【正文】 0湖北 )成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于 15，并且這三個數(shù)分別加上 13 后成為等比數(shù)列 {bn}中的 b b b5. (1)求數(shù)列 {bn}的通項公式； (2)數(shù)列 {bn}的前 n 項和為 Sn，求證：數(shù)列 ????? ?????Sn＋ 54 是等比數(shù)列． 正確設等差數(shù)列的三個正數(shù)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)解出公差 d，從而求出數(shù)列 {bn}的首項、公比；利用等比數(shù)列的定義可解決第 (2)問． [解答示范 ] (1)解 設成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為 a－ d， a， a＋ d. 依題意，得 a－ d＋ a＋ a＋ d＝ 15， 解得 a＝ 5.(2 分 ) 所以 {bn}中的 b3， b4， b5依次為 7－ d,10,18＋ d. 依題意，由 (7－ d)(18＋ d)＝ 100，解得 d＝ 2 或 d＝－ 13(舍去 )． (4 分 ) 故 {bn}的第 3 項為 5，公比為 2， 由 b3＝ b12n－ 3.(6 分 ) (2)證明 數(shù)列 {bn}的前 n 項和 Sn＝54?1－ 2n?1－ 2 ＝ 52n－ 2＝ 2.(10 分 ) 因此 ????? ?????Sn＋ 54 是以 52為首項，公比為 2 的等比數(shù)列． (12 分 ) 關于等差 (比 )數(shù)列的基本運算，其實質(zhì)就是解方程或方程組，需要認真計算，靈活處理已知條件．容易出現(xiàn)的問題主要 有兩個方面：一是計算出現(xiàn)失誤，特別是利用因式分解求解方程的根時，不注意對根的符號進行判斷；二是不能靈活運用等差 (比 )數(shù)列的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件，導致列出的方程或方程組較為復雜，增大運算量． 【試一試】 (1)已知兩個等比數(shù)列 {an}， {bn}，滿足 a1＝ a(a＞ 0)， b1－ a1＝ 1， b2－ a2＝ 2， b3－ a3＝ 3，若數(shù)列 {an}唯一，求 a 的值； (2)是否存在兩個等比數(shù)列 {an}， {bn}，使得 b1－ a1， b2－ a2， b3－ a3， b4－ a4成公差不為 0 的等差數(shù)列？若存在，求 {an}， {bn}的通項公式；若不 存在，說明理由． [嘗試解答 ] (1)設 {an}的公比為 q，則 b1＝ 1＋ a， b2＝ 2＋ aq， b3＝ 3＋ aq2， 由 b1， b2， b3成等比數(shù)列得 (2＋ aq)2＝ (1＋ a)(3＋ aq2)， 即 aq2－ 4aq＋ 3a－ 1＝ 0. 由 a＞ 0 得， Δ＝ 4a2＋ 4a＞ 0，故方程有兩個不同的實根． 再由 {an}唯一，知方程必有一根為 0，將 q＝ 0 代入方程得 a＝ 13. (2)假設存在兩個等比數(shù)列 {an}， {bn}使 b1－ a1， b2－ a2， b3－ a3， b4－ a4成公差不為 0 的等差數(shù)列． 設 {an}的公比為 q1， {bn}的公比為 q2， 則 b2－ a2＝ b1q2－ a1q1， b3－ a3＝ b1q22－ a1q21， b4－ a4＝ b1q32－ a1q31. 由 b1－ a1， b2－ a2， b3－ a3， b4－ a4成等差數(shù)列得 ??? 2?b1q2－ a1q1?＝ b1－ a1＋ ?b1q22－ a1q21?，2?b1q22－ a1q21?＝ b1q2－ a1q1＋ ?b1q32－ a1q31?， 即 ??? b1?q2－ 1?2－ a1?q1－ 1?2＝ 0， ①b1q2?q2－ 1?2－ a1q1?q1－ 1?2＝ 0. ② ① q2－ ② 得 a1(q1－ q2)(q1－ 1)2＝ 0， 由 a1≠ 0 得 q1＝ q2或 q1＝ 1. ⅰ )當 q1＝ q2時，由 ①② 得 b1＝ a1或 q1＝ q2＝ 1， 這時 (b2－ a2)－ (b1－ a1)＝ 0，與公差不為 0 矛盾． ⅱ )當 q1＝ 1 時，由 ①② 得 b1＝ 0 或 q2＝ 1， 這時 (b2－ a2)－ (b1－ a1)＝ 0，與公差不為 0 矛盾． 綜上所述，不存在兩個等比數(shù)列 {an}， {bn}使 b1－ a1， b2－ a2， b3－ a3， b4－ a4成公差不為 0 的等差數(shù)列． 第 1 講 數(shù)列的概念與簡單表示法 【高考會這樣考】 1．以數(shù)列的前幾項為背景，考查 “ 歸納 —推理 ” 思想． 2．考查已知數(shù)列的通項公式或遞推關系，求數(shù)列的某項． 3．