【正文】 奇數(shù)還是偶數(shù)。因此，質(zhì)因數(shù)具有雙重身份：第一必須是個(gè)質(zhì)數(shù)；第二必須是另一個(gè)數(shù)的因數(shù)。質(zhì)因數(shù)雖然也是指一個(gè)數(shù)，但是它是針對(duì)另一個(gè)數(shù)而說的。但 1 20 和 35 這組數(shù)中，雖然它們也是互質(zhì)數(shù)，但不是兩兩互質(zhì)，因?yàn)?12和 35 是互質(zhì)數(shù)，至于 12 和 20 和 35都不是互質(zhì)數(shù)。 例如： 5和 7， 4 和 11， 8 和 9， 11和 15， 1 20 和 35??。 （ 2）質(zhì)因數(shù)：一般地說，一個(gè)數(shù)的因數(shù)是質(zhì)數(shù)，就叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。 例如： 1 的約數(shù)有： 1； 2 的約數(shù)有： 1， 2； 3 的約數(shù)有： 1， 3； 4 的約數(shù)有： 1， 2， 4； 6 的約數(shù)有： 1， 2， 3， 6； 7 的約數(shù)有： 1， 7； 12 的約數(shù)有： 1， 2， 3， 4， 6， 12； ?? 從上面各數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)中可以看到：一個(gè)自然數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)有三種情況： ① 只有一個(gè)約數(shù)的，如 1。 1 1 16 相乘積是 14 15 16=3360，而 3360是 6 的 560 倍。 例如：從 11起自然數(shù)列的順序是這樣的： 從上面自然數(shù)列中可以看出：無論從任何一個(gè)數(shù)開始，三個(gè)連續(xù)數(shù)中，必定有 2 和 3 的倍數(shù)，而 2 與 3 的乘積是 6，所以在三個(gè)連續(xù)數(shù)的乘積里，必定有 6的倍數(shù)。 6是 3的倍數(shù)，也會(huì)導(dǎo)致能被 6整除的數(shù)就能被 18 整除的錯(cuò)誤結(jié)論。 使用上述 4 種間接判斷方法，要特別注意一個(gè)問題，即：一個(gè)數(shù)所分解的兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)必須是互質(zhì)數(shù)，否則就會(huì)發(fā)生判斷上的錯(cuò)誤。 9 由此可以得出：一個(gè)數(shù)既能被 5整除，又是 9的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就一定能被 45 整除。 52416 的末位數(shù)字是 6，能被 2整除，而 52416 的各位數(shù)字的和是5+2+4+1+6=18， 18又是 9 的倍數(shù)，因此， 52416 一定能被 18整除。 2247。 檢驗(yàn)： 8715247。 5 由此可以得出：一個(gè)數(shù)既能被 3整除，又能被 5整除，這個(gè)數(shù)就一定能被 15 整除。 12=394?? 6 （ 2）判斷一個(gè)數(shù)能不能被 15 整除。 檢驗(yàn)： 3084247。判斷被 3和 4整除的數(shù)的特征，在前面已經(jīng)做了解答，只要滿足被 3和 4整除的這兩個(gè)條件 ,這個(gè)數(shù)就一定能被 12 整除。 因?yàn)?12=3 4 a247。 如：判斷 782 和 693 能不能被 17整除。 由于 80 不能被 17整除，因此， 8765 也不能被 17 整除。如果最后結(jié)果不是 17的倍數(shù)時(shí)，那么原來這個(gè)數(shù)就一定不能被 17 整除。 這個(gè)方法也同樣適用于判斷一個(gè)數(shù)能不能被 7或 11整除。 ∵ 26能被 13 整除， ∴ 383357 也能被 13 整除。 第一個(gè)括號(hào)中所得的結(jié) 果，肯定能被 11整除，原數(shù)能不能被 11整除，決定于第二個(gè)括號(hào)中所得的數(shù)，而第二個(gè)括號(hào)中的數(shù)，恰恰是奇位數(shù)字與偶位數(shù)字之差，由此而得出了用奇偶位差法來判斷一個(gè)數(shù)能不能被 11整除。 