【正文】 ???? nnF ??? ????? ? ? ?11TTF F f t? ??? ??幾類信號的傅里葉變換 離散信號的傅里葉變換（ DTFT） ( ) ( )j j nnX e x n e??? ?? ? ?? ?5sin( )2sin2???()xnn0 ()xnn0 … … 周期離散信號的傅里葉級數(shù)（ DFS） 210s in ( 5 / 8 )( ) ( )s in ( / 8 )N j k nNnkX k x n ek? ??? ?????????? k周期離散信號的傅里葉變換（ DTFT） 22( ) [ ( ) ] ( ) ( )jkX e D TF T x n X k kNN? ?? ???? ? ?? ? ?? 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X ()xnn0 離散傅里葉變換（ DFT） 210( ) [ ( ) ] ( ) , 0 , 1 , . . . . . . , 1N j k nNnX k D F T x n x n e k N?? ??? ? ? ??幾個結(jié)論： 時域離散信號與原模擬信號的的關(guān)系 x(n)=xa (t)|t=nT = xa(nT) 時域離散信號的頻譜密度與原模擬信號的頻譜密度的關(guān)系 12( ) ( )jarX e X j j rTT? ??? ? ?? ? ??2 2ssfT? ?? ? ? 為抽樣頻率 2 sT T?? ? ? ?? ? ? ? ? ?當 或 ， 即 時1( ) ( )jaX e X jT? ??式中 只要抽樣時滿足抽樣定理，有下面的結(jié)論： ( ) ( )jaX j T X e ?? ? ?或 T ???注第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 002s????c?c??s?s??()aXj ?2()arX j j rT??? ? ????0 ????2 ?()jXe?11T1T............2s?( ) ( )jaX j T X e ?? ? ???? 2s???第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 1. 用 DFT對連續(xù)信號 xa(t)進行譜分析 用 DFT對信號進行譜分析 所謂信號的譜分析就是計算信號的傅里葉變換 (FT)。 1 0 3()0nxn ???? ?? 其 它1 4 6()0nyn ???? ?? 其 它解： ( 1 ) ( ) ( ) ( ) { 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 2 , 3 , 3 , 2 , 1 } 0 9lf n x n y nn? ? ???（ 2） 圓周卷積長度 L≥ max[N,M],(N,M分別是兩序列的長度 )。 循環(huán)卷積 f(n)的前 7點與前一周期的后 7點重疊，故循環(huán)卷積 f(n)的第 8～ 20點（ n=7～ 19）等于線性卷積 。 240。???再 令 ， 得1()21 s in ( / 2 )()s in ( / 2 )NjNeN ???? ???推導： 1()21 s in ( / 2 )()s in ( / 2 )NjNeN ???? ??? ( ) ( 2 / )k kN? ? ? ? ???而第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X DFT的應(yīng)用舉例 用 DFT計算線性卷積 如果 一、用 DFT計算循環(huán)卷積 : )())(()()()()(102121 nRmnxmxnxnxny LLmL???????1122( ) [ ( )]( ) [ ( )]X k D F T x nX k D F T x n??0≤k≤L1 且 則由時域循環(huán)卷積定理有 Y(k)=DFT［ y(n)］ =X1(k)X2(k), 0≤k≤L1 式中 L≥ max[N,M], N和 M分別是 x1(n)和 x2(n)的長度 . 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X D F TD F TI D F Ty ( n )1 ()xn2 ()xn 2 ()Xk1 ()Xk圖 用 DFT計算循環(huán)卷積 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示如下： 二 .用 DFT(FFT)計算線性卷積 : 式中 L≥ M+N1, 10( ) ( ) ( ) ( ) ( )Llmy n h n x n h m x n m??? ? ? ??設(shè) h(n)≠0 0≤n≤N1 x(n) ≠0 0≤n≤M1 ???????10)())(()()()()(LmLLc nRmnxmhnxnhny（ ） ?????????qL qLmnxmnx )())((將 代入（ ） （ ） 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X ? ??????????10)()()()(LmLqc nRqLmnxmhny? ??????????qLLmnRmqLnxmh )()()(10()式中，令 n=n+qL，可得 ???????10)()()(Lml mqLnxmhqLny() ( ) [ ( ) ] ( )c l Lqy n y n q L R n?? ? ????