【正文】 等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量 a1， n， q， an， Sn一般可以 “ 知三求二 ” ，通過列方程 (組 )可迎刃而解． 【訓(xùn)練 1】 等比數(shù)列 {an}滿足： a1＋ a6＝ 11， a3廣東 )等差數(shù)列 {an}前 9 項的和等于前 4 項的和．若 a1＝ 1， ak＋ a4＝ 0，則 k＝ ________. 解析 設(shè) {an}的公差為 d，由 S9＝ S4及 a1＝ 1，得 9 1＋ 9 82 d＝ 4 1＋ 4 32 d，所以 d＝－ ak＋ a4＝ 0，所以 ??? ???1＋ ?k－ 1? ??? ???－ 16 ＋ ??? 1＋ ?4－ 1? ??? ???－ 16 ]＝ 0，即 k＝ 10. 答案 10 考向一 等比數(shù)列基本量的計算 【例 1】 ?(2020an＋ 2(n∈ N*)，則數(shù)列 {an}是等比數(shù)列． (3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成 an＝ cqn－ m， (n， m∈ N＋ )． (2)若 {an}為等比數(shù)列，且 k＋ l＝ m＋ n(k， l， m， n∈ N＋ )，則 ak第 3 講 等比數(shù)列及其前 n 項和 【高考會這樣考】 1．以等比數(shù)列的定義及等比中項為背景，考查等比數(shù)列的判定． 2．考查通項公式、前 n 項和公式以及性質(zhì)的應(yīng)用． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時，緊扣等比數(shù)列的定義，掌握其通項公式和前 n 項和公式，求和時要注意驗證公比 q 是否為 1；對等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用要靈活，運(yùn)算中要注意方程思想的應(yīng)用． 基礎(chǔ)梳理 1．等比數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列從第 2 項起，每一項與它的前一項的比等于 同一個 常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫 做等比數(shù)列的 公比 ，通常用字母 q 表示． 2． 等比數(shù)列的通項公式 設(shè)等比數(shù)列 {an}的首項為 a1，公比為 q，則它的通項 an＝ a1al＝ amqn(c， q 均是不為 0 的常數(shù)， n∈N*)，則 {an}是等比數(shù)列． 注 ：前兩種方法也可用來證明一個數(shù)列為等比數(shù)列． 雙基自測 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )在等比數(shù)列 {an}中，如果公比 q＜ 1，那么等比數(shù)列{an}是 ( )． A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．無法確定數(shù)列的增減性 解析 當(dāng) a1＞ 0,0＜ q＜ 1，數(shù)列 {an}為遞減數(shù)列， 當(dāng) q＜ 0，數(shù)列 {an}為擺動數(shù)列． 答案 D 2．已知 {an}是等比數(shù)列， a2＝ 2， a5＝ 14，則公比 q 等于 ( )． A．－ 12 B．－ 2 C． 2 解析 由題意知： q3＝ a5a2＝ 18， ∴ q＝ 12. 答案 D 3．在等比數(shù)列 {an}中， a4＝ 4，則 a2全國 )設(shè)等比數(shù)列 {an}的前 n 項和為 Sn，已知 a2＝ 6,6a1＋ a3＝ 30.求 an 和 Sn. [審題視點 ] 列方程組求首項 a1和公差 d. 解 設(shè) {an}的公比為 q，由題設(shè)得 ??? a1q＝ 6，6a1＋ a1q2＝ 30， 解得 ??? a1＝ 3，q＝ 2 或 ??? a1＝ 2，q＝ 3. 當(dāng) a1＝ 3， q＝ 2 時， an＝ 3a4＝ 329 ，且公比 q∈ (0,1)． (1)求數(shù)列 {an}的通項公式； (2)若該數(shù)列前 n 項和 Sn＝ 21，求 n 的值． 解 (1)∵ a3??? ???12 n－ 6. (2)由 (1)知 Sn＝ 643 ??? ???1－ 12n ＝ 21， 解得 n＝ 6. 考向二 等比數(shù)列的判定或證明 【例 2】 ?(2020北京 )在等比數(shù)列 {an}中，若 a1＝ 12， a4＝－ 4，則公比 q＝________； |a1|＋ |a2|＋ ? ＋ |an|＝ ________. 