11=1 1001247。 9=111111 999999247。 9=1111 9999247。 9=11 99247。 上述這種方法叫做奇偶位差法，算理可通過下列算式說明。 例如①：判斷 283679 能不能被 11整除。 例如： 4708??割去末位 8 因此， 4708 能被 11 整除。 由于 125 本身就是三位數(shù)，在所有的三位數(shù)內(nèi)， 125的倍數(shù)只有有限的幾個(gè)（ 12 250、 37 500、 62 750、 87 1000），所以，只要熟記這幾個(gè)數(shù)據(jù)，就可以準(zhǔn)確、迅速地進(jìn)行判斷了。 例如： 9864=9 1000+864 56750=56 1000+750 93000=93 1000 1000 既能被 8和 125 整除， 1000 的倍數(shù)也必然能被 8 和 125 整除，因此，一個(gè)數(shù)末三位左邊的數(shù)可以不看，只要末三位數(shù)能被 8或 125 整除，這個(gè)數(shù)就能被 8 或 125 整除。 8 或 125 整除？ 一個(gè)數(shù)能不能被 8或 125 整除，要看這個(gè)數(shù)的末三位，這個(gè)數(shù)的末三位是 8 或 125 的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就能被 8 或 125 整除。由此可以得出：凡是一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)都是 0（必然是 100 的倍數(shù)），這個(gè)數(shù)就一定能被 4 或 25整除。 檢驗(yàn)： 5264247。 2583 能被 7整除；也能被 21 整除。 如果一個(gè)數(shù)連續(xù)減去 7 的倍數(shù)，而余下的數(shù)也是 7 的倍數(shù)，那么原來這個(gè)數(shù)也必然是 7的倍數(shù)，因而也能被 7整除。關(guān)于割減法的算理，即 ：為什么要先割去末位上的數(shù)字，然后再從留下的數(shù)字中減去割去數(shù)字的 2倍？這與能不能被 7 整除有什么關(guān)系？講清這個(gè)算理，先觀察一下 21的倍數(shù)有什么特點(diǎn)。 因?yàn)?14是 7的倍數(shù)，所以 3164 能被 7整除。 7 整除？ 判斷一個(gè)數(shù)能不能被 7 整除，不象判斷一個(gè)數(shù)能不能被 3 整除那佯，根據(jù)這個(gè)數(shù)的數(shù)字特征就能直接做出判斷。 654 是偶數(shù)，自然能被 2 整除； 654 各位數(shù)字的和是 6+5+4=15， 15是 3的倍數(shù) ，因此， 654 能被 6整除。這就符合了能被 6整除的第一個(gè)條件。 檢驗(yàn)： 3478247。即： 7485247。 用上述方法不但能判斷一個(gè)數(shù)能不能被 3 或 9 整除，而且還能判斷不能整除時(shí)，余數(shù)是多少。 判斷結(jié)果： 3+5+4=12， 12能被 3 整除，因此， 354 能被 3整除。 9=1111 ?? ?? （ 2）凡是 10 的倍數(shù)都可以用下列形式表示： 10=9+1 100=99+1 1000=999+1 10000=9999+1 ?? 80=8 10=8（ 9+1） 700=7 100=7（ 99+1） 5000=5 1000=5（ 999+1） 40000=4 10000=4（ 9999+1） ??根據(jù)以上兩點(diǎn)，可以通過下面的等式來說明 354能不能被 3整除的道理： 第一個(gè)括號(hào)里是 9 的倍數(shù)加上 9 的倍數(shù)，它是能被 3或 9整除的。 9=11 999247。如： 9247。 3=849?? 2 又如：判 421 5282 能不能被 9整除。 例如：判斷 3576， 2549 能不能被 3整除。 個(gè)位上是 0 的數(shù)，是 10的倍數(shù)， 10 能被 2整除，也能被 5整除。所以個(gè)位上是 0 的數(shù)，也一定能被 2整除了?！? 