【正文】 ??? [如果存在 ] 8．利用定積分定義求極限 基本公式 ? ??? ?????????? 1011lim dxxfnkfnnkn [如果存在 ] 9．其它綜合方法 10．求極限的反問(wèn)題有關(guān)方法 乙 典型例題 一．通過(guò)各種基本技巧化簡(jiǎn)后直接求出極限 例 1．設(shè) 0?ma ， 0?nb 求01110111lim bxbxbxb axaxaxa nnnnmmmmx ???????? ?????? ?? 最全 、最 新 、完全免費(fèi)的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 16 例 2．設(shè) 0?a ， 1?r ，當(dāng) ? ?1lim ??? ??? nn arara ? 解： ? ? rarraarara nnnn ????????????? 111limlim 1? 特例（ 1）求 ? ????????? ??????????????????????? ???nnn 321323232lim 132 ? 解：例 2 中取 32?a ， 32??r ，可知原式5232132?????????? （ 2） 342323131121211lim ?????????????????????? nnn?? 例 3．求nnnnn 3223lim 11 ?????? 例 4．設(shè) l 是正整數(shù)，求 ? ????? ?nkn lkk11lim 特例：（ 1） ? ? 111lim 1 ?????? nkn kk （ 2） ? ?4321lim 1 ?????? nkn kk 例 5．設(shè) l 是正整數(shù)，求 ? ?? ????? ??nkn lkklkl1 222lim 最全 、最 新 、完全免費(fèi)的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 17 特例：（ 1?l ） ? ? 1112lim 1 22 ???????nkn kkk （ 2?l ） ? ?? ?452112222lim 21 22 ????????? nkn kk k 例 6．設(shè) 0?d 為常數(shù)，求 ? ? ?????? ???????? 222 1111lim n dnn dnn ? 例 7．求下列各極限 （ 1） x xxx????11lim0 （ 2） x xxx33011lim ???? （ 3）xx xxx ??? ???? 11 11lim330 （ 4） ? ?xxxxx 3lim 22 ?????? 二．用兩個(gè)重要公式 例 1．求 xxx ?? ?? sinlim 例 2．求 ? ?xx xxx c os1 s in1t a n1lim0 ? ???? 解一：原式 ? ? ? ?? ?? ?xxxx xxx s in1t a n1c o s1 1s in1t a nlim 0 ???? ???? ? ? ?? ?21t anlim21co s1 co s1t anlim21 00 ??? ?? ?? x xxx xx xx 最全 、最 新 、完全免費(fèi)的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 18 解二：原式 ? ? ? ?? ? ? ?xx xxxx xx xx c os1 s i nt a nl i m21c os1 1s i n11t a n1l i m 00 ? ??? ?????? ?? 21tanlim210 ?? ? x xx 例 3．求nn xxx 2c o s4c o s2c o slim ??? 例 4．求下列極限 （ 1） 1021lim ??? ?????? ? xx x （ 2） xx xx 10 11lim ?????? ??? （ 3） xx xx ?????? ???? 11lim （ 4） 112 32lim ??? ?????? ?? xx xx 例 5．求下列極限 （ 1） ? ? xx x cottan1lim ??? （ 2） 141lim ?? xx x （ 3） ? ? xx x 2cot0 coslim? （ 4） ? ? ? ?xx x 3csc0 2coslim? 三．用夾逼定理求極限 例 1．求 ?????? ????? nnn 2 12654321lim ? 解：令 nnxn 2 12654321 ???? ?， 12 25432 ??? n nyn ? 則 nn yx ??0 ， 于是 12 10 2 ???? nyxxnnn 最全 、最 新 、完全免費(fèi)的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 19 由夾逼定理可知 0lim 2 ??? nn x，于是原極限為 0 。 2．極限的基本性質(zhì) 定理 1．（極限的唯一性）設(shè) ? ? Axf ?lim ， ? ? Bxf ?lim ，則 BA? 最全 、最 新 、完全免費(fèi)的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 11 定理 2．（極限的不等式性質(zhì)）設(shè) ? ? Axf ?lim ， ? ? Bxg ?lim 若 x 變化一定以后，總有 ? ? ? ?xgxf ? ，則 BA? 反之， BA? ，則 x 變化一定以后，有 ? ? ? ?xgxf ? （注：當(dāng) ? ? 0?xg ， 0?B 情形也稱(chēng)為極限的保號(hào)性） 定理 3．（極限的局部有界性 ）設(shè) ? ? Axf ?lim 則當(dāng) x 變化一定以后， ??xf 是有界的。 1． 2 極限 甲 內(nèi)容要點(diǎn) 一．極限的概念與基本性質(zhì) 1．極限的定義 （ 1） Axnn ???lim （稱(chēng)數(shù)列 ??nx 收斂于 A ） 最全 、最 新 、完全免費(fèi)的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 10 任給 0?? ，存在正整數(shù) N ，當(dāng) Nn? 時(shí)，就有 ???Axn 。 （ D）若 ??xf 為單調(diào)函數(shù)，則 ??xF 為單調(diào)函數(shù)。 乙 典型例題 一．求函數(shù)的定義域 例 1．求函數(shù) ? ? 2100lnlnln xxxf ??? 的定義域 例 2．求5ln 1???? xxxy的定義域 最全 、最 新 、完全免費(fèi)的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 7 例 3．