因此可得 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X yc(n)等于 yl(n)以 L為周期的周期延拓序列的主值序列。) ( 39。39。 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 21 ()001() N j k m nm NNmkx n a eN??? ????? ??21 ()0,0, N j k m nNkN m n lNem n lNl?? ??????? ?????為 任 意 整 數(shù)NnllNnaaa ??? ????110)(1 1)( nRaanx NNnN ??? ??????????0)(1m lm lNnmNaN ?10 ??? Nn把 的運算結(jié)果和條件合并，得： ()Nxn第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 假設(shè)對 X(z)的采樣滿足頻域采樣定理；對 X(k)作逆傅里葉變換得 x(n),即 : ? ????102)(1)]([)(NkknNjekXNkXID F Tnx?目的：由 X(k)不失真的恢復(fù) X(z)和 X(ejω ) x(n)的 z變換 ?????10)()(NnnznxzX211001[ ( ) ]NN j k n nNnkX k e zN??????? ?? 內(nèi)插公式和內(nèi)插函數(shù) 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X ??? ?????10 12211)(1 Nk kNjNkNNjzezekXN ??2111001( ) ( ) ( )NN jk nNknX z X k e zN??????? ??21j k N kNN NeW????上式中 ??? ????? 10 1211)(1)( Nk kNjNzezkXNzX ?() ????????? 10111)(1 NkkNzWzkXN第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X () 令 12111)(?????zezNzkNjNk ??() ????10)()()(Nkk zkXzX ? 式 ()稱為用 X(k)表示 X(z)的內(nèi)插公式， 稱為內(nèi)插函數(shù)。 采樣 目的 :將 X(z)離散化得 X(k),經(jīng)運算或傳輸后 ,由X(k)恢復(fù) X(z) 。mx n x n m R n X k D F T x n?? ? ?? ? ? ?? 求42 2 2( ) ( ) , ( ) [ ( ) ] 。 2 ( ( ) ) knNNx n W ??第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 12( ) ( ) ( ) , 0 1X k X k X k k N? ? ? ?111200( ) ( ) ( )NNk m k nNNmnX k x m W x n W???????? ??因此 即循環(huán)卷積亦滿足交換律。 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 如果 X(k)=DFT［ x(n)］ , 0≤k≤N1 Y(k)=X((k+l))NRN(k) 3. 頻域循環(huán)移位定理 則 （ ) ( ) [ ( ) ] ( )nlNy n I D F T Y k W x n??第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 循環(huán)卷積定理 有限長序列 x1(n)和 x2(n)， 長度分別為 N1和 N2，取 N=max［ N1, N2 ］。主值區(qū)間上的序列稱為 的主值序列 . )(~ nx)(~ nx)(~ nx第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 2 0 2 4 600 . 51n x(n) 0 1 2 3 4 5 6 圖 有限長序列及其周期延拓 2 0 2 4 600 . 512 0 2 4 600 . 512 0 2 4 600 . 51n x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 … … 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 式中 x((n))N表示 x(n)以 N為周期的周期延拓序列 , ((n))N表示 n對 N求余 . 為了以后敘述方便， 將 ()式用如下形式表示： ( ) ( ( ) ) ( .7)Nx n x n? 則有 ~7~5( 7 ) ( ( 7 ) ) ( 0)( 6) ( ( 6) ) ( 1 )x x xx x x??? ? ? ?所得結(jié)果符合圖 。 ()jXe ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1601234()Xkk0 1 2 3 4 5 6 7 N=8 16 18 20 22 24 26 28 30 3201234()Xkk0 2 4 6 8 10 12 14 N=16 s i n( )2()s i n( )8 0 , 1 , ......7kXkkk