有關(guān)這個(gè)結(jié)論的算理，可以通過下面數(shù)例加以說明。所以“ 12 是倍數(shù)， 4是約數(shù)”這種說法是 不對(duì)的。 由此可見， 12247。 例如： 15247。 （ 3）如果限定在整數(shù)范圍內(nèi)，這個(gè)“整數(shù)”概念包括負(fù)整數(shù)，由于沒有最小的負(fù)整數(shù)，因此，在整數(shù)的范圍內(nèi)，也沒有最小的偶數(shù)。例如： 4 8 187??這些數(shù)都是合 數(shù)，但都不是偶數(shù)。 還必須看到，“除 2 以外的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)”這個(gè)結(jié)論雖然正確無誤，但反過來說“除 2以外，奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)”則是錯(cuò)誤的，如： 2 3 143??這 些數(shù)，雖然都是奇數(shù)，但這些數(shù)除了 1和它本身這兩個(gè)約數(shù)外，還有其他約數(shù)，如： 27 還有 3和 9， 35還有 5 和 7， 143 還有 11 和 13，都不符合質(zhì)數(shù)的定義，因此，這些數(shù)都不是質(zhì)數(shù)。這些數(shù)既是質(zhì)數(shù)，也都是奇數(shù)。因此，質(zhì)數(shù)不一定是奇數(shù)，偶數(shù)也不一定是合數(shù)。 在負(fù)數(shù)中（ 5） 7=35， 5和 7都是 35 的因數(shù)。 約數(shù)與因數(shù)的另一個(gè)區(qū)別，還在于各自的應(yīng)用范圍上。如果換成乘法算式： 3 2=6，對(duì)于乘積（ 6）來說， 3 和 2 都是它的因數(shù)。 b=c 反之 b c=a 僅從算式來觀察，似乎約數(shù)與因數(shù)已經(jīng)等同了，實(shí)際上并非如此。在小學(xué) 數(shù)學(xué)“教”與“學(xué)”中，接觸因數(shù)是在整數(shù)乘法時(shí)，被乘數(shù)與乘數(shù)對(duì)于積來說，都是因數(shù)。 在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，“倍數(shù)”的運(yùn)用還有另一種情況，即在比例教學(xué)時(shí)，當(dāng)闡述正、反比例關(guān)系所提到的“擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)”，這里所提到的“倍數(shù)”，是一般除法中的概念，而不是“整除”范圍內(nèi)的概念。 例如： 28是 7的倍數(shù)，因?yàn)?28 能被 7整除。 例如：白布 8米，花布的長度有 4 個(gè) 8 米；或者說把白布 8米看 作 1份，花布的長度是 4 份。 5=2?? 1 121247。 7＝ 12 84 能被 21 整除， 21 又能被 7 整除，那么 84 就一定能被 7 整除。 （ 5）如果 a、 b、 c這三個(gè)數(shù)中， a 能被 b整除， b又能被 c整除，那么 a一定能被 c 整除（這是整除的傳遞性）。 （ 4）如果整數(shù) a能被自然數(shù) c整除，那么 a 的倍數(shù)（整數(shù)倍）也能被 c整 除。 11=7?? 8 38247。 7=4?? 5 （ 65＋ 33）247。那么 a與 b的和（或差）能或不能被 c整除。 13=7 30247。 11=6 （ 8866）247。 9=13?? 2 36 能被 9整除， 83不能被 9整除，那么 36 與 83 的和（ 119）不能被9 整除。 反之，如果整數(shù) a、 b中，有一個(gè)數(shù)能被 c整除，而其中一個(gè)數(shù)不能被 c整除，那么 a與 b的和就一定不能被 c 整除。 例如： 42247?！罢迸c“除盡”的區(qū)別和聯(lián)系在于“整除”也可以稱作“除盡”，但是“除盡”不一定是“整除”。” “整除”與“除盡”是兩個(gè)不同的概念。 又如： 247。按原題 可以說成是 896 能被 16 整除。 ？ 整除和除盡是兩個(gè)既有區(qū)別又有聯(lián)系的概念，也是兩個(gè)易于混淆的概念。 11 96375247。 