【正文】 r 11 ? ， j=1， 2， ?， s， ? i = ????i ， i=1， 2， ?， r， ? j = ????j ， j=1， 2， ?， s， 易見 ?? ?ri i1 0?， ?? ?sj j1 0?. 稱 ? 為總平均，稱 ? i 為水平 Ai 的效應(yīng)， 稱 ? j 為水平 Bj的效應(yīng) . 且 ? ij =? +? i +? j . 于是上述模型進一步 可寫成 ?????????????????? ?? ?risjjiijijijijjiijNsjriX1 122.0,0,),0(~),2,1,2,1(,???????????相互獨立，未知，各?? 檢驗假設(shè)： ??? ???? .,: ,0: 211 210 不全為零rA rAHH ??? ??? ? ? ??? ???? .,: ,0: 211 210 不全為零sB sBHH ??? ??? ? ? 若 AH0 （或 BH0 ）成立，則認為因素 )( BA或 的影響不顯著，否則影響顯著。rjjjAH ??? ,: 211 ? 不全相等。4,3,2,1, ??? (在本例中 , 2,3,3,2 4321 ???? mmmm ). 由于商店間的差異已被控制在最小的范圍內(nèi) , 因此一種包裝在不同商店里的銷售量被看作為一種包裝的若干次重復(fù)觀察 , 所以可以把一種包裝看作一個總體 . 為比較四種包裝的銷售量是否相同 , 相當(dāng)于要比較的四個 總體的均值是否一致 . 簡化起見 ,需要給出若干假定 ,把所要回答的問題歸結(jié)為下個統(tǒng)計問題 , 然后設(shè)法解決它 . 例 3 (講義例 3) 在例 1 中 ， 檢驗假設(shè)（ ?? ） 32113210 ,:,: ?????? HH ?? 不全相等 . 例 4 (講義例 4) 在例 2 中 ， 檢驗假設(shè)（ ?? ） 4321143210 ,:,: ???????? HH ??? 不全相等 . 第二節(jié) 雙因素試驗的方差分析 在許多實際問題中，往往要同時考慮兩個因素對試驗指標的影響 . 例如，要同時考慮工人的技術(shù)和機器對產(chǎn)品質(zhì)量是否有顯著影響 . 這里涉及到工人的技術(shù)和機器這樣兩個因素 . 多因素方差分析與單因素方差分析的基本思想是一致的，不同之處就在于各因素不但對試驗指標起作用，而且各因素不同水平的搭配也對試驗指標起作用 . 統(tǒng)計學(xué)上把多因素不同水平的搭配對試驗指標的影響稱為交互作用 . 交互作用的效應(yīng)只有在有重復(fù)的試驗中才能分析出來 . 對于雙因素試驗的方差分析，我們分為無重復(fù)和等重復(fù)試驗兩種情況來討論 . 對無重復(fù)試驗只需要檢驗兩 個因素對試驗結(jié)果有無顯著影響；而對等重復(fù)試驗還要考察兩個因素的交互作用對試驗結(jié)果有無顯著影響 . 內(nèi)容分布圖示 ★ 引言 ★ 無重復(fù)試驗雙因素方差分析 ★ 例 1 ★ 例 2 等重復(fù)試驗雙因素方差分析 ★ 數(shù)學(xué)模型 ★ 數(shù)學(xué)模型的改進 ★ 偏差平方和及其分解 ★ 偏差平方和的統(tǒng)計特征 ★ 檢驗方法 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 習(xí)題 82 ★ 返回 內(nèi)容要點： 一、 無 重復(fù)試驗雙因素方差分析 設(shè)因素 A， B 作用于試驗指標。若 0H不成立，則在總偏差中，除隨機因素引起的差異外，還包括由因素 A 的不同水平的作用而產(chǎn)生的差異，如果不同水平作用產(chǎn) 生的差異比隨機因素引起的差異大的多，就認為因素 A 對指標有顯著影響，否則，認為無顯著影響 . 為此，可將總偏差中的這兩種差異分開，然后進行比較。因素所處的狀態(tài)，稱為該因素的水平 . 如果在一項試驗中只有一個因素在改變，則稱為單因素試驗；如果多于一個因素在改變，則稱為多因素試驗 . 為方便起見，今后用大 寫字母 , CBA 等表示因素，用大寫字母加下標表示該因素的水平，如 ?, 21 AA 等 . 二、假設(shè)前提 設(shè)單因素 A 具有 r 個水平，分別記為 , 21 rAAA ? 在每個水平 ),2,1( riAi ?? 下，要考察的指標可以看成一個總體，故有 r 個總體，并假設(shè) : (1) 每個總體均服從正態(tài)分布 。例如，在工業(yè)生產(chǎn)中，產(chǎn)品的質(zhì)量往往受到原材料、設(shè)備、技術(shù)及員工素質(zhì)等因素的影響；又如，在工作中，影響個人收入的因素也是多方面的，除了學(xué)歷、專業(yè)、工作時間、性別等方面外，還受到個人能力、經(jīng)歷及機遇等偶然因素的影響 . 雖然在這眾多因素中，每一個因素的改變都可能影響最終的結(jié)果，但有些因素影響較大，有些因素影響較小 . 故在實際問題中，就有必要找出對事件最終結(jié)果有顯著影響的那些因素 . 方差分 析就是根據(jù)試驗的結(jié)果進行分析，通過建立數(shù)學(xué)模型，鑒別各個因素影響效應(yīng)的一種有效方法 . 內(nèi)容分布圖示 ★ 引言 ★ 基本概念 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 假設(shè)前提 ★ 方差分析的任務(wù) ★ 偏差平方和及其分解 ★ ES 和 AS 的統(tǒng)計特性 ★ 檢驗方法 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 習(xí)題 81 ★ 返回 內(nèi)容要點： 一、基本概念 在方差分析中，我們將要考察的對象的某種特征稱為試驗指標 . 