【正文】 ??? [如果存在 ] 8．利用定積分定義求極限 基本公式 ? ??? ?????????? 1011lim dxxfnkfnnkn [如果存在 ] 9．其它綜合方法 10．求極限的反問題有關方法 乙 典型例題 一．通過各種基本技巧化簡后直接求出極限 例 1．設 0?ma ， 0?nb 求01110111lim bxbxbxb axaxaxa nnnnmmmmx ???????? ?????? ?? 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 16 例 2．設 0?a ， 1?r ，當 ? ?1lim ??? ??? nn arara ? 解： ? ? rarraarara nnnn ????????????? 111limlim 1? 特例（ 1）求 ? ????????? ??????????????????????? ???nnn 321323232lim 132 ? 解：例 2 中取 32?a ， 32??r ，可知原式5232132?????????? （ 2） 342323131121211lim ?????????????????????? nnn?? 例 3．求nnnnn 3223lim 11 ?????? 例 4．設 l 是正整數，求 ? ????? ?nkn lkk11lim 特例：（ 1） ? ? 111lim 1 ?????? nkn kk （ 2） ? ?4321lim 1 ?????? nkn kk 例 5．設 l 是正整數，求 ? ?? ????? ??nkn lkklkl1 222lim 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 17 特例：（ 1?l ） ? ? 1112lim 1 22 ???????nkn kkk （ 2?l ） ? ?? ?452112222lim 21 22 ????????? nkn kk k 例 6．設 0?d 為常數，求 ? ? ?????? ???????? 222 1111lim n dnn dnn ? 例 7．求下列各極限 （ 1） x xxx????11lim0 （ 2） x xxx33011lim ???? （ 3）xx xxx ??? ???? 11 11lim330 （ 4） ? ?xxxxx 3lim 22 ?????? 二．用兩個重要公式 例 1．求 xxx ?? ?? sinlim 例 2．求 ? ?xx xxx c os1 s in1t a n1lim0 ? ???? 解一：原式 ? ? ? ?? ?? ?xxxx xxx s in1t a n1c o s1 1s in1t a nlim 0 ???? ???? ? ? ?? ?21t anlim21co s1 co s1t anlim21 00 ??? ?? ?? x xxx xx xx 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 18 解二：原式 ? ? ? ?? ? ? ?xx xxxx xx xx c os1 s i nt a nl i m21c os1 1s i n11t a n1l i m 00 ? ??? ?????? ?? 21tanlim210 ?? ? x xx 例 3．求nn xxx 2c o s4c o s2c o slim ??? 例 4．求下列極限 （ 1） 1021lim ??? ?????? ? xx x （ 2） xx xx 10 11lim ?????? ??? （ 3） xx xx ?????? ???? 11lim （ 4） 112 32lim ??? ?????? ?? xx xx 例 5．求下列極限 （ 1） ? ? xx x cottan1lim ??? （ 2） 141lim ?? xx x （ 3） ? ? xx x 2cot0 coslim? （ 4） ? ? ? ?xx x 3csc0 2coslim? 三．用夾逼定理求極限 例 1．求 ?????? ????? nnn 2 12654321lim ? 解：令 nnxn 2 12654321 ???? ?， 12 25432 ??? n nyn ? 則 nn yx ??0 ， 于是 12 10 2 ???? nyxxnnn 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 19 由夾逼定理可知 0lim 2 ??? nn x，于是原極限為 0 。 2．極限的基本性質 定理 1．（極限的唯一性）設 ? ? Axf ?lim ， ? ? Bxf ?lim ，則 BA? 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 11 定理 2．（極限的不等式性質）設 ? ? Axf ?lim ， ? ? Bxg ?lim 若 x 變化一定以后，總有 ? ? ? ?xgxf ? ，則 BA? 反之， BA? ，則 x 變化一定以后，有 ? ? ? ?xgxf ? （注：當 ? ? 0?xg ， 0?B 情形也稱為極限的保號性） 定理 3．（極限的局部有界性 ）設 ? ? Axf ?lim 則當 x 變化一定以后， ??xf 是有界的。 1． 