在未學(xué)習(xí)“數(shù)的整除性”前，學(xué)生是很難準(zhǔn)確、迅速地判斷出下列各式的商是不是整數(shù)。在分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算中，約分和通分是一定要掌握的基礎(chǔ)知識(shí)，而構(gòu)成這些基礎(chǔ)知識(shí)，是離不開“數(shù)的整除性”這部分內(nèi)容的。四、數(shù)的整除性 “數(shù)的整除性”這部分知識(shí)？ “數(shù)的整除性”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是一個(gè)重要的基礎(chǔ)知識(shí)。 還必須看到：“數(shù)的整除性”是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的前提和準(zhǔn)備。 除此之外， 學(xué)生在過去的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)知道整數(shù)與整數(shù)的和、差、積都是整數(shù)，但整數(shù)除整數(shù)時(shí)，商不一定是整數(shù)，有時(shí)會(huì)是小數(shù)，到底在什么情況下，整數(shù)與整數(shù)相除，商仍然是整數(shù)呢？這就需要根據(jù)“數(shù)的整除性”的知識(shí)來進(jìn)行正確的判斷了。 7 32846247。 8 由于數(shù)字較大，一時(shí)難于做出正確的判斷，一旦掌握了 “ 數(shù)的整除性 ” 這部分知識(shí)，這些問題就不難解決了。但這兩道題又有不同的地方，（ 1）題中的被除數(shù)、除數(shù)和商都是整數(shù)，這種情況稱作“整除”。按原題可以說成 36 能被 8除盡，而不能說成 36能被 8整除。 由于在小學(xué)數(shù)學(xué)中，“數(shù)的整除性”所涉及的數(shù)一般都指的是自然數(shù)，不包括 0，因此，其定義是：“數(shù) a除以數(shù) b，除得的商正好 是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說， a能被 b 整除。 “整除”是整數(shù)范圍內(nèi)的除法，而“除盡”則不限于整數(shù)范圍，只要求余數(shù)為零。 155.“數(shù)的整除性”有哪些性質(zhì)？ “數(shù)的整除性”的性質(zhì)很多，涉及到小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的有以下幾個(gè)： （ 1）如果兩個(gè)整數(shù) a、 b 都能被 c 整除，那么 a 與 b 的和也能被 c整除。 7=14 42 能被 7整除， 56也能被 7整除，那么 42 與 56 的和（ 98）也能被7 整除。 9=9?? 2 （ 36+83）247。 11=8， 66247。 例如： 91247。 （ 3）如果兩個(gè)整數(shù) a、 b 都不能被 c整除。 7=9?? 2 33247。 又如： 85247。 11=4?? 3 85 不能被 11 整除， 38 也不能被 11 整除，此例中 85與 38 的和（ 123）或差（ 47）都不能被 11整除。 13=12 39 能被 13 整除， 39 的 4 倍（ 156）也能被 13 整除。 7=3 84247。 11=11 11247。 “倍”指的是數(shù)量之間的關(guān)系，它建立在乘法概念的基礎(chǔ)上，在實(shí)際教學(xué)中，是從“個(gè)”和“份”逐步抽象出來的數(shù)學(xué)概念。 “倍數(shù)”指的是數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，它建立在“數(shù)的整除性”這個(gè)大概念的基礎(chǔ)上，是在明確“整除”的前提下，與“約數(shù)”同時(shí)建立的。由此可見，前者的“倍 數(shù)”是嚴(yán)格限制在“整除”的范圍內(nèi)，而后者的“倍”只體現(xiàn)在乘法的概念當(dāng)中，這是兩者的明確區(qū)別。 ？ 在“數(shù)的整除性”中，約數(shù)和因數(shù)是兩個(gè)重要的概念?！?