福建省20xx屆高中畢業(yè)班數(shù)學學科二輪備考關(guān)鍵問題指導系列六(解析幾何典例剖析及資源推送)-全文預覽
【正文】 線的方程；（2）當斜率不存在時,帶入檢驗是否成立；當斜率存在時,設出直線方程,聯(lián)立拋物線,解方程即可求得的值.【詳解】（1）根據(jù)拋物線的定義,知動點的軌跡是以為焦點,以為準線的拋物線，所以動點的軌跡方程為：.（2）①當?shù)男甭什淮嬖跁r,可知,不符合條件②當?shù)男甭蚀嬖谇也粸?時,設：,則聯(lián)立可得,設,則,.因為向量,方向相反,所以，所以,即，所以直線的方程為或.22．【答題分析】（1）由題意可得點P的軌跡C是以M、N為焦點的橢圓，求出半長軸及半焦距的長度，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），G（m，0）（﹣2＜m＜2），直線l：y＝k（x﹣m），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得A，B的橫坐標與縱坐標的和與積，再由ω＝|GA|2+|GB|2是與m無關(guān)的定值求得k，進一步得到該定值．【詳解】（1）由題設得：|PM|+|PN|＝4，∴點P的軌跡C是以M、N為焦點的橢圓，∵2a＝4，2c＝2，∴，∴橢圓方程為；（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），G（m，0）（﹣2＜m＜2），直線l：y＝k（x﹣m），由得（3+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12＝0，∴．．∴．∵ω＝|GA|2+|GB|2的值與m無關(guān)，∴4k2﹣3＝0，解得．此時ω＝|GA|2+|GB|2＝7．23．【答題分析】（1）由已知得到a、b、c的方程組，解出a、b、c，即可求出的方程；（2）設的方程為，設定點，聯(lián)立方程組，用“設而不求法”表示出為常數(shù)，求出t，即可求出定點坐標及此常數(shù)的值.【詳解】（1）由題意，解得，．∴的方程為；（2）設的方程為，設定點，聯(lián)立得．∴，且，解得且．設，∴，∴，．∴為常數(shù)，與無關(guān)，∴，即，此時．∴在軸上存在定點，使得為常數(shù)．。3．【答題分析】根據(jù)可知，轉(zhuǎn)化成關(guān)于，的關(guān)系式，再根據(jù)，和的關(guān)系進而求得和的關(guān)系，則橢圓的離心率可得．【詳解】據(jù)題意，即，同除得，即，（舍）.4．【答題分析】這個方程相信讀者一定可以化簡出最終結(jié)論（無非就是移項平方去根號），但如果考慮到方程中各式子的幾何意義，更快獲得結(jié)果，此方程表示點與到點的距離與到點的距離之差為8，而這正好符合雙曲線的定義，點的軌跡是雙曲線的右支。利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進行化簡、變形即可求得。【例5】（2021年全國八省聯(lián)考）雙曲線的左頂點為，右焦點為，動點在上．當時，．（1）求的離心率；（2）若在第一象限，證明：．解析（1）設雙曲線的半焦距為，則，因為，故，故，即，故.（2）設，其中.因為，故，故漸近線方程為：，所以，當時，又，所以，因為，故.當，由（1）可得，故.綜上，.【評析】本題以雙曲線方程與性質(zhì)和雙曲線與直線的位置關(guān)系為載體，證明角度倍關(guān)系問題，考查運算求解能力、推理論證能力，考查理性思維和數(shù)學探索，對學生分析問題和解決問題提出了較高的要求，解題關(guān)鍵（1）圓錐曲線中離心率的計算，關(guān)鍵是找到一組等量關(guān)系（齊次式）.（2）圓錐曲線中與有角有關(guān)的計算，注意通過動點的坐標來刻畫角的大小，則，再計算，利用點在雙曲線上化簡后可得，從而可得結(jié)論成立. 在解答題注意嚴謹性不丟分，如垂直于軸的討論，角度范圍的限制等。事實上本題猜測與發(fā)現(xiàn)定點在軸上，對運算過程的調(diào)控尤為重要。（四）定點問題【例6】（2017福建省質(zhì)檢）已知點，直線，直線垂直于點，線段的垂直平分線交于點．（1）求點的軌跡的方程；（2）已知點，過且與軸不垂直的直線交于兩點，直線分別交于點，求證：以為直徑的圓必過定點．【解析】（1）依題意得，即到直線的距離與到點的距離相等，所以點的軌跡是以為焦點， 為準線的拋物線．設拋物線方程為，則，即點的軌跡的方程是． （2）由題意可設直線，代入，得，設，則；又，設直線的斜率分別為，則，設，令，得；同理，得，從而；．又以為直徑的圓的方程為： ，即，即，令解得或，從而以為直徑的圓恒過定點和．【評析】該類問題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等知識交匯，形成了過定點、定值等問題的證明．難度較大．定點、定值問題是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個點、一個值，就是要求的定點、定值．化解這類問題難點的關(guān)鍵就是引進
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