數(shù)值分析第四章數(shù)值積分-全文預(yù)覽
【正文】 的發(fā)生。 6 Numerical Differentiation h=，精度 像這樣，將微分的計(jì)算歸結(jié)為在若干節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值的 線性組合 的數(shù)值微分方法稱為 機(jī)械求導(dǎo)方法 。 4 Gaussian Quadrature ? Gauss 公式的余項(xiàng)： ? ???? ba nk kk xfAdxxffR 0 )()(][ /* 設(shè) P為 f 的過(guò) x0 … xn的插值多項(xiàng)式 */ ? ???? ba nk kk xPAdxxf 0 )()(/*只要 P 的階數(shù)不大于 2n+1，則下一步等式成立 */ dxxPxfdxxPdxxf baba ba )]()([)()( ?? ? ????插值多項(xiàng)式 的余項(xiàng) Q： 什么樣的 插值多項(xiàng)式 在 x0 … xn 上有 2n+1 階？ A： Hermite 多項(xiàng)式！ 滿足 )()(),()(kkkk xfxHxfxH ????? ?? ba dxxHxffR )]()([][),(,)()!22()()()!22()(2)12(2)12(badxxwnfdxxwnfbanbaxn????????????? Gauss 公式的穩(wěn)定性： Gauss公式的求積系數(shù) Ak 0, k=0,1,… ,n 定理 ()()22202:()( ) 2( ) ( ) , ( )( ) 0jkjxxk xxjkknbk i k i k i k iaibkkaproofl x G auss L agra ngel x nl x dx A l x l xl x dx A????????? ? ?????設(shè) 是 以 點(diǎn) 為 節(jié) 點(diǎn) 的 插 值 基 函 數(shù) ，則 是 一 個(gè) 次 多 項(xiàng) 式 ， 因 此 求 積 公 式 對(duì) 它 準(zhǔn) 確 成 立 ， 即又求積系數(shù)的另一種計(jì)算方法 結(jié)論： Gauss型積分公式是數(shù)值穩(wěn)定 的。 ② Chebyshev 多項(xiàng)式族： 2 1 1 ) ( x x ? ? ? 定義在 [?1, 1]上， ) a r c c o s( c o s)( xkxT k ??Tn+1 的根為 ?????? ??? ?22 12c os nkx kk = 0, …, n 以此為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造公式 ? ?? ???11 02 )()(11 nkkk xfAdxxfx稱為 GaussChebyshev 公式 。0???xStep 3： 代入 f (x) = 1, x 以求解 A0 ， A1 解 線性 方程組，簡(jiǎn)單。 4 Gaussian Quadrature ? 正交多項(xiàng)式族 { ?0, ?1, …, ?n, … }有性質(zhì)：任意次數(shù)不大于 n 的多項(xiàng)式 P(x) 必與 ?n+1 正交。 167。 dxxfx )(10?解： 設(shè) ，應(yīng)有 3 次代數(shù)精度。 設(shè)對(duì)于某一 h ? 0，有公式 T0(h) 近似計(jì)算某一未知值 I。 始步長(zhǎng) h ?102 167。 2 Composite Quadrature ? 復(fù)化 Simpson 公式： ),...,0(, nkhkaxnabhk ?????)]()(4)([6)( 1211?? ?????kkkxx xfxfxfhdxxfkkkx21?kx1?kx4 4 4 4 4 ])()(2)(4)([6)( 1010121? ???????? ????nknkkkba bfxfxfafhdxxf = Sn )(2180][ )4(4?fhabfR ?????????注： 為方便編程，可采用另一記法：令 n’ = 2n 為偶數(shù)， 這時(shí) ，有 hkaxhn abh k ???????? ,2])()(2)(4)([3 ? ? ?????kodd ke v e nkkn bfxfxfafhS167。 ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?00/20 / 2/ 2 / 21/ 2 / 2/ 2 / 2/ 2 / 2 ( ) ( / 2 ) ( / 2)( / 2) ( / 2)( ) 1()( ) od d [ ] 0.nnkknnk j nnnnj n j nnnj n j nl e t H u u n k u k nu k n u j l e t j k nH u u j u ju j u j H uH u R f??? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???????????注：當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， Cotes公式具有 n+1階精度，與 n+1階Cotes公式精度相同，但少計(jì)
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