【正文】 意點(diǎn) P 的場(chǎng)強(qiáng)。插入之后兩板間的電勢(shì)差減小到原來(lái)的 60％， 試 求電介質(zhì)的相對(duì) 介電常數(shù) 。求 B 的內(nèi)表面上線電荷密度 ?1 和外表面上線電荷密度 ?2 之比值 ?1/?2。使兩板分別帶上電荷面密度為 ?0 的等量異號(hào)電荷，這時(shí)兩板間電壓為 U0=300V。設(shè)球面和線上的電荷分布不受相互作用的影響，試求細(xì)線所受球面電荷的電場(chǎng)力和細(xì)線在該電場(chǎng)中的電勢(shì)能 (設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零 )。在其軸線上有 A、 B 兩點(diǎn)， 它們與環(huán)心的距離分別為 OA 3R? ， OB 8R? 。 [解 ] 無(wú)限大帶電平板外電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為 02???E 空間的電場(chǎng)強(qiáng)度： 電勢(shì)： ?RE ?xdPr drOE?R+ ?習(xí)題 1218 圖 +? ? a O ? a x 電勢(shì)分布曲線： aa0 σ a /ε0σ a /ε0 1219. 如習(xí)題 1219 圖所示，兩無(wú)限長(zhǎng)的同軸均勻帶電圓筒，內(nèi)筒半徑為 R1，單位長(zhǎng)度帶電量為 ?1，外筒半徑為 R2，單位長(zhǎng)度帶電量為 ?2。 [解 ] 設(shè)帶正電的球殼中心的電勢(shì)為 1U ，帶負(fù)電的為 2U 。 [解 ] 由電場(chǎng)疊加原理 2OO0qO 4 ???? rqEEE ??球 20 OO4 qr?? ??OEi 3ONONNq 2 2 20 O N 0 O N 0 O N 0434 4 4 3r rqqE E E r r r?? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?球 ON20 O N 0()43rq r ??? ????NEi 3OPOPPq 2 2 20 O P 0 O P 0 O P 0434 4 4 3r rqqE E E r r r?? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?球 OPP 20 O P 0()43rq r ??? ????Ei 3 3Mq 2 2 2 20 O M 0 O M 0 O M 0 O M434 4 4 3Rq q RE E E r r r r?? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?球 3M 220 O M 0 O M()43qRrr??? ????Ei 1214． 如習(xí)題 1214 圖所示 一環(huán)形薄片由細(xì)繩懸吊著，環(huán)的外半徑R，內(nèi)半徑為 R/2，并有電量 Q 均勻分布在環(huán)面上。 （ 3） )( 412)( d4d4d330 R 20 402 RrRrRqRrrrqrRqrrEU Rrr????????? ?????? ??? ???????? )( 4)( d4d0 r 20 RrrqRrrrqrEU r????? ?? ?????? 1212． 如習(xí)題 1212 圖所示，在 Oxy 平面內(nèi)有與 y 軸平行、位于 2ax? 和 ax 21?? 處的兩條無(wú)限長(zhǎng)平行均勻帶電 直線，電荷線密度分別為 +?和 ??。 同理大球產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度 iE 03??d?? 小球產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度 032 3444 ???? rdE ??? iE 20312 dr???? 合電場(chǎng)強(qiáng)度 iiE ???????? ??????????? ???2302030P 43123 drddrd ?????? 1211． 一半徑為 R 的帶電球體，其體電荷密度分布為 4Rqr??? (r≤R) 0?? (rR) 試求： (1)帶電球體的總電量； (2)球內(nèi)外各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)； (3)球內(nèi)外各點(diǎn)的電勢(shì)。設(shè) O?、 O、P 三點(diǎn)在同一直徑上，且 OP=d。 [解 ] 以同心球面為高斯面，電通量為 024d ?? ??? ??? qErS SE ? ? QRrAQdrrq rR ????? ???? 2122020 2ds i nd 1 ???? ?? ? ?2021242 r QRrAE ??? ??? 當(dāng) 212 RQA ??時(shí) 02?AE? 與 r 無(wú)關(guān)。 [解 ] 在帶電球體內(nèi)外分別做與之同心的高斯球面。 在 O 點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度 (利用圓環(huán)軸線電場(chǎng)強(qiáng)度公式 ) ? ? 