考查由數(shù)列的遞推關系式求數(shù)列的通項公式，已知 Sn 與 an 的關系 求 an 等． 【復習指導】 1．本講復習主要以數(shù)列的概念、通項公式的求法為主． 2．對于歸納通項公式的題目，歸納出通項后要進行驗證． 3．熟練掌握求解數(shù)列通項公式的基本方法，尤其是已知遞推關系求通項這種基本的方法，另外注意累加法、累積法的靈活應用． 基礎梳理 1．數(shù)列的定義 按照 一定順序 排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列．數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項． 2． 數(shù)列的分類 數(shù)列有三種表示法，它們分別是 列表法 、 圖象法 和 解析法． 4． 數(shù)列的通項公式 如果數(shù)列 {an}的第 n 項 an 與 n 之間的函數(shù)關系可以用一個式子 an＝ f(n)來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式． 5． Sn 與 an 的關系 已知 Sn， 則 an＝ ??? S1， n＝ 1，Sn－ Sn－ 1， n≥ 2.在數(shù)列 {an}中，若 an 最大，則 ??? an≥ an－ 1，an≥ an＋ 1.若an 最小，則 ??? an≤ an－ 1，an≤ an＋ 1. 一個聯(lián)系 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其子集上的 函數(shù)，當自變量依次從小到大取值時所對應的一列函數(shù)值，就是數(shù)列．因此，在研究函數(shù)問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性． 兩個區(qū)別 分類原則 類型 滿足條件 按項數(shù)分類 有窮數(shù)列 項數(shù) 有限 無窮數(shù)列 項數(shù) 無限 按 項與項間的大小關系分類 遞增數(shù)列 an＋ 1＞ an 其中 n∈ N＋ 遞減數(shù)列 an＋ 1＜ an 常數(shù)列 an＋ 1＝ an 按其他標準分類 有界數(shù)列 存在正數(shù) M，使 |an|≤ M 擺動數(shù)列 an 的符號正負相間，如 1，－1,1，－ 1， ? (1)若組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個數(shù)列，這有別于集合中元素的無序性． (2)數(shù)列中的數(shù)可以重復出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復出現(xiàn)． 三種方法 由遞推式求通項 an的方法： (1)an＋ 1－ an＝ f(n)型，采用疊加法； (2)an＋ 1an＝ f(n)型，采用疊乘法； (3)an＋ 1＝ pan＋ q(p≠ 0,1， q≠ 0)型，采用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列解決． 雙基自測 1． (人教 A 版教材習題改編 )已知數(shù)列 {an}的前 4 項分別為 2,0,2,0，則下列各式不可以作為數(shù)列 {an}的通項公式的一項是 ( )． A． an＝ 1＋ (－ 1)n＋ 1 B． an＝ 2sinnπ2 C． an＝ 1－ cos nπ D． an＝ ??? 2， n為奇數(shù)0， n為偶數(shù) 解析 根據(jù)數(shù)列的前 4項驗證． 答案 B 2．在數(shù)列 {an}中， a1＝ 1， an＝ 2an－ 1＋ 1，則 a5的 值為 ( )． A． 30 B． 31 C． 32 D． 33 解析 a5＝ 2a4＋ 1＝ 2(2a3＋ 1)＋ 1＝ 22a3＋ 2＋ 1＝ 23a2＋ 22＋ 2＋ 1＝ 24a1＋ 23＋ 22＋ 2＋ 1＝ 31. 答案 B 3．已知 an＋ 1－ an－ 3＝ 0，則數(shù)列 {an}是 ( )． A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．不確定 解析 ∵ an＋ 1－ an－ 3＝ 0， ∴ an＋ 1－ an＝ 3＞ 0， ∴ an＋ 1＞ an. 故數(shù)列 {an}為遞增數(shù)列． 答案 A 4．設數(shù)列 {an}的前 n 項和 Sn＝ n2，則 a8的值為 ( )． A． 15 B． 16 C． 49 D． 64 解析 由于 Sn＝ n2， ∴ a1＝ S1＝ 1. 當 n≥ 2時， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ n2－ (n－ 1)2＝ 2n－ 1，又 a1＝ 1適合上式． ∴ an＝ 2n－ 1， ∴ a8＝ 2 8－ 1＝ 15. 