【正文】 P=q E (3)兩點電勢差與零點選取無關(guān) . =1/(4πε0r) 4πε0r3 qr dl ?(0)a– E (2)電勢能與 電勢是相對的 ,與零 點的選取有關(guān) ,零點的選取任意 。dl ?(0)b= Edl ?(0)P= Edl ?(0)P 與電荷無關(guān) ,由 WP/q 電場本身固有性質(zhì)決定 . (1)定義 (描述電場的又一物理量 ) = E 積 分與路徑無關(guān)的場是保守場 . (由環(huán)路定理得出 ) 三 .電勢能與電勢 保守力 勢能 靜電場力是保守力 電勢能 由電荷在電場中的相 對位置所決定的做功本領(lǐng) 點電荷在某點電勢能等于電場力 將其從該點移到參考點所做的功 . WP= qEdl ?bla )( 1– qEdl ?l = qEdl ?alb )( 2a b l1 l2 = qEdl dq ?l= q0 ?q 4πε0r2 dr dq ?l= q0 ?q4πε0 q0 dq = ?q r1 1 r2 1 結(jié)果表明 :點電荷 q0在任意電荷 激發(fā)的電場中運動時靜電場力做 功與路徑無關(guān) , 只與 q0 的始末位 置有關(guān) . 二 .靜電場環(huán)路定理 A= Fdl ?q= q0 ?l4πε0r3 rdl ?l= θ = [qq0dlcosθ/(4πε0r2)] ?21rrr1 r2 (dlcosθ=dr) =[qq0dr/(4πε0r2)] ?21rr=[qq0/(4πε0)](1/r1–1/r2) 即點電荷 q0 在點電荷 q激發(fā)的電 場中運動時靜電場力做功與路徑 l無關(guān) ,只與 q0的始末位置有關(guān) . 電勢 45 電勢 一 .靜電場力的功 討論點電荷 q0在靜電場中運動 ,靜電場力做功 q0 l a b q激發(fā)的電場 q E=qr/(4πε0r3) F=qq0r/(4πε0r3) F r A= F 為求 E2,在球體內(nèi)外作同心 的球形高斯面 ,有 電通量 高斯定理 球內(nèi) ra Q=??4? r23/3 E2=?? r2/(3?0) 球外 ra Q=??4?a3/3 E2=??a3/(3?0r22) 負號表示方向指向球心 . 對于 O點 E1=?d/(2?0) (因 r2=0) E2=?? r2/(3?0)=0 得 EO=?a/(2?0) 方向向右 。(2)在柱體內(nèi)與 O點對稱的 P點處的電場強度 EP. 42 由 ? ?S SE d =Σqint/ε0 得 E=σ/(2ε0) 考慮方向 ,有 x0, E=iσ/(2ε0)。 ? ?S SE d(3) 用高斯定理列方程 , 解方 程 ,指出場的方向 . 對稱性與對應(yīng)高斯面 : 球?qū)ΨQ :球電荷 柱對稱 :無限長柱電荷 面對稱 :無限大面電荷 柱 形 高斯面 球形高斯面 高斯面上的 E : ① 大小處處等 , E ?? dS。 (2) 選取合適的高斯面 (其目 的能將 寫成 ES )。 (2)當 Σqint0, 有 Φe0. 表明有 電場線進入 S面 , 面內(nèi)有 負源 。d S=Σqint/ε0 ?S這說明通過閉合曲面的電通 電通量 高斯定理 量 只與曲面內(nèi)所包圍電荷的 代數(shù)和有關(guān) , 與曲面的形狀 , 曲面外的電荷無關(guān) . 注意 : 曲面上的電場強度與 面內(nèi)外所有電荷有關(guān) . 靜電場是有源場 . (1)當 Σqint0, 有 Φe0. 表明有 電場線從 S穿出 , 面內(nèi)有 正源 。