【正文】 but will increase the geometric mean on the righthand side because 22 ( ) ( )i j i jijx x x xxx??? ? ? Thus righthand side will be largest — so the idea — when all xis are equal to the arithmetic mean 12 ,nx x xn? ? ???? thus as this is then the largest value of righthand side of the expression, we have 12 12 .nn n nx x x x x xn ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? This is a valid proof for the case n = 2, but the procedure of taking iteratively pairwise averages may fail to produce n equal numbers in the case n ≥ 3. An example of this case is x1 = x2 ≠ x3: Averaging two different numbers produces two equal numbers, but the third one is still different. Therefore, we never actually get an inequality involving the geometric mean of three equal numbers. Hence, an additional trick or a modified argument is necessary to turn the above idea into a valid proof for the case n ≥ 3. 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文 Proof by induction With the arithmetic mean 1 nxxn? ??? of the nonnegative real numbers x1, . . . , xn, the AM–GM statement is equivalent to 12n nx x x? ? with equality if and only if α = xi for all i ∈ {1, . . . , n}. For the following proof we apply mathematical induction and only wellknown rules of arithmetic. Induction basis: For n = 1 the statement is true with equality. Induction hypothesis: Suppose that the AM–GM statement holds for all choices of n nonnegative real numbers. Induction step: Consider n +1 nonnegative real numbers. Their arithmetic mean α satisfies. 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文 本科生畢業(yè)論文設(shè)計 關(guān)于不等式證明方法的探討 作 者 姓 名 ： 曾海輝 指 導(dǎo) 教 師 ： 張碩 所 在 學(xué) 院 ： 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) （ 系 ）： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 班 級 （ 屆 ）： 2020 屆數(shù)學(xué) B 班 二〇一四年 四月 三十日河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文 1 目錄 目錄 ????????????????????????????????????1 摘要、關(guān)鍵字 ???????????????????????????????? 2 1 問題提出 ????? ??????????????????????????? 3 在現(xiàn)實生活中的意義及前景 ?????????????????????? 3 在數(shù)學(xué)教學(xué)中的現(xiàn)狀和問題 ?????????????????????? 3 2 常 用證明方法 ?????????????????????????????? 5 比較法 ??????????????????????????????? 5 分析綜合法 ????????????????????????????? 6 反證法 ???? ??????????????????????????? 7 放縮法 ??????????????????????????????? 8 換元法 ??????????????????????????????? 11 數(shù)學(xué)歸納法 ????????????????????????????? 14 判別式法 ?????????????????????????????? 15 函數(shù)單調(diào)性法 ???????????????????????????? 16 幾何證法 ? ???????????????????????? ???? ? 17 面積體積法 ? ??? ???????????????????????? 18 極值法 ?????????????????????????? ??? ? 19 3 教學(xué)建議與思考 ????????????????????????? ?? ?? 20 內(nèi)容綜述與建議 ??????????????????????????? 19 問題總結(jié)與思考 ??????????????????????????? 22 參考文獻(xiàn) ???? ????????????????????????????? 23 Abstract ????????????????????????????????? 24 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文 2 關(guān)于不等式證明方法的探討 學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 指導(dǎo)教師： 張 碩 作 者： 曾海輝 摘要： 不等式及其證明的內(nèi)容極為豐富，在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)了相當(dāng)關(guān)鍵的主體地位，它貫穿于高中數(shù)學(xué)的幾乎每一個章節(jié)之中，同時，他又是我們實踐生活應(yīng)用甚為廣泛的一種集理論和技 巧于一身的格式化計算性工具。 hence there are 2n?1 edges of each length and the total edgelength is 2n?1(x1 + x2 + b)2 = a2 177。如果至少有一個 kx 是零（但不是全部都為零） ，然后加權(quán)幾何平均值為零，而加權(quán) 算術(shù)平均數(shù)是正的，因此不等式成立。 