2 極限 甲 內容要點 一．極限的概念與基本性質 1．極限的定義 （ 1） Axnn ???lim （稱數列 ??nx 收斂于 A ） 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 10 任給 0?? ，存在正整數 N ，當 Nn? 時，就有 ???Axn 。 （ D）若 ??xf 為單調函數，則 ??xF 為單調函數。 乙 典型例題 一．求函數的定義域 例 1．求函數 ? ? 2100lnlnln xxxf ??? 的定義域 例 2．求5ln 1???? xxxy的定義域 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 7 例 3．設 ??xf 的定義域為 ? ?? ?0, ?? aaa ，求 ? ?12?xf 的定義域 例 4．設 ? ???? ?? ??? 42 ,2 20 ,1 xxxg 求 ? ? ? ? ? ?12 ??? xgxgxf 的定義域，并求 ??????23f。 3．單調性： 設 ??xf 在 X 上有定義，若對任意 Xx?1 ， Xx?2 ， 21 xx? 都有 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?2121 xfxfxfxf ?? 則稱 ??xf在 X 上是單調增加的 [單調減少的 ]；若對任意 Xx?1 ， Xx?2 ， 21 xx? 都有 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?2121 xfxfxfxf ?? 則稱 ??xf 在 X 上是單調不減 [單調不增 ]。其中 u 稱為中間變量。 關于基本初等函數的概念，性質及其圖象非常重要，影響深遠。 又 ? ???? ?? ??? 0, 0, xx xxxxf， ? ????????????0,10,00,1s g nxxxxxf ，都是分段函數 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 3 3．隱函數 形如 ? ?xfy? 的函數稱為顯函數，由方程 ? ? 0, ?yxF 確定 ? ?xyy? 稱為隱函數，有些隱函數可以化為顯函數，例如 122 ??yx ， 21 xy ??? ，（不一定一個單值函數），而有些隱函數則不能化為顯函數。 7． 4 曲面積分（數學一） 第八章 無窮級數 （數學一和數學三） 第一章 函數、極限、連續(xù) 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 2 167。這次基礎班偏重于基本概念和基本方法以及一般性技巧，其內容安排如下： 第一章 函數、極限、連續(xù)（全體） 第二章 一元函數微分學（全體） 第三章 一元函數積分學（全體） 常微分方程（全體） 第五章 向量代數與空間解析幾何（數 學一） 第六章 多元函數微分學（全體） 第七章 多元函數積分學 167。又分為基礎班、強化班和沖刺班三個階段。 7． 3 曲線積分 167。 例如 ? ???????????????1511112xxxxxxxfy 是一個分段函數，它有兩個分段點， 1??x 和 1?x ，它們兩側的函數表達式不同，因此討論函數 ? ?xfy?在分段點處的極限、連續(xù)、導數等問題時，必須分別先討論左、右極限，左、右連續(xù)性和左、右導數，需要強調：分段函數不是初等函數，不能用初等函數在定義域內皆連續(xù)這個定理。 6．反三角函數 xy arcsin? ； xy arccos? ； xy arctan? ； xarcy cot? 。 三．復合函數與初等函數 1．復合函數 設 ? ?ufy? 定義域 U 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 5 ? ?xgu? 定義域 X ，值域 *U 如果 UU?* ，則 ? ?? ?xgfy? 是定義在 X 上的一個復合函數。 2．奇偶性： 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 6 設區(qū) 間 X 關于原點對稱，若對 Xx? ，都有 ? ? ? ?xfxf ??? ，則稱 ??xf 在 X 上是奇函數；若對 Xx? ，都有 ? ? ? ?xfxf ?? ，則稱 ??xf 在 X 上是偶函數、奇函數的圖象關于原點對 稱；偶函數圖象關于 y 軸對稱。 由此可見，周期函數有無窮多個周期，一般我們把其中 最小正周期稱為周期。 （ C）若 ??xf 為周期函數，則 ??xF 為周期函數。 例 2．求 ? ? ? ?? ?dxxxeexxI xx 1ln11 25?? ? ????? 167。 有時我們用 ? ? Axf ?lim 表示上述六類函數的極限， 它具有的性質，上述六類函數極限皆具有這種性質，有時我們把 ? ?nfxn ? ，把數列極限也看作這種抽象的變量的極限的特例，以便于討論。 （ 2） 0?l ，稱 ??xf 與 ??xg 是同階無窮小。 原式 ? ?231ln1c oss in3c os11lim0 ????????????????? ?xxxxxxxx 例 4．設 n 為正整數，求 ? ?x xxxn nnx c o s111lim