d S ??S =0 將其分成若干點電荷 q=Σqi q激發(fā)電場 E是每個點電荷激 發(fā)電場 Ei 的矢量和 E=ΣEi Φe= Ed S ?S = ΣEe= Ed S ??S =Φe= Ed S=EdScosθ =2πxQrdr/[4πε0(x2+r2)3/2] =xQrdr/[2ε0(x2+r2)3/2] Φe=dΦe= xQrdr/[2ε0(x2+r2)3/2] ?R0=[xQ/(4ε0)] d(r2+x2)/(x2+r2)3/2 ?R0=[xQ/(2ε0)][1/(x2+r2)1/2] R0=Q[1–x/(x2+R2)1/2]/(2ε0) 或用 通過圓面對應(yīng)球冠面的電通 量來計算 : S=2πR0h =2π(R2+x2)1/2[(R2+x2)1/2–x] =2π [R2+x2–x(R2+x2)1/2] E=Q/(4πε0R02) =Q/[4πε0(R2+x2)] Φe=ES=Q[1–/(x2+R2)1/2]/(2ε0) 電通量 高斯定理 29 Φe=dΦe= xQrdr/[2ε0(x2+r2)3/2] ?R0=[xQ/(4ε0)] d(r2+x2)/(x2+r2)3/2 ?R0=[xQ/(2ε0)][1/(x2+r2)1/2] R0=Q[1–x/(x2+R2)1/2]/(2ε0) 或用 通過圓面對應(yīng)球冠面的電通 量來計算 : S=2πR0h =2π(R2+x2)1/2[(R2+x2)1/2–x] =2π [R2+x2–x(R2+x2)1/2] E=Q/(4πε0R02) =Q/[4πε0(R2+x2)] Φe=ES=Q[1–/(x2+R2)1/2]/(2ε0) 電通量 高斯定理 三 .高斯定理 求過閉合曲面的電通量 1. 點電荷激發(fā)的電場 (1)閉合曲面是以 電荷為心的球面 S Φe= EdS (2)過某曲面 S的電通量 ?e ?e= ??S SE c o sd ? ?? S SE d 電通量 高斯定理 (1)電通量 ?e是標量 ,不是矢量 。 負 ,收斂 . (球?qū)ΨQ ): (3)無限大帶電平面 平行 ,等距 (2)兩點電荷 起于正終于負 . (1)起于正電荷終于負電荷； (2)不閉合 ,不相交 ,連續(xù) . E dS 39。 大小 : 用疏密表示 疏 ,E小 . 密 ,E大 。 R/ 2 電場和電場強度 例 3求半徑為 R帶電為 Q的均勻圓盤軸線上的場強 . O P 解 : 取中心軸為 x x軸 ,圓環(huán)元電荷 r dr dq=?2?rdr dE dE=dqx/[4??0(x2+r2)3/2] dE= x?rdr/[2?0(x2+r2)3/2] ?R0E=? = ? xd(x2+r2)/[4?0(x2+r2)3/2] ?R0=[? /(2?0)][1–x/(x2+R2)1/2] =[Q/(2??0R2)][1–x/(x2+R2)1/2] 當 x?R,無限大帶電平面 E=?/(2?0) 20 例 3求半徑為 R帶電為 Q的均勻圓盤軸線上的場強 . O P 解 : 取中心軸為 x x軸 ,圓環(huán)元電荷 r dr dq=?2?rdr dE dE=dqx/[4??0(x2+r2)3/2] dE= x?rdr/[2?0(x2+r2)3/2] ?R0E=? = ? xd(x2+r2)/[4?0(x2+r2)3/2] ?R0=[? /(2?0)][1–x/(x2+R2)1/2] =[Q/(2??0R2)][1–x/(x2+R2)1/2] 當 x?R,無限大帶電平面 E=?/(2?0) 例 R的半球面 ,均勻地帶有電荷 ,電荷面密度為 ?.求球心處的電場強度 . O 解 : x 取環(huán)帶微元 ? dq=?dS =?2?(Rsin?)Rd? =2??R2sin?d? dE dE=dqx/[4??0(r2+x2)3/2] ? ?3024c o sds i n2RRR????????=?sin?cos?d?/(2?0) ? ??? /23 2 02dc o ss i n?? ?????E ? ?04/ ??? 電場和電場強度 21 例 R的半球面 ,均勻地帶有電荷 ,電荷面密度為 ?.求球心處的電場強度 . O 解 : x 取環(huán)帶微元 ? dq=?dS =?2?