解析 設(shè)等比數(shù)列 {an}的公比為 q，則 a4＝ a1q3，代入數(shù)據(jù)解得 q3＝－ 8，所以 q＝－ 2；等 比數(shù)列 {|an|}的公比為 |q|＝ 2，則 |an|＝ 12 2n－ 1，所以 |a1|＋ |a2|＋ |a3|＋ ?＋ |an|＝ 12(1＋ 2＋ 22＋ ? ＋ 2n－ 1)＝ 12(2n－ 1)＝ 2n－ 1－ 12. 答案 － 2 2n－ 1－ 12 規(guī)范解答 11—— 怎樣求解等差與等比數(shù)列的綜合性問題 【問題研究】 等差數(shù)列和等比數(shù)列既相互區(qū)別，又相互聯(lián)系，高考作為考查學(xué)生綜合能力的選拔性考試，將兩類數(shù)列綜合起來考查是高考的重點 .這類問題多屬于兩者基本運(yùn)算的綜合題以及相互之間的轉(zhuǎn)化 . 【解決方案】 首先求解出兩個數(shù)列的基本量：首項和公差及公比，再靈活利用性質(zhì)轉(zhuǎn)化條件，以及利用等差、等比數(shù)列的相關(guān)知識解決 . 【 示例 】 ?(本題滿分 12 分 )(20202 n－ 1＝ 52n－ 153n－ 1；當(dāng) n＝ 1時， a1＝ S1＝ 2也滿足 an＝ 23n－ 1， ∴ an＝ 2? 江西 )已知數(shù)列 {an}的前 n 項和 Sn 滿足： Sn＋ Sm＝ Sn＋ m，且 a1＝ a10＝ ( )． A． 1 B． 9 C． 10 D． 55 解析 由 Sn＋ Sm＝ Sn＋ m，得 S1＋ S9＝ S10? a10＝ S10－ S9＝ S1＝ a1＝ 1. 答案 A 4． (2020Sn－ 1＝ 0(n≥ 2)， a1＝ 12. (1)求證： ????? ?????1Sn是等差數(shù)列； (2)求 an 的表達(dá)式． [審題視點 ] (1)化簡所給式子，然后利用定義證明． (2)根據(jù) Sn與 an之間關(guān)系求 an. (1)證明 ∵ an＝ Sn－ Sn－ 1(n≥ 2)，又 an＝－ 2Sn2， ∴ a17＝－ 7＋ 16 2＝ 25， S17＝ ?a1＋ a17? 172 ＝ ?－ 7＋ 25? 172 ＝ 153. (2)由已知可得 (a1＋ a2＋ a3)＋ (a18＋ a19＋ a20)＝－ 24＋ 78? (a1＋ a20)＋ (a2＋ a19)＋(a3＋ a18)＝ 54? a1＋ a20＝ 18? S20＝ a1＋ a202 20＝ 182 20＝ 180. 答案 (1)153 (2)180 閱卷報告 6—— 忽視 an 與 Sn 中的條 件 n≥2 而致誤 【問題診斷】 在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項 an與其前 n 項和 Sn之間存在下列關(guān)系：an＝ \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1?n＝ 1?， ,Sn－ Sn－ 1?n≥ 2?.))這個關(guān)系對任意數(shù)列都是成立的，但要注意的是這個關(guān)系式是分段的，在 n＝ 1 和 n≥ 2 時這個關(guān)系式具有完全不同的表現(xiàn)形式，這也是解題中經(jīng)常出錯的一個地方，在使用這個關(guān)系式時要牢牢記住其 “ 分段 ” 的特點 . 【防范措施】 由 an＝ Sn－ Sn－ 1求出 an后，一定不要忘記驗證 n＝ 1 是否適合 an. 【 示例 】 ?(2020沈陽六校模考 )設(shè)數(shù)列 {(－ 1)n}的前 n 項和為 Sn，則對任意正整數(shù) n， Sn＝ ( )． [?－ 1?n－ 1]2 B.?－ 1?n－ 1＋ 12 C.?－ 1?n＋ 12 D.?－ 1?n－ 12 解析 因為數(shù)列 {(－ 1)n}是首項與公比均為－ 1 的等比數(shù)列，所以 Sn＝－ 1－ ?－ 1?n ?－ 1?1－ ?－ 1? ＝?－ 1?n－ 12 . 答案 D 5．若 Sn＝ 1－ 2＋ 3－ 4＋ ? ＋ (－ 1)n－ 1Sn≠ 0， ① 式兩邊同除以 Sn－ 1n＋ 12＝ 8n?n＋ 1? ＝ 8??? ???1n－ 1n＋ 1 . ∴ Sn＝ 8??? ?????? ???1－ 12 ＋ ??? ???12－ 13 ＋ ? ＋ ??? ???1n－ 1n＋ 1 ＝ 8??? ???1－ 1n＋ 1 ＝ 8nn＋ 1. 考向四 錯位相減法求和 【例 4】 ?(20203 n＋ 1， ④ ∴③ － ④ 得： － 2Sn＝ 3＋ 32＋ 33＋ ? ＋ 3n－ n3n＋ 12 ＝ 34＋ ?2n－ 1?q1＋ 3q2＋ 3qn.