23220x 4 dd rx qxE ?? ?? 帶電半球殼在 O 點(diǎn)的總電場(chǎng)強(qiáng)度 ? ? ? ???? ????? 2322023220xx 4 24 dd rx r dlxrx qxEE ?? ???? 由于 ?cosRx? ， ?sinRr? ， ?dd Rl? 所以 ? ? 0200200200x 42c os82d2s i n8dc oss i n2 ?????????????? ??? ??????? ?????? ??EE 方向沿 x 軸負(fù)向 127． 如習(xí)題 127 圖所示， A、 B 為真空中兩個(gè)平行的 “無(wú)限大 ”均勻帶電平面，已知兩平面間的電場(chǎng)強(qiáng)度為 E0，兩平面外側(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度大小都是 03E ，方向如圖。 [解 ] 將半圓環(huán)分成無(wú)窮多小段，取一小段 dl，帶電量 lRQq dd ?? dq 在 O 點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度 2020 4d4ddRlRQRqE????? ?? 從對(duì)稱(chēng)性分析， y 方向的電場(chǎng)強(qiáng)度相互抵消，只存在 x 方向的電場(chǎng)強(qiáng)度 lRQEE ds i n4s i ndd 302x ???? ???? ?dd Rl? ??? ? d4 sind 202x RQE ? 2020 202xx 2d4 s i nd RQRQEEE ????? ?? ???? ?? 方向沿 x 軸正方向 125. 如習(xí)題 125 圖所示，一半徑為 R 的無(wú)限長(zhǎng)半圓柱面形薄筒，均勻帶電，沿軸向單位長(zhǎng)度上的帶電量為 ?，試求圓柱面軸線上一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度 E。 [解 ] 建立如圖所示坐標(biāo)系 ox，在帶電直導(dǎo)線上距 O 點(diǎn)為 x 處取電荷元 xLqq dd ? ，它在 P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為 ? ? ? ? xxdL LqxdL qE d4 1d4 1d 2020 ?????? ???? 則整個(gè)帶電直導(dǎo)線在 P 點(diǎn)產(chǎn)生的電電場(chǎng)強(qiáng)度度為 ? ? ? ?dLd qxxdL LqE L ????? ? 00 20 4 1d4 1 ???? 故 ? ? iE dLdq ?? 04?? 124． 用絕 緣細(xì)線彎成的半圓環(huán)，半徑為 R，其上均勻地帶有正電荷 Q，試求圓心處點(diǎn) O 的電場(chǎng)強(qiáng)度 。 [解 ] 將半球面分成無(wú)限多個(gè)圓環(huán)，取一圓環(huán)半徑為 r，到球心距離為 x，所帶電量絕對(duì)值lrq d2d ??? 。試求球內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)分布。 129． 有一帶電球殼，內(nèi)、外半徑分別為 R1 和 R2，體電荷密度 rA?? ，在球心處有一點(diǎn)電荷 Q，求當(dāng) A 取什么值時(shí)，球殼區(qū)域內(nèi) (R1r R2)的場(chǎng)強(qiáng) E 的大小與 r 無(wú)關(guān)。求：(1)在球形空腔內(nèi)，球心 O?處的電場(chǎng)強(qiáng)度 O?E ； (2)在球體內(nèi)點(diǎn) P 處的電場(chǎng)強(qiáng)度 E。 大球產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度： 在球體內(nèi)做半徑為 d 的同心高斯球面，應(yīng)用高斯定理 032 344 ? ??? ddE ??? 03??dE? 而小球產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度由于對(duì)稱(chēng) 性為 0 因此 O? 點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度 iE 0O 3??d?? (2)P 點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度也是兩球電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加。設(shè)距球心 r 處厚度為 dr 的薄球殼所帶電量為 dq 習(xí)題 1210 圖 ? O ? r P x d O? rrRqrrq d4d4d 342 ??? ?? r≤R 時(shí) 440 34 d4 rRqrrRqq r ?? ?內(nèi) 解得 4024 RqrE ??? (r≤R) (或2404 qr R??? rEe) rR 時(shí)高斯面內(nèi)包圍的是帶電體的總電量 q 應(yīng)用高斯定理 024 ?? qrE ?? 