(Rsin?)Rd? =2??R2sin?d? dE dE=dqx/[4??0(r2+x2)3/2] ? ?3024c o sds i n2RRR????????=?sin?cos?d?/(2?0) ? ??? /23 2 02dc o ss i n?? ?????E ? ?04/ ??? 電場和電場強度 例 圓環(huán) ,半徑為 R,其上均勻地帶有正點荷 Q,試求圓心O處的電場強度 . O 解 : x y 取園弧微元 dl ? dq=?dl =[Q/(?R)]Rdθ =Qdθ/? dE dE=dq/(4? ε0r2) =Qdθ/(4π2ε0R2) dEx dEy dEx=dEcos(θ+?)=－ dEcosθ dEy=dEsin(θ+?)=－ dEsinθ Ex=?dEx 22 例 圓環(huán) ,半徑為 R,其上均勻地帶有正點荷 Q,試求圓心O處的電場強度 . O 解 : x y 取園弧微元 dl ? dq=?dl =[Q/(?R)]Rdθ =Qdθ/? dE dE=dq/(4? ε0r2) =Qdθ/(4π2ε0R2) dEx dEy dEx=dEcos(θ+?)=－ dEcosθ dEy=dEsin(θ+?)=－ dEsinθ Ex=?dEx ? ???? 2/3 2/ 2024dc o s?? ???? RQ=Q/(2? 2ε0R2) Ey=?dEy ? ???? 2/3 2/ 2024ds i n?? ???? RQ=0 故 E=Ex=Q/(2? 2ε0R2) 方向沿 x軸正向 . 例 a的無限長帶電薄平板 ,電荷線密度為 ?,取中心 線為 z軸 ,x軸與薄板在 同一平面內(nèi) ,y軸垂直 薄板 .如圖 .求 y軸上 距薄板為 b的一點 P的電場強度的 大小和方向 . z x y O a b P 電場和電場強度 23 ? ???? 2/3 2/ 2024dc o s?? ???? RQ=Q/(2? 2ε0R2) Ey=?dEy ? ???? 2/3 2/ 2024ds i n?? ???? RQ=0 故 E=Ex=Q/(2? 2ε0R2) 方向沿 x軸正向 . 例 a的無限長帶電薄平板 ,電荷線密度為 ?,取中心 線為 z軸 ,x軸與薄板在 同一平面內(nèi) ,y軸垂直 薄板 .如圖 .求 y軸上 距薄板為 b的一點 P的電場強度的 大小和方向 . z x y O a b P 電場和電場強度 y x dx dE b P ? 解 :取無限長 窄條電荷 元 dx,電荷線密 度 ??=?dx/a dE=??/(2??0r) =?dx/(2??0a) dEx=dEcos? =–?xdx/[2??0a(b2+x2)] dEy=dEsin? =?bdx/[2??0a(b2+x2)] Ex=∫dEx= –?xdx/[2??0a(b2+x2)] ?? 22aa= –?ln(b2+x2)/[4??0a] 22aa? =0 Ey=∫dEy= ?bdx/[2??0a(b2+x2)] ?? 22aa24 y x dx dE b P ? 解 :取無限長 窄條電荷 元 dx,電荷線密 度 ??=?dx/a dE=??/(2??0r) =?dx/(2??0a) dEx=dEcos? =–?xdx/[2??0a(b2+x2)] dEy=dEsin? =?bdx/[2??0a(b2+x2)] Ex=∫dEx= –?xdx/[2??0a(b2+x2)] ?? 22aa= –?ln(b2+x2)/[4??0a] 22aa? =0 Ey=∫dEy= ?bdx/[2??0a(b2+x2)] ?? 22aa 其線上每點的切線都 與該點 電場強度方向重合的 一條有指向的曲線 . = ?arctan(x/b)/[2??0a] 22aa?=?arctan[x/(2b)] / [??0a] E=Eyi=i?arctan[x/(2b)]/[??0a] 電通量 高斯定理 一 .電場線 1. 定義形象直觀的描述電場 E 2. 電場的圖示法 方向 : 沿切線正向 。[(x+l/2)2–