影響試驗指標的條件稱為因素 . 因素可分為兩類，一類是人們可以控制的（如上例的原材料、設(shè)備、學(xué)歷、專業(yè)等因素）；另一類人們無法控制的（如上例中員工素質(zhì)與機遇等因素） . 今后，我們所討論的因素都是指可控制因素。 2) 作出未知參數(shù) r??? , 21 ? , 2? 的估計 . 為了更仔細地描述數(shù)據(jù)，常在方差分析中引入 總平均 和效應(yīng)的概念 . 稱各均值的加權(quán)平均 ,1 1??? ri iinn ?? 為總平均 . 其中 n= .1??ri in 再引入 ,??? ?? ii ,2,1 ri ?? i? 表示在水平 iA 下總體的均值 i? 與總平均 ? 的差異，稱其為因子 A 的第 i 個水平 i? 的效應(yīng) . 易見，效應(yīng)間有如下關(guān)系式： ,0)(11 ??? ?? ?? ri iiri ii nn ??? 利用上述記號，前述數(shù)學(xué)模型可改寫為 ???????????????未知和相互獨立各個 2i21,),0(~0,2,1,2,1,?????????ijijriiirijiijNnnjriX ?? （ 2） 而前述檢驗假設(shè)則等價于 : .,: .: 211 210 不全為零r rHH ??? ??? ? ?? ??? 三、偏差平方和及其分解 為了使造成各 ijX 之間的差異的大小能定量表示出來，我們先引入 : 記在水平 i? 下數(shù)據(jù)和記為 : ???inj iji XX 1.，其樣本均值為 .iX = ,11??inj iji Xn因素 A下的所 有水平的樣本總均值為 X = ??? ?rinj iji Xn 1 11= ??ri iXr 1 .1 , 為了通過分析對比產(chǎn)生樣本 ijX , ri ,2,1 ?? ， kj ,2,1 ?? 之間差異性的原因，從而確定因素 A 的影響是否顯著，我們引入偏差平方和來度量各個體間的差異程度 : ?TS ??? ? ?rinj iji XX1 12)( （ 3） TS 能反映全部試驗數(shù)據(jù)之間的差異，又稱為總偏差平方和 . 如果 0H 成立，則 r 個總體間無顯著差異，也就是說因素 A 對指標沒有顯著影響，所有的 ijX 可以認為來自同一個總體 ),( 2??N ，各個 ijX 間的差異只是由隨機因素引起的。 2) 若 F aF ),1( rnr ?? 時，則 接受 0H ，表示因素 A 的各水平下的效應(yīng)無顯著差異 . 實際分析中，常采用如下簡便算法和記號： ??iT ??inj ijX1， ,2,1 ri ?? ?T ??? ?rinj iji X1 1= .1??ri iX TS =??? ?rinj iji X1 12 nT2? , AS =??ri iinT12. nT2? , ES = AT SS ? 為表達的方便和直觀，將上面的分析過程和結(jié)果制成一個表格，稱這個表為單因素方差分析表： 表 81B 單因素方差分析表 111????????nSTrnSMSrnSEMSMSFrSMSrSAFTEEEEAAAA總和誤差因素值均方和自由度平方和方差來源 例題選講： 例 1 (講義例 1) 設(shè)有三臺機器 , 用來生 產(chǎn)規(guī)格相同的鋁合金薄板 .取樣 , 測量薄板的厚度精確至千分之一厘米 . 得結(jié)果如下表所示 . 表 81A 鋁合金板的厚度 機器 Ⅰ 機器 Ⅱ 機器 Ⅲ 這里 , 試驗的指標是薄板的厚度， 機器為因素 , 不同的三臺機器就是這個因素的三個不同的水平 . 如果假定除機器這一因素外 , 材料的規(guī)格、操作人員的水平等其它條件都相同，這就是單因素 試驗 . 試驗的目的是為了考察各臺機器所生產(chǎn)的薄板的厚度有無顯著的差異 , 即考察機器這一因素對厚度有無顯著的影響 . 如果厚度有顯著差異 , 就表明機器這一因素對厚度的影響是顯著的 . 例 2 (講義例 2) 某食品公司對一種食品設(shè)計了四種新包裝 . 為了考察哪種包裝最受歡迎 , 選了十個有近似相同銷售量的商店作試驗 , 其中兩種包裝各指定兩個商店銷售 , 另兩種包裝各指定三個商店銷售 . 在試驗期中各商店的貨架排放位置、空間都盡量一致 , 營業(yè)員的促銷方法也基本相同 . 觀察在一定時期的銷售量 , 數(shù)據(jù)如表 所示 : 表 銷售量 包裝 商店 商店數(shù) in 1 2 3 1A 12 18 2 2A 14 12 13 3 3A 19 17 21 3 3A 24 30 2 在本例中 , 我們要比較的是四種包裝的銷售量是否一致 , 為此把包裝類型看成是一個因子 , 記為因子 A, 它有四種不同的包裝 , 就看成是 因子 A的四個水平 , 記為 4321 , AAAA .一般將第 i 種包裝在第 j 個商店的銷售量記為 iij mjix ,2,1。,1 sjri ?? ?? 那么，要比較同一因素的各個總體的均值是否一致，就是要檢驗各個總體的均值是否相等，故 檢驗假設(shè)為： 因 素 B 試 驗 結(jié) 果 因 素 A jrjjjAH ????? ???? ?210 : ,1 sj ? ????? iisiiBH ???? ?210 : .,1 ri ?? 備擇假設(shè)為 不全相等。