設(shè) ??xf 的定義域?yàn)?? ?? ?0, ?? aaa ，求 ? ?12?xf 的定義域 例 4．設(shè) ? ???? ?? ??? 42 ,2 20 ,1 xxxg 求 ? ? ? ? ? ?12 ??? xgxgxf 的定義域，并求 ??????23f。 3．單調(diào)性： 設(shè) ??xf 在 X 上有定義，若對(duì)任意 Xx?1 ， Xx?2 ， 21 xx? 都有 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?2121 xfxfxfxf ?? 則稱(chēng) ??xf在 X 上是單調(diào)增加的 [單調(diào)減少的 ]；若對(duì)任意 Xx?1 ， Xx?2 ， 21 xx? 都有 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?2121 xfxfxfxf ?? 則稱(chēng) ??xf 在 X 上是單調(diào)不減 [單調(diào)不增 ]。其中 u 稱(chēng)為中間變量。 關(guān)于基本初等函數(shù)的概念，性質(zhì)及其圖象非常重要，影響深遠(yuǎn)。 又 ? ???? ?? ??? 0, 0, xx xxxxf， ? ????????????0,10,00,1s g nxxxxxf ，都是分段函數(shù) 最全 、最 新 、完全免費(fèi)的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 3 3．隱函數(shù) 形如 ? ?xfy? 的函數(shù)稱(chēng)為顯函數(shù)，由方程 ? ? 0, ?yxF 確定 ? ?xyy? 稱(chēng)為隱函數(shù)，有些隱函數(shù)可以化為顯函數(shù)，例如 122 ??yx ， 21 xy ??? ，（不一定一個(gè)單值函數(shù)），而有些隱函數(shù)則不能化為顯函數(shù)。 7． 4 曲面積分（數(shù)學(xué)一） 第八章 無(wú)窮級(jí)數(shù) （數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三） 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù) 最全 、最 新 、完全免費(fèi)的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 2 167。這次基礎(chǔ)班偏重于基本概念和基本方法以及一般性技巧，其內(nèi)容安排如下： 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)（全體） 第二章 一元函數(shù)微分學(xué)（全體） 第三章 一元函數(shù)積分學(xué)（全體） 常微分方程（全體） 第五章 向量代數(shù)與空間解析幾何（數(shù) 學(xué)一） 第六章 多元函數(shù)微分學(xué)（全體） 第七章 多元函數(shù)積分學(xué) 167。又分為基礎(chǔ)班、強(qiáng)化班和沖刺班三個(gè)階段。 7． 3 曲線積分 167。 例如 ? ???????????????1511112xxxxxxxfy 是一個(gè)分段函數(shù)，它有兩個(gè)分段點(diǎn)， 1??x 和 1?x ，它們兩側(cè)的函數(shù)表達(dá)式不同，因此討論函數(shù) ? ?xfy?在分段點(diǎn)處的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等問(wèn)題時(shí)，必須分別先討論左、右極限，左、右連續(xù)性和左、右導(dǎo)數(shù)，需要強(qiáng)調(diào)：分段函數(shù)不是初等函數(shù)，不能用初等函數(shù)在定義域內(nèi)皆連續(xù)這個(gè)定理。 6．反三角函數(shù) xy arcsin? ； xy arccos? ； xy arctan? ； xarcy cot? 。 三．復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù) 1．復(fù)合函數(shù) 設(shè) ? ?ufy? 定義域 U 最全 、最 新 、完全免費(fèi)的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 5 ? ?xgu? 定義域 X ，值域 *U 如果 UU?* ，則 ? ?? ?xgfy? 是定義在 X 上的一個(gè)復(fù)合函數(shù)。 2．奇偶性： 最全 、最 新 、完全免費(fèi)的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 6 設(shè)區(qū) 間 X 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若對(duì) Xx? ，都有 ? ? ? ?xfxf ??? ，則稱(chēng) ??xf 在 X 上是奇函數(shù)；若對(duì) Xx? ，都有 ? ? ? ?xfxf ?? ，則稱(chēng) ??xf 在 X 上是偶函數(shù)、奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì) 稱(chēng)；偶函數(shù)圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)。 由此可見(jiàn)，周期函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)周期，一般我們把其中 最小正周期稱(chēng)為周期。 （ C）若 ??xf 為周期函數(shù)，則 ??xF 為周期函數(shù)。 例 2．求 ? ? ? ?? ?dxxxeexxI xx 1ln11 25?? ? ????? 167。 有時(shí)我們用 ? ? Axf ?lim 表示上述六類(lèi)函數(shù)的極限， 它具有的性質(zhì)，上述六類(lèi)函數(shù)極限皆具有這種性質(zhì)，有時(shí)我們把 ? ?nfxn ? ，把數(shù)列極限也看作這種抽象的變量的極限的特例，以便于討論。 （ 2） 0?l ，稱(chēng) ??xf 與 ??xg 是同階無(wú)窮小。 原式 ? ?231ln1c oss in3c os11lim0 ????????????????? ?xxxxxxxx 例 4．設(shè) n 為正整數(shù)，求 ? ?x xxxn nnx c o s111lim