【正文】 并且從中找出最優(yōu)點。設存在不同的兩點 x (1), x (2)∈ D，它們取相同的極小值 f(x (1)) = f(x (2)) = C，則對任意 0≤ λ ≤ 1，有 x = λ x (1) + (1λ ) x (2) ∈ D。這與 x*是 f(x)的局部極小點矛盾。 證明 用反證法。 如果該不等式 去掉等號 ，則稱 x*為 f(x)的 嚴格局部極小點 。 凸規(guī)劃 對于優(yōu)化問題 )(min xx fD? () 如果 D 是凸集， f(x)是 D 上的凸函數(shù)，則稱該問題為 凸規(guī)劃 。 證明 在集合 D 中任取兩點 x (1), x (2)，則對任何數(shù)值 λ ∈ [0, 1]，都有 λ g(x (1))≤ 0 和 (1λ )g(x (2))≤ 0。 如果函數(shù) f1(x)、 f2(x) 是定義在凸集 D 上的凸函數(shù)，那么函數(shù) f1(x) + f2(x) 也是定義在凸集 D 上的凸函數(shù)。 線性函數(shù)的海賽矩陣的各元素都為 0，所以線性函數(shù)在整個歐式空間中都是半正定的，因而 線性函數(shù)是凸函數(shù) 。 定理 設 f(x)是定義在凸集 D 上的可微函數(shù)，則 f(x)為凸函數(shù)的充要條件 是 :對任意兩點 x(1),x(2)∈ D，都有 )()()()( )1()2()1()1()2( xxxxx ???? Tfff () 0 x(1) x(2) f (x) x1 ? ? ? ?)2()1( )1( xx ff ?? ??x(k) f(x(k)) 圖 一元凸函數(shù)的幾何意義 0 x(1) x(2) f (x) x1 )()( )1()2()1( xxx ?? Tff(x(1)) f(x(2)) 圖 一元凸函數(shù)的充要條件 去掉等號就成為 f(x)為嚴格凸函數(shù)的充要條件。 凸函數(shù) 定義 設 f(x) 是凸集 D 上定義的函數(shù)，如果對任何數(shù)值 λ∈ [0, 1] 以及任意兩點 x(1),x(2)∈ D，都有? ? ? ? ? ?)2()1()2()1( )1()1( xxxx fff ???? ????? () 則稱 f(x) 是凸集 D 上的一個 凸函數(shù) 。 凸集的重要性質 ： 定理 任何一組凸集的交集仍是凸集。換言之，如果對任何數(shù)值 λ∈ [0, 1] 以及任意兩點 x (1),x(2)∈ D，都有 D???? )2()1( )1( xxx ?? () 則稱 D 為 凸集 。 如果 d∈ Rn 是 目標函數(shù) f(x) 在點 x(k)處的一個 下降方向 ， 必有 0)( )( ?? kT f xd () 如果 d∈ Rn 是點 x(k)處的一個 可行方向 ， 必有 圖 梯度方向與等值面（線）的關系 變化率為 0 的方向 x1 x2 x(k) 0 上 升最快方向 下 降最快方向 )( )(kf x?1)( cf ?x12)( ccf ??x)( )(kf x??下 降方向 上 升方向 )( )(kf x?x(k) 1)( cf ?x Vvg kvT ??? 　　0)( )(xd () 在最優(yōu)點 x*處，其可行方向不能同時下降方向，即 當 x(k) = x*時，式 ()與式 ()不能同時成立 。 因此，函數(shù) f(x)在點 x(k)處沿方向 S 的變化率隨 S 與 該點梯度之間夾角的變化而變化。 實對稱矩陣 A 為 半負定 的充分必要條件 是 A的 各階主子式 都小于或等于零。此時矩陣 A 稱為 負定矩陣 ，或稱 矩陣 A 是 負定的 。即 0,0,02122221112112221121111 ??? 　　　　　　　nnnnnnaaaaaaaaaaaaaa???????? () 如果對任何實向量 x≠ 0，都有 P(x) = xTAx ≥ 0，且有 x(0)≠ 0，使 x(0)TAx(0) = 0，則稱二次型 P(x) = xTAx 是半正定的。 n 維歐氏空間中向量 α 的 長度（?；蚍稊?shù)） 被定義為 ???? ni iT 1 2?ααα () n 維歐氏空間中兩個向量 α , β 之間的夾角 ?? βα, 被定義為 βαβαβα????Ta r c c os, () 因此 ????? βαβαβα ,c o sT () 正定二次型 含有 n 個變量 x x?、 xn 的二次多項式 )(2222),(11,1,1113113211222222211121R??????????????????ijjiijnjijiijnnnnnnnnnnaaaxxaxxaxxaxxaxxaxaxaxaxxxP　　　　　　　　　　　　　　 ???? () 稱為 實二次型 ，簡稱 二次型 。 小型 優(yōu)化問題：設計變量和約束條件的個數(shù)都不超過 10。 當目標函數(shù)和所有的約 束函數(shù)都是設計變量的線性函數(shù)時，稱為線性規(guī)劃問題 ，否則稱為 非線性規(guī)劃問題 。 把可行域記為 D： ? ?　　　　　 nvu qvgpuhD Rxxxx ?????? 。全體可行解構成的集合稱為 可行域 。 由于不等式的兩端同乘以 “1” 可以使不等號 “≥” 和 “≤” 互相轉換，所以優(yōu)化問題的不等式約束可以統(tǒng)一為 gv(x) ≤0 的形式（也可以統(tǒng)一為 “≥ 0” 的形式）。 