【正文】 直線 L 的一般式方程為??? ???????? 0022221111 DzCyBxA DzCyBxA ，則通過 L 的所有平面方程為? ? ? ? 02222211111 ???????? DzCyBxAkDzCyBxAk ，其中 ? ? ? ?0,0, 21 ?kk 。 特別情形： 0??? CzByAx ，表示通過原點(diǎn)的平面。法向量 ? ?pnm , 的坐標(biāo)稱為法（線）方向數(shù)。 5． 2 平面與直線 甲 內(nèi)容要點(diǎn) 一．空間解析幾何 1．空間解析幾何研究的基本問題 （ 1）已知曲面（線）作為點(diǎn)的幾何軌跡，建立這曲 面（線）的方程。 四．兩向量間的關(guān)系 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué) 2 設(shè) ? ? ? ?321321 , bbbbaaaa ?? 關(guān)系 向量表示 向量坐標(biāo)表示 ba, 間夾角 ??? ba ba???cos 232221232221 332211c o s bbbaaa bababa ????? ???? a 與 b 垂直 0??ba 0332211 ??? bbbaba a 與 b 平行 0??ba 332211 bababa ?? 乙 典型例題 例．設(shè) ba, 為兩個(gè)非零向量， ? 為非零常數(shù)，若向量 ba ?? 垂直于向量 b ，則 ? 等于（ ）。 0ba? 表示向量 a 在向量 b 上的投影，即 ajba bPr0 ?? 4．向量積 ba? 也稱為叉乘。 ? ?332211 , babababa ????? 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué) 2 2．?dāng)?shù)乘。與向量 OM 平行的單位向量可以表示為 OMOM1? 。記以三個(gè)坐標(biāo)軸正向?yàn)榉较虻膯挝幌蛄恳来斡洖?kji , ，則向量 OM 可以表示為 zkyjxiOM ??? 稱之為向量 OM 的坐標(biāo)表達(dá)式，也可以表示為 ? ?zyxOM ,? 稱 zkyjxi , 分別為向量 OM 在 x 軸， y 軸， z 軸上的分量。常用有向線段 AB 表示向量。 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué) 2 第五章 向量代數(shù)與空間解析幾何（數(shù)學(xué)一） 167。 答案：原方程的通解為 413252221 ????? ?? xxeCeCy xx 例 5．求 xeyyy 232 ?????? 的通解。而該微分方程的特征方程是： 0322 ??? ?? 特征根是 11 ??? ， 32?? 。 乙 典型例題 一．可降階的高階微分方程 例 1．求下列微分方程的通解 （ 1） ? ? 02 22 ??????? yyxyx （ 2） ? ? ? ?1ln1 ??????? xyyx 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué) 2 解：（ 1）令 py?? ，則 py ??? ，原方程化為 02 22 ???? pxppx 2212 pxpxp ??? 屬于貝努里方程 再令 1??pz 則有 212 xzxdxdz ??? 通解： ? ?12222 11 CxxCdxexez dxxdxx ????????? ????? ?? xCxzp ??? 121 ? ?212121212 ln21 CCxCCxCdxxC xy ????????? ? （ 2）令 py?? ，則 py ??? ，原方程化為 ? ? ? ?1ln1 ????? xppx ? ?11ln11 ?????? xxpxp 屬于一階線性方程 ? ? ?????? ?????? ? ???111111 1ln Cdxex xep dxxdxx ? ?? ? ? ? 111ln1ln11 11 ????????? ? xCxCdxxx ? ?? ??????? ????? 21 111ln CdxxCxy ? ? ? ? 21 21ln CxxCx ????? 例 2．求下列微分方程的通解 （ 1） ? ? 012 ?????? yyy 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué) 2 （ 2） ? ? 12 2 ????? yyy 二．常系數(shù)齊次線性微分方程 例 1．求下列微分方程的通解。所以關(guān)鍵要討論二階常系數(shù)非齊次線性方程的一個(gè)特解 y 如何求？ 我們根據(jù) ??xf 的形式，先確定特解 y 的形式，其中包含一些待定的系數(shù)，然后代入方程確定這些系數(shù)就得到特解 y ，常見的 ??xf 的形式和相對應(yīng)地 y 的形式如下： 1． ? ? ? ?xPxf n? ，其中 ??xPn 為 n 次多項(xiàng)式 （ 1）若 0 不是特征根，則令 ? ? nnnnn axaxaxaxRy ?????? ?? 1110 ? 其中 ? ?niai ,2,1,0 ?? 為待定系數(shù)。 三．二階和某些高階常系數(shù)齊次線性方程 1．二階常系數(shù)齊次線性方程 0?????? qyypy 其中 p ， q 為常數(shù)， 特征方程 02 ??? qp?? 特征方程根的三種不同情形對應(yīng)方程通 解的三種形式 （ 1）當(dāng) 042 ???? qp ，特征方程有兩個(gè)不同的實(shí)根 1? ， 2? 則方程的通解為 xx eCeCy 21 21 ?? ?? （ 2）當(dāng) 042 ???? qp ，特征方程有二重根 21 ??? 