tvvtvvRr ABAB ???? ????? 令 0)( ?dttdr Rvvvv vvt ABAB AB 22 )s i ns i n()c osc os( c osc os ???? ?? ??? ?? Rvvvv vvrBABAAB )c os (2 s i ns i n22m in ???? ??? ?? 8 16. 若質(zhì)點(diǎn)限于在平面上運(yùn)動(dòng)，試指出符合下列條件的各應(yīng)是什么樣的運(yùn)動(dòng)？ （ 1） 0dd ?tr ， 0dd ?tr ；（ 2） 0dd ?tv ， 0dd ?tv ；（ 3） 0dd ?ta ， 0dd ?ta 答 : (1) 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng) . (2) 質(zhì)點(diǎn)作勻速率曲線運(yùn)動(dòng) . (3) 質(zhì)點(diǎn)作拋體運(yùn)動(dòng) . 17. 一質(zhì)點(diǎn)作斜拋運(yùn)動(dòng)，用 1t 代表落地時(shí)， . （ 1）說明下面三個(gè)積分的意義： tvtvtv tt yt x d,d,d 111000 ???. （ 2）用 A 和 B 代表拋出點(diǎn)和落地點(diǎn)位置，說明下面三個(gè)積分的意義： ? ?? BA BABA rd,d,d rr . 答 :（ 1） tvtxd10? 表示物體落地時(shí) x方向的距離； tvt yd10? 表示物體落地時(shí) y方向的距離； tvt d10? 表示物體在 1t 時(shí)間內(nèi)走過的幾何路程； （ 2） ?BArd 表示拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)的位移； ?BA rd 表示拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)位移的大小； ?BAdr 表示拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)位移的大小。 距轉(zhuǎn)軸為 r 處繩中的張力 T( r) 將 提 供 的 是 r 以 外 的 繩 子 轉(zhuǎn) 動(dòng) 的 向 心 力 ， 所