【正文】 ?,1 ? ，有 若 TX 的均方積分 dttXtY ta )()( ?? 存在，),( 11 nnY tt ??? ?? ；,( )()(1)1()1(1,101)(lim nmnmniniimuuuu ????????),), )1( 111)1(0111 11 ??? mm tttt ）（）（ （（ ?? ? )),), )( 1)()(01 nmnmnnnnnn tttt ??? （（）（ ?? ??其中 ],[ ita 的分點為 iimii tttta i ????? )()(1)(0 ?],[ )()( 1)( ikikik ttu ?? imk ??1)(m a x )( 1)(1)( ikikmkim ttii??? ???ni ,1 ?? 首頁 二、正態(tài)過程的均方導(dǎo)數(shù)、積分的性質(zhì) 性質(zhì) 1 設(shè) ),( )()(2)(1)( ?? nknnn XXXX ? 為 k 維正態(tài)隨機向量，且 )( nX 均方收斂于 ),( 21 ?? kXXXX ? ，即對每個 i有 0][l i m 2)( ???? inin XXE ki ??1則 X也是 k維正態(tài)隨機向量。 且有 由于 )(tX因 )()( sXtX ? 服從 N （ 0 , )(2 st ?? ）分布，0)0( ?X),m i n (),( 2 tstsR ??ds dttsRu u ),(0 0? ?2?? ][0 0 dsts dsdtutu t ?? ? ?332 u??對一切有窮的 u存在， 故均方積分 dttXuY u )()( 0?? 存在。首頁 定理 2 證明 設(shè) )( tX 在 ],[ ba 上均方連續(xù)，則 )( tX 在 ],[ ba 上均方可積。 而 為普通意義下的確定性函數(shù)，故可用分析的方法求導(dǎo)。 返回 首頁 第四節(jié) 均方導(dǎo)數(shù) 一、均方導(dǎo)數(shù)的定義 定義 1 如果均方極限 存在 設(shè)隨機變量 { )( tX ， ),( ?????t } 為二階矩過程對于確定的 ),( ?????t ，0?hhtXhtX )()( ??則稱 在 t處均方可微， )(tX 并將此極限記作 )(tX?稱為 )( tX 在 t 處的均方導(dǎo)數(shù)即有 ?? )( tX0?h h tXhtX )()( ??或 0)()()(l i m20??????? ?????tXhtXhtXEh首頁 二次均方可微 二階均方導(dǎo)數(shù) 定義 2 廣義二次可微 存在 若 { )( tX ? , ),( ?????t } 在 t 處均方可微，則稱 )( tX 在 t 處二次均方可微)( tX ? 的均方導(dǎo)數(shù)記為 )( tX ??設(shè) ),( tsR 為隨機過程 { )( tX , Tt ? } 的相關(guān)函數(shù)，若它在 ),( ts 點當(dāng) 0, ?kh 時，極限khtsRktsRthsRkthsRkh ??????????),(),(),(),(l i m00則稱 ),( tsR 在 ),( ts 處廣義二次可微，而此極限稱為 ),( tsR 在 ),( ts 處廣義二階導(dǎo)數(shù)首頁 二、均方可微準則 定理 1 證 設(shè) { )( tX , ),( ?????t } 為二階矩過程，則 )( tX , ),( ?????t 在 t 處均方可微的充要條件是其相關(guān)函數(shù) ),( tsR 在 ),( tt 處廣義二次可微。但要注意，上式左邊為普通函數(shù)的極限，而右邊表示均方收斂意義下的極限。 設(shè)隨機變量 { )( tX ， ),( ?????t } 為二階矩過程若對某一確定的 ),( ?????t ，有)()(0tXhtXh???0]))()([(l i m 20 ???? tXhtXEh)(tX一、均方連續(xù) 0]))([(l i m 200??? XtXEtt稱 在 時均方收斂于 )(tX0tt ? 0X首頁 二、均方連續(xù)準則 定理 1 則 證 充分性 設(shè)隨機變量 { )( tX ， ),( ?????t } 為二階矩過程),( tsR 為其相關(guān)函數(shù)，)( tX 在 ??t 處均方連續(xù) ? ),( tsR 在 ),( ?? 連續(xù)設(shè) ),( tsR 在 ),( ?? 連續(xù)則 ]))()([(l i m 20 ?? XhXEh ???),(),([l i m 0 ???? hRhhRh ????? ? )],(),( ???? RhR ???0?所以 )()(0 ?? XhXh ???l . i . m 首頁 再證必要性 又 由均方收斂性質(zhì) 2得 定理 2 證 設(shè) )( tX 在 ? 處均方連續(xù)，）（ )()((),( kXhXEkhR ????? ????),()()(),(l i m00?????? RXXEkhRkh??????）（即 ),( tsR 在 ),( ?? 連續(xù)。首頁 性質(zhì) 二階矩過程的協(xié)方差函數(shù)一定存在 證 )](),(c o v [),( 2121 tXtXttK ?)]}()()][()({[ 2211 tmtXtmtXE ???由許瓦茲不等式得 22211221 |)]}()()][()({[||),(| tmtXtmtXEttK ???})]()({[})]()({[ 222211 tmtXEtmtXE ???)]([)]([ 21 tXDtXD ??故 ???221 |),(| ttK即二階矩過程 的協(xié)方差函數(shù)存在 )(tX注 二階矩過程的相關(guān)函數(shù) ),( 21 ttR 也一定存在。