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué) 2 則方程的通解為 ? ? xexCCy 121 ??? （ 3）當(dāng) 042 ???? qp ，特征方程有共軛復(fù)根 ?? i? ， 則方程的通解為 ? ?xCxCey x s in c o s 21 ??? ?? 2． n 階常系數(shù)齊次線性方程 ? ? ? ? ? ? 012211 ??????? ??? ypypypypy nnnnn ? 其中 ? ?nipi ,2,1 ?? 為常數(shù)。 二階齊次線性方程 ? ? ? ? 0?????? yxqyxpy （ 1） 二階非齊次線性方程 ? ? ? ? ? ?xfyxqyxpy ?????? （ 2） 1．若 ??xy1 ， ??xy2 為二階齊次線性方程 的兩個(gè)特解，則它們的線性組合新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué) 2 ? ? ? ?xyCxyC 2211 ? （ 1C ， 2C 為任意常數(shù)）仍為同方程的解，特別地，當(dāng) ? ? ? ?xyxy 21 ?? （ ?為常數(shù)），也即 ??xy1 與 ??xy2 線性無關(guān)時(shí)，則方程的通解為 ? ? ? ?xyCxyCy 2211 ?? 2．若 ??xy1 ， ??xy2 為二階非齊次線性方程的兩個(gè)特解，則 ? ? ? ?xyxy 21 ? 為對應(yīng)的二階齊次線性方程的一個(gè)特解。 例 7．求微分方程 2122 ???????? ???? yx ydxdy 例 8．求微分方程51?? ??? xy xydxdy的通解 二．一階線性方程及其推廣 例．求下列微分方程的通解 （ 1） ? ?25112 ???? xx ydxdy （ 2） xydxdyx sin2 ?? （ 3）4yx ydxdy ?? （ 4） ? ? 0t a ns in ??? yd xdyyx 解：（ 1）直接用常數(shù)變易法 對應(yīng)的齊次線性方程為 12??x ydxdy ，通解 ? ?21?? xCy 令非齊次線性方程 ? ?25112 ???? xyxdxdy 的通解為 ? ? ? ?21??? xxCy 代入方程得 ? ? ? ? ? ?252 11 ????? xxxC ? ? ? ?211??? xxC ， ? ? ? ? CxxC ??? 23132 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué) 2 故所求方程的通解為 ? ? ? ? ? ? ? ? 227223 11321132 ??????????? ??? xCxxCxy （ 2）直接用通解公式（先化標(biāo)準(zhǔn)形式 x xyxdxdy sin2 ?? ） ? ? xxP 2? ， ? ? xxxQ sin? 通解 ?????? ???? ?? Cdxex xey dxxdxx 22 s in ? ? ? ?CxxxxCx d xxx ????? ?? c o ss i n1s i n1 22 （ 3）此題不是一階線性方程，但把 x 看作未知函數(shù)， y 看作自變量， 所得微分方程 yyxdydx 4??即 31 yxydydx ?? 是一階線性方程 ? ?yyP 1??， ? ? 3yyQ ? CyyCdyeyex dyydyy ?????????? ???? ? ? 4131 31 （ 4）此題把 x 看作未知函數(shù)， y 看作自變量所得微分方程為 ? ? yxydydx co sco t ??， ? ? yyP cot? ， ? ? yyQ cos? ?????? ???????? ???? ?? CyyCdyyeex y d yy d y 2c o tc o t s i n21s i n1c o s 167。 （ 1） ? ? ? ? 022 ???? dyyxydxxxy （ 2） ? ? ? ? 0???? ?? dyeedxee yyxxyx 例 2．求下列微分方程的通解。 （ 1） ???????? ??? 222 yxdydyxdx ； （ 2） ???????? ??? 222 yxdydyxdx ； （ 3） ? ?xydxdyydx ?? ； （ 4） ? ?xydxy xd yyd x ln??； （ 5） ? ??????? ???? 2222 ln21 yxdyx yd yxd x； （ 6） ? ??????? ???? 2222 ln21 yxdyx yd yxd x； 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué) 2 （ 7） ???????? xydx ydxxdy 2； （ 8） ?????????? yxdy xdyydx 2； （ 9） ??????????? yxdyx xdyydx a r c ta n22； （ 10） ????????? xydyx ydxxdy a r c ta n22； （ 11） ???????? ????? yx yxdyx xdyydx ln2122； （ 12） ???????? ????? yx yxdyx ydxxdy ln2122； （ 13） ? ? ???????? ????? 22222 121 yxdyx yd yxd x； （ 14） ? ? ???????? ????? 22222 121 yxdyx yd yxd x； （ 15） ? ? ? ??????? ???? ? 22222 a r c t a n211 yxdyx y dyx dx； （ 16） ?