204 rqE ??? (rR) 方向沿徑向 (或 204 q r??? rEe) 當(dāng) q0 時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度方向均徑向向外；當(dāng) q0 時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度方向均指向球心。試求：點(diǎn) O、 P、 N、 M 處的場(chǎng)強(qiáng) (O? 、 O、 P、 N、 M 在一條直線上 )。 [解 ] 取如圖所示的電荷元 dq， xlqq d2d ? ，它在 P 點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為 ? ? ? ?xal xlqxal qu ?????? 2 d82 d4 1d 00 ???? 則整個(gè)帶電直線在 P 點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為 ? ? a allqxal xlqxal xlqU l ???????? ?? 2ln82 d82 d8 02022 ?????? 1216． 習(xí)題 1216 圖為兩個(gè)半徑均為 R 的非導(dǎo)體球殼，表面上均勻帶電，帶電量分別為 +Q和 Q，兩球心距離為 d(d2R)，求兩球心間的電勢(shì)差。設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn) O 處的電勢(shì)為零，試求空間的電勢(shì)分布并畫(huà)出其曲線。 rlES ?2d ???? SE 根據(jù)高斯定理 ??? ?? qS 01d ?SE 所以???????????????202121011220RrrRrRrRrE??????? 2b02ab01ab ln2ln2dd b22a RRRRrErEU RRRR ?????? ???? ?? 外內(nèi) a101aOa ln2d1a RRrEUU RR ?????? ? 內(nèi) 1220. 如習(xí)題 1220 圖所示，一半徑為 R 的均勻帶正電圓環(huán)，其線電荷密度為 ? 。沿徑矢方向上有一均勻帶電細(xì)線，線電荷密度為 ?，長(zhǎng)度為 l，細(xì)線近端離球心的距離為 r0。 d+ Q A B習(xí)題 13 3 圖 S S [解 ] 由例題 131 的結(jié)論知： 兩帶電 導(dǎo)體 平板相向面上 電荷面密度 大小相等符號(hào)相反，而相l(xiāng)r 0OqR dxx背面上 電荷面密度 大小相等符號(hào)相同，因此 ： （ 1） 板 B 不接地 時(shí) ， A、 B 兩板上的電荷分布如圖 133(1)所示： 因而板間電場(chǎng)強(qiáng)度為 SQE02?? 電勢(shì)差為 SQdEdU0AB 2??? Q / 2d+ QA B習(xí) 題 133(1) 圖 SSQ / 2 Q / 2Q / 2 (2) 板 B 接地時(shí)， A、 B 兩板上的電荷分布如圖 133(2)所示， 故板 間電場(chǎng)強(qiáng)度為 SQE0?? ， 電勢(shì)差為 SQdEdU0AB ??? Q Qd+ QA B習(xí) 題 133(2)圖 134 兩塊靠近的平行金屬板間原為真空。圓柱面 B 上帶電荷， A 和 C 都接地。 [解 ] 導(dǎo)體板內(nèi)場(chǎng)強(qiáng) 0?內(nèi)E ，由高斯定理可得板外場(chǎng)強(qiáng)為 02???E 故 A、 B 兩點(diǎn)間電勢(shì)差為 ? ?abxxxU bda dadaaaBA ???????? ???? ???? 000 0 2202 ?????? dddldEAB 137．為了測(cè)量電介質(zhì)材料的相對(duì) 介電常數(shù) ，將一塊厚為 的平板材料慢慢地插進(jìn)一電容器的距離為 的兩平行板中間 ， 插入過(guò)程中電容器的電荷保持不變。試求該導(dǎo)體組單位長(zhǎng)度的電容。 llr L E ????? 0011 1d12d ???? ??? SΕ 所以 rE 01 2???? 同理 ? ?rdE ?? 02 2??? 根據(jù)疊加原理， P 點(diǎn)總場(chǎng)強(qiáng)為 ?????? ????? rdrEEE 112 1 021 ?? 兩條線間電壓為 R RdrrdrU RdRRdR ???????? ????? ?? ?? lnd112d 00 ??????lE 故單位長(zhǎng)度電容 R RdUC ??? ln 0??? 139．一電容器由兩個(gè)很長(zhǎng)的同軸薄圓筒組成，內(nèi)、外圓筒半徑分別為 R1=2cm， R2 =5cm，RrPdR其間充滿相對(duì)電容率為 ?r 的各向同性均勻電介質(zhì)，電容器接在 U=32V 的電源上 ， 如 習(xí)題 139圖 所示。 [解 ] (1) 由有介質(zhì)的高斯定理 Q???? SdD ? ?? ???????????drcdrcrrQ042 或reD ? (2) 由靜電場(chǎng)的性能方程 ED r0??? 得 ? ?? ?? ???????????????????drcbrarQdrcrbarrQ0