0X )(tX且 )]([)( tXEtm X ? ][ 0 VtXE ?? 0][][ 0 ??? VtEXE)]()([),( 2121 tXtXEttK ? )])([( 2020 VtXVtXE ???][][ 22120 VEttXE ?? 211 tt??令 ttt ?? 21 ，得)( tD X 21 t??故 )( tX 為二階矩過程。 nX三、均方收斂性質(zhì) 性質(zhì) 1 若 則 0])[(lim 2 ?????? mnmnXXE )(l i m mnmnXXE????XX n ?)(][l i m XEXE nn???)nXE ( l . i . m?證 由許瓦茲不等式得 ?? 2|)()(| XEXE n 2|)(| XXE n ?2|| XXE n ??因 故得證 0])([l i m 2 ???? XXE nn注 當(dāng) 均方收斂于 X時， 的期望收斂于 X的期望 nX nX首頁 性質(zhì) 2 若 則 證 由許瓦茲不等式得 XX n ? YY n ?)(][l i m XYEYXE mnmn?????)nn YXE ( ??|)(||)()(| XYYXEXYEYXE mnmn ???|)])(()()([| YYXXYXXYYXE mnnm ???????|])[(||)]([| YXXEYYXE nm ???? |)])([(| YYXXE mn ???2122 ]})()({ YYEXEm ?? 212 )}(])[({ YEXXEn ??2122 ]})[(])[({ YYEXXEmn ???因 0])([l i m 2 ???? XXE nn 0])([l i m 2 ???? YYE nn故得證 首頁 性質(zhì) 3 若 則對任意常數(shù) a、 b都有 證 因為 XX n ? YY n ?故得證 bYaXbYaX nn ??? )(l . i . m2)]([ bYaXbYaXE nn ???2)]()([ YYbXXaE nn ????])[(2])[(2 2222 YYEbXXEa nn ???? 0?? ?? ??n首頁 性質(zhì) 4 若 則 注 因 XX n ? YX n ?l . i . m= YX ?若 1)( ?? YXP ，則稱 X 與 Y 相等證 ][][2][])[( 222 YEYXEXEYXE nnn ????XX n ?])[( 2YXE ?YX n ?l . i . m0][][2][ 222 ??? YEYEYE于是 1)( ?? YXP即 YX ?返回 首頁 第三節(jié) 均方連續(xù)性 均方收斂 定義 1 即 則稱 在點 t均方連續(xù)。首頁 定理 3 則 證 由均方連續(xù)定義 若二階矩過程 { )( tX , Tt ? } 是均方連續(xù)的，)]([)]([l i m 0 tXEhtXEh ???0]))()([(l i m 20 ???? tXhtXEh從而 )]([l i m 0 htXEh ?? )]([)(0 tXEhtXhE ???? ）（ l . i . m說明 在均方連續(xù)的條件下，均值運算與極限運算的次序可以互換。注 此例說明均方連續(xù)的隨機過程，其樣本曲線不一定是連續(xù)的。設(shè) )( tX 均方可微， ),( tsR 為其相關(guān)函數(shù)，則)]()([),( tXsXEtsRs ????)]()([),( tXsXEtsRt ????)]()([),(),(22tXsXEtsRsttsRts ????????? ?證 1 首頁 其它類似可證 性質(zhì) 5 )]()([ tXsXE ? ?0??hE l . i . m ?)()()( tXh sXhsX ???Eh 0lim?? ? ?)()()( tXh sXhsX ???0l i m??h htsRthsR ),(),( ??),( tsRs???若 XtX ?? )( ， YtX ?? )( ，則 YX ?首頁 四 1． 證 )()( tYtX ?? 的均值、相關(guān)函數(shù)與 )( tX 的關(guān)系均方導(dǎo)數(shù) )()( tXtY ?? 的均值 )( tm Y)]([)]([ tXEdtdtXE ??)( tm Y )]([ tXE ???0??hE l . i . m ?h tXhtX )()( ??Eh 0lim?? ? ?h tXhtX )()( ??0l i m??h htXEhtXE )]([)]([ ??)]([ tXEdtd?注 均方導(dǎo)數(shù) 的均值等于均值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 例 1 證明 求導(dǎo)數(shù)過程 )()( tXtY ?? 的相關(guān)函數(shù)，只需對)(tX設(shè) AttX s i n)( ? ，其中 A 是隨機變量，??][ 4AE 則 AtAtX c o s)( ???????????????? ??? 2c o ss i n)(s i n AtAhAthtAE?????????????? ???? 2)( s i nc o s)1( c o ss i nhAhAhAtAhAtE?????? ??222 )1(c oss i n2hAhAtE ?????? ??222 )(s i nc os2hAhAhAtE][4 42 AEh? 0? ( 0?h )21c o s ?? ??2s in ??? ??返回 首頁 第五節(jié) 均方積分 一、均方黎曼可積 定義 1 設(shè) { )( tX ， Tt ? } 為二階矩過程， ],[ baT ? ， 分割 ],[ baT ?btttta n ?????? ?210)(m a x 11 ??? ??? kknkn tt作和式 ))(( 11???? ? kkknkn ttuXYkkk tut ???