答案 A 5． (20203n－ 1. 故數(shù)列 {an}的通項公式為 an＝ 23n－ 1－ 1. (2)∵ an＝ n－ 1n an－ 1(n≥ 2)， ∴ an－ 1＝ n－ 2n－ 1an－ 2， ? ， a2＝ (n－ 1)個式子相乘得 an＝ a1n－ 1n ＝ a1n ＝ 1n. (3)∵ an＋ 1－ an＝ 3n＋ 2， ∴ an－ an－ 1＝ 3n－ 1(n≥ 2)， ∴ an＝ (an－ an－ 1)＋ (an－ 1－ an－ 2)＋ ? ＋ (a2－ a1)＋ a1＝ n?3n＋ 1?2 (n≥ 2)．當 n＝ 1 時，a1＝ 12 (3 1＋ 1)＝ 2 符合公式， ∴ an＝ 32n2＋ n2. 已知數(shù)列的遞推關系，求數(shù)列的通項時，通常用累加、累乘、構造法求解．當出現(xiàn) an＝ an－ 1＋ m 時，構造等差數(shù)列；當出現(xiàn) an＝ xan－ 1＋ y 時，構造等比數(shù)列；當出現(xiàn) an＝ an－ 1＋ f(n)時，用累加法求解；當出現(xiàn) anan－ 1＝ f(n)時，用累乘法求解． 【訓練 3】 根據(jù)下列各個數(shù)列 {an}的首項和基本關系式，求其通項公式． (1)a1＝ 1， an＝ an－ 1＋ 3n－ 1(n≥ 2)； (2)a1＝ 2， an＋ 1＝ an＋ ln??? ???1＋ 1n . 解 (1)∵ an＝ an－ 1＋ 3n－ 1(n≥ 2)， ∴ an－ 1＝ an－ 2＋ 3n－ 2， an－ 2＝ an－ 3＋ 3n－ 3， ? a2＝ a1＋ 31， 以上 (n－ 1)個式子相加得 an＝ a1＋ 31＋ 32＋ ? ＋ 3n－ 1＝ 1＋ 3＋ 32＋ ? ＋ 3n－ 1＝ 3n－ 12 . (2)∵ an＋ 1＝ an＋ ln??? ???1＋ 1n ， ∴ an＋ 1－ an＝ ln??? ???1＋ 1n ＝ lnn＋ 1n ， ∴ an－ an－ 1＝ ln nn－ 1， an－ 1－ an－ 2＝ lnn－ 1n－ 2， ? a2－ a1＝ ln21， 以上 (n－ 1)個式相加得 ， ∴ an－ a1＝ ln nn－ 1＋ lnn－ 1n－ 2＋ ? ＋ ln21＝ ln n． 又 a1＝ 2， ∴ an＝ ln n＋ 2. 考向四 數(shù)列性質(zhì)的應用 【例 4】 ?已知數(shù)列 {an}的通項 an＝ (n＋ 1)??? ???1011 n(n∈ N＋ )，試問該數(shù)列 {an}有沒有最大項？若有，求最大項的項數(shù)；若沒有，說明理由． [審題視點 ] 作 差： an＋ 1－ an，再分情況討論． 解 ∵ an＋ 1－ an＝ (n＋ 2)??? ???1011 n＋ 1－ (n＋ 1)??? ???1011 n＝ ??? ???1011 n9－ n11 . 當 n＜ 9 時， an＋ 1－ an＞ 0，即 an＋ 1＞ an； 當 n＝ 9 時， an＋ 1－ an＝ 0，即 an＋ 1＝ an； 當 n＞ 9 時， an＋ 1－ an＜ 0，即 an＋ 1＜ an； 故 a1＜ a2＜ a3＜ ? ＜ a9＝ a10＞ a11＞ a12＞ ? ，所以數(shù)列中有最大項為第 9,10 項． (1)數(shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù)，因此要用函數(shù)的知識，函數(shù)的思想方法來解決． (2)數(shù)列的單調(diào)性是高考?？純?nèi)容之一，有關數(shù)列最大項、最小項、數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來解決，判斷單調(diào)性時常用 ① 作差法， ② 作商法， ③結合函數(shù)圖象等方法． 【訓練 4】 已知數(shù)列 {an}的前 n 項和 Sn＝－ n2＋ 24n(n∈ N*)． (1)求 {an}的通項公式； (2)當 n 為何值時， Sn 達到最大？最大值是多少？ 解 (1)n＝ 1 時， a1＝ S1＝ 23. n≥ 2 時， an＝ Sn－ Sn－ 1＝－ n2＋ 24n＋ (n－ 1)2－ 24(n－ 1)＝－ 2n＋ ， a1＝23 符合 an＝－ 2n＋ 25， ∴ an＝－ 2n＋ 25(n∈ N*)． (2)法一 ∵ Sn＝－ n2＋ 24n， ∴ n＝ 12 時， Sn 最大且 Sn＝ 144. 法二 ∵ an＝－ 2n＋ 25， ∴ an＝－ 2n＋ 25＞ 0，有 n＜ 252 .∴ a12＞ 0， a13＜ 0， 故 S12最大，最大值為 144. 難點突破 13—— 數(shù)列中最值問題的求解 從近幾年新課標高考可以看出，對求數(shù)列中的最大項是高考的熱點，一般難度較大．解決這類問題時，要利用函數(shù)的單調(diào)性研究數(shù)列的最值，但要注意數(shù)列的單