∴ Sn＝1－ qn?1－ q?2＋nqn， 兩式相減得： (1－ q)Sn＝ 1＋ q＋ q2＋ ? ＋ qn－ 1＋ nqn－ 1， qSn＝ 1四川 )已知等差數(shù)列 {an}的前 3 項和為 6，前 8 項和為－ 4. (1)求數(shù)列 {an}的通項公式； (2)設(shè) bn＝ (4－ an)qn－ 1(q≠ 0， n∈ N*)，求數(shù)列 {bn}的前 n 項和 Sn. 錯因 未對 q＝ 1 或 q≠ 1 分別討論，相減后項數(shù)、符號均出現(xiàn)了錯誤． 實錄 (1)由已知得 ??? a1＋ a2＋ a3＝ 6，a1＋ a2＋ ? ＋ a8＝－ 4， 即 ??? 3a1＋ 3d＝ 6，8a1＋ 28d＝－ 4， 解得 a1＝ 3， d＝－ 1， ∴ an＝ 4－ n. (2)由 (1)知 bn＝ n3n＋ 1 ＝－ 32(1－ 3n)－ n3 n， ∴ Sn＝ 1 3＋ 2 32＋ 3 33＋ ? ＋ nan＋ 1，求數(shù)列{bn}的前 n 項和 Sn. 解 an＝ 1n＋ 1＋ 2n＋ 1＋ ? ＋ nn＋ 1 ＝ 1＋ 2＋ ? ＋ nn＋ 1 ＝ n?n＋ 1?2?n＋ 1?＝ n2. ∴ bn＝ 2an包頭模擬 )已知數(shù)列 {xn}的首項 x1＝ 3，通項 xn＝ 2np＋ nq(n∈ N*，p， q 為常數(shù) )，且 x1， x4， x5成等差數(shù)列．求： (1)p， q 的值； (2)數(shù)列 {xn}前 n 項和 Sn 的公式． [審題視點 ] 第 (1)問由已知條件列出關(guān)于 p、 q 的方程組求解；第 (2)問分組后用等差、等比數(shù)列的求和公式求解． 解 (1)由 x1＝ 3，得 2p＋ q＝ 3，又因為 x4＝ 24p＋ 4q， x5＝ 25p＋ 5q，且 x1＋ x5＝2x4，得 3＋ 25p＋ 5q＝ 25p＋ 8q，解得 p＝ 1， q＝ 1. (2)由 (1)，知 xn＝ 2n＋ n，所以 Sn＝ (2＋ 22＋ ? ＋ 2n)＋ (1＋ 2＋ ? ＋ n)＝ 2n＋ 1－ 2＋n?n＋ 1?2 . 對于不能由等差數(shù)列、等比數(shù)列的前 n 項和公式直接求和的問題，一般需要將數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的拆分，轉(zhuǎn)化成若干個等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和． 【訓(xùn)練 2】 求和 Sn＝ 1＋ ??? ???1＋ 12 ＋ ??? ???1＋ 12＋ 14 ＋ ? ＋ ??? ???1＋ 12＋ 14＋ ? ＋ 12n－ 1 . 解 和式中第 k 項為 ak＝ 1＋ 12＋ 14＋ ? ＋ 12k－ 1＝1－ ??? ???12 k1－ 12＝ 2??? ???1－ 12k . ∴ Sn＝ 2??? ?????? ???1－ 12 ＋ ??? ???1－ 122 ＋ ? ＋ ??? ???1－ 12n ＝ 2??? ????1＋ 1＋ ? ＋ 1 ?n個 － ??? ???12＋ 122＋ ? ＋ 12n ＝ 2????????n－12??????1－ 12n1－ 12＝ 12n－ 1＋ 2n－ 2. 考向三 裂項相消法求和 【例 3】 ?在數(shù)列 {an}中， a1＝ 1，當(dāng) n≥ 2 時，其前 n 項和 Sn 滿足 S2n＝ an??? ???Sn－ 12 . (1)求 Sn 的表達(dá)式； (2)設(shè) bn＝ Sn2n＋ 1，求 {bn}的前 n 項和 Tn. [審題視點 ] 第 (1)問利用 an＝ Sn－ Sn－ 1(n≥ 2)后，再同除 Sn－ 1濰坊模擬 )設(shè) {an}是公差不為 0 的等差數(shù)列， a1＝ 2 且 a1， a3， a6成等比數(shù)列，則 {an}的前 n 項和 Sn＝ ( )． 24 ＋7n4 B.n23 ＋5n3 C.n22 ＋3n4 D． n2＋ n 解析 由題意設(shè)等差數(shù)列公差為 d，則 a1＝ 2， a3＝ 2＋ 2d， a6＝ 2＋ ∵ a1， a3，a6成等比數(shù)列， ∴ a23＝ a1a6，即 (2＋ 2d)2＝ 2(2＋ 5d)，整理得 2d2－ d＝ 0.∵ d≠ 0， ∴ d＝ 12， ∴ Sn＝ na1＋ n?n－ 1?2 d＝ n24＋74n. 答案 A 3． (2020Sn－ 1， Sn≠ 0， ∴ 1Sn－ 1Sn－ 1＝ 2(n≥ 2)． 由等差數(shù)列的定義知 ????? ?????1Sn是以 1S1＝ 1a1＝ 2 為首項，以 2 為公差的等差數(shù)列． (2)解 由 (1)知 1Sn＝ 1S1＋ (n－ 1)d＝ 2＋ (n－ 1) 2＝ 2n， ∴ Sn＝ n≥ 2 時，有 an＝－ 2Sn Sn－ 1＝－ 12n?n－ 1?， 又 ∵ a1＝ 12，不適合上式， ∴ an＝????? 12， n＝