數(shù)學模型的一般形式 數(shù)學模型的一般形式 優(yōu)化問題的 數(shù)學模型 可以歸納整理成下面的一般形式： qvgnpuhfvun,2,10)(,2,10)(s . t)(m i n????????　　　　　　　　xxRxx ? ?Tnnxxxxxx, 2121????????????????x 式中， x 是 n 維歐氏空間 Rn 中的一個列向量： 它稱為 設計向量 。由此得儲油罐的高 h 和直徑 d 都為 32020?mm。把它們從數(shù)學模型中剔除可以簡化數(shù)學模型，加快求解速度。 當某個設計變量可以通過某個等式約束表示成其它設計變量的函數(shù)時，目標函數(shù)和約束函數(shù)中的這個設計變量便可以用這個函數(shù)替換。 注意約束條件 不能互相矛盾 。 注意 既不能遺漏必要的邊界約束，也不能無根據(jù)地縮小邊界約束的范圍。 機構設計：裝配條件、鄰接條件、傳動比條件、速度條件、加速度條件等。因此，例 的優(yōu)化設計數(shù)學模型也可寫為 201300010003000100003263102)2(4)2(s . t .),(m in922?????????????thdtdthtdhdhdtf　　　　　　　　　　　　　? 結果仍然是 t = mm， d = mm， h = mm 。 例如式 ()的問題，材料體積也等于容器所占空間的總體積減去其容積： 92 1024),( ??? hdhdtf ? () 因此式 ()中的目標函數(shù) tthdtdhdtf )2(2),( 2 ??? ?? 完全可以用式 ()來代替。 例： 圓筒形容器： 油漆桶 （ 20200ml） 雙目標：①制造油漆桶的材料最少以降低成本，②外觀勻稱以吸引顧客。因此可以用 d / h 與 之間的正負偏差最?。ūM量符 合黃金分割率）作為設計目標。 總之，應當從設計對象的用途出發(fā)，以 最重要最具代表性的指標 作為目標函數(shù)。 許 多機械設計問題，都以 質量最小 （它通常與材料體積或表面積最小等價）作為設計目標。 201300010003000100003263102)2(4)2(s . t .)2(2),(m i n922???????????????thdtdthtdtthdtdhdtf　　　　　　　　　　　　　???例如式 ()中的優(yōu)化結果為： t = mm， d = mm， h = mm mm 不屬于國家標準的鋼板厚度系列。那么與 材料相關 的彈性模量、許用應力等參數(shù)都 可取為常數(shù) ，使數(shù)學模型變得簡潔。 為了降低問題求解的難度，設計者應 盡量減少設計變量的數(shù)目 。 確切 ：模型不能失真 。它后面的等式和不等式是使目標函數(shù)最小化時的 約束條件 ，分別稱為 等式約束 和 不等式約束 。由于 mm 在規(guī)定高度范圍之內，所以就得到一個能滿足全部設計要求的方案： t = 13 mm， d = mm， h = mm 使用這種方法還可以設計出另外的方案。因此該容器的全部設計要求為： 2013 0 0 01 0 0 03 0 0 01 0 0 003263102)2(4)2( 92????????????thdtdthtd? () 先選 t = 8 mm ，然后根據(jù) 3d 326t ≤ 0 ，得 d ≤ 837 mm 。 第 1 章 優(yōu)化設計的數(shù)學模型 一個簡單的優(yōu)化設計問題 例 試設計一個用鋼板焊接而成的密封圓筒形容器（圖 ）。 一個機械優(yōu)化設計問題包括兩方面內容： 把實際的設計問題化為數(shù)學規(guī)劃問題，即建立數(shù)學模型。如此反復，直到所有的設計要求都得到滿足為止。 優(yōu)化設計（ Optimal Design）用它處理工程設計領域中的設計問題。 《機械優(yōu)化設計》講義 緒 言 優(yōu)化設計是 1960 年代初發(fā)展起來的一門新學科，它是以電子計算機為工具，使用最優(yōu)化理論尋求最優(yōu)設計方案的一種現(xiàn)代設計方法。 運籌學（ Operations Research） 用它研究生產、管理、商業(yè)、軍事、決策等領域中的問題。 如果設計要求得不到全部滿足，設計人員將調整修改某些設計參數(shù)，然后轉第 2 步。 使用優(yōu)化設計方法進行機械設計，即用電子計算機的優(yōu)化計算取代傳統(tǒng)設計的人工試湊，不僅能夠實現(xiàn)設計計算的自動化，把設計 人員從反復檢查、反復修改的繁瑣計算中解放出來，而且能夠獲得人工試湊難以得到的、眾多可行方案中最優(yōu)的方案。 根據(jù)數(shù)學模型的特點，應用優(yōu)化設計的理論，選擇適當?shù)膬?yōu)化算法，使用計算機求解 。 (d2t)l p h d (a) 外部尺寸 (b) 受力圖 圖 圓筒形容器示意圖 t lσ d2t d l t lσ 正應力 σ 所產生的內力 ： 2tlσ 蒸氣壓力 p 所產生的外力： (d2t)l p lptdtl )2(2 ??? 由此可得該容器的強度條件： ][2 )2( ?? ??? t ptd 如果選用厚度 t在 1mm ~ 20mm 之間的 Q235 鋼板，那么其許用應力為 160 MPa，強度條件被整理為 3d 326t ≤ 0 。