利用 Jensen 不等式的自然對數(shù)的有 限形式，我們可以證明加權(quán)算術(shù)之間的不平等均值和加權(quán)幾何平均如上所述。 數(shù)學(xué)歸納法證明 : 對于算術(shù)平均值 1 nxxn? ??? ， 當(dāng) 1 nxx 為非負(fù)實數(shù)時， AM GM? 不等式就等價于 12n nx x x? ? 。當(dāng) ijxx? 時 ，然后通過將 ijxx、 都換成 2ijxx? ， 這樣就會使得左側(cè)河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文 的算術(shù)平均值不變，而右側(cè)的幾何平均值就會增大，因為： 22 022i j i jijx x x xxx??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?. 因此，右側(cè)將是最大的 這 樣的想法 當(dāng)所有變量都與算術(shù)平均值相等的時候： 12 ,nx x xn? ? ???? 下面，因為之前計算出右側(cè)的算術(shù)平均值是最大的，于是我們就得到： 12 12 .nn n nx x x x x xn ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 這是當(dāng) 2n? 情況下的有效證明，但這種采取迭代平均值的成對的過程在 3n? 的情況下可能會失敗。 我們這里有幾種方法來證明對 AM GM? 不等式，例如，它可以從 Jensen 不等式可以推斷，利用凹函數(shù) lnx（ ） 的。首先，我們對它進(jìn)行一些變形： 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文 不妨令1 2 3 4 5 611, 23x y zx x x x x xy z x? ? ? ? ? ?. 則 ? ?3331 2 3 4 5 61 1 1 1 12 2 3 3 3, , 666 6x y y z z zy z z x x xf x y zx x x x x x? ? ? ? ???? ? ? ? ??? 這樣，我們便可以 利用 –AM GM 不等式，此時， 6n? ,我們就得到 333662 / 3 1 / 21 1 1 1 1( , , ) 62 2 3 3 31( , , ) 62 2 3 3 3( , , ) 2 3 .x y y z z zf x y zy z z x x xx y zf x y zy z xf x y z? ? ? ? ? ? ???? ? ? ??? 此外 ，我們還知道等號成立的條件就是當(dāng)且僅當(dāng) 1 2 3 4 5 6= = = = =x x x x x x的時候。又由 AM GM? 不等式 1 2 31 2 3+ n n nx x x x x x x xn? ? ? ?，我們便得到： ? ?1211 1 2 322nn n nnxx n x x x xx?? ? ? ?? ? ?，并且 當(dāng)且僅當(dāng) 1 2 3= = = = nx x x x時等號成立。因此，我們把剛才得到的除以 2，就得出任意一個 n 維體總共 有 12n n?? 條 邊。 這個不等式的廣義的概念 就是這一理念到 n 維空間的延伸運用。 幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)是相似的，不同之處在于它只是定義為在非負(fù)實數(shù)的范圍內(nèi)，并使用乘法和根號代替了算術(shù)平 均值之中的加法和除法，記作 1 2 3nmnG x x x x? . 如果 1 2 3, , , , 0nx x x x ?，那么他就等價于以自然對數(shù)為底數(shù) ,以算術(shù)平均值為指數(shù)的指河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文 數(shù)函數(shù)的值： 1 2 3l n l n l n l ne x p nx x x xn? ? ??????? . 最后重申總結(jié)這個使用數(shù)學(xué)符號的不等式：我們有，對于 n 個非負(fù)實數(shù) 1 2 3, , , , nx x x x ，必， 并且當(dāng)且僅當(dāng) 1 2 3= = = = nx x x x時 等號成立。 被推廣的 AM GM? 不等式，可在包括重力學(xué)或更廣義的層次上運用?，F(xiàn)在用一個幾何的方 法 來 解 釋 ， 設(shè) 一 個 長 和 寬 分 別 為 xy和 的 邊 的 矩 形 ， 因 此 ， 它 具 有= 2 2L x y S x y?周 長 和 面 積 =。 參考文獻(xiàn) [1]匡繼昌 .常用不等式 [M].濟(jì)南：山東科技出版社， 2020： 2334. [2]徐利治 .評匡繼昌著《常用 不等式》第三版 [J].數(shù)學(xué)研究與評論 ,2020,24(3):569572. [3]楊帆 .淺談不等式證明方法的綜合運用 [M].理工科研 ,2020,08(01):269272. [4].. Geometric Inequalities[M]. JR Statist Soc.(Series B),1986,:2326. [5]Gao Mingzhe. On Heisenberg’s Inequality[J]. .,1999,234(2):727734. 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）翻譯文章 幾何不等式及其證明 卡扎里諾夫 [M] 在數(shù)學(xué)中，算術(shù)與幾何均值不等式，或者更簡單的說是 AM GM? 不等式，指出非負(fù)實數(shù)的范圍內(nèi)，若干個數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于他們自己的幾何平均值，更進(jìn)一步地說就是，這兩個平均值相等相等的情況只能是當(dāng)且僅當(dāng)他們中的每個數(shù)字是相等的。與此同時，不等式的證明的內(nèi)容靈活多變，可以從多個角度考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)教學(xué) 內(nèi)容中一個多可多得的好素材。在此基礎(chǔ)上，由特殊到一般。真正很有價值的不等式理應(yīng)具備三個條件，即普適性、優(yōu)美性（簡單性）、和精確性（不可改進(jìn)性）。 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計） 文獻(xiàn)綜述 不等式證明方法研究的文獻(xiàn)綜述 不等式的發(fā)展現(xiàn)狀和趨勢 如所熟知，各種不等式實質(zhì)就是各種形式的數(shù)量或變量之間的互相比較或互相制約關(guān)系，因此，不等式很自然地成為分析數(shù)學(xué)和離散數(shù)學(xué)諸分支中極為重要的工具，而且早已成 為國際上一個專門的研究對象。與此同時，不等式的證明的內(nèi)容靈活多變，可以從多個角度考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中一個多可多得的好素材。 隨著上世紀(jì)七八十 年代大量新型不等式的發(fā)現(xiàn)和對已知不等式的改進(jìn)，以及發(fā)現(xiàn)在更多的領(lǐng)域都廣泛都涉及到不等式的應(yīng)用，這讓現(xiàn)有的不等式內(nèi)容及界限難以滿足社會時代和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，促使科學(xué)家們不得不開始著眼于研究更多特殊情況下不等式的證明及