【正文】 千米【例 33】 上午8點(diǎn)整，甲從地出發(fā)勻速去地，8點(diǎn)20分甲與從地出發(fā)勻速去地的乙相遇；相遇后甲將速度提高到原來的3倍，乙速度不變；8點(diǎn)30分，甲、乙兩人同時(shí)到達(dá)各自的目的地．那么，乙從地出發(fā)時(shí)是8點(diǎn) 分．【考點(diǎn)】行程問題之變速問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】日本第12屆小學(xué)算術(shù)奧林匹克初賽【解析】 甲、乙相遇時(shí)甲走了20分鐘，之后甲的速度提高到原來的3倍，又走了10分鐘到達(dá)目的地，根據(jù)路程一定，時(shí)間比等于速度的反比，如果甲沒提速，那么后面的路甲需要走分鐘，所以前后兩段路程的比為，由于甲走20分鐘的路程乙要走10分鐘，所以甲走30分鐘的路程乙要走15分鐘，也就是說與甲相遇時(shí)乙已出發(fā)了15分鐘，所以乙從地出發(fā)時(shí)是8點(diǎn)5分．【答案】5【例 34】 甲、乙往返于相距米的，兩地．甲先從地出發(fā)，分鐘后乙也從地出發(fā)，并在距 地米的地追上甲．乙到地后立即原速向地返回，甲到地休息分鐘后加快速度向地返回，并在地追上乙．問：甲比乙提前多少分鐘回到地？【考點(diǎn)】行程問題之變速問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 由于甲比乙早出發(fā)6分鐘，乙在走了600米時(shí)追上甲，可見乙走600米比甲要少用6分鐘，那么對(duì)于剩下的米，乙比甲要少用(分鐘)，也就是說乙比甲早4分鐘到達(dá)地．那么乙從地出發(fā)比甲早(分鐘)，走到地被甲追上，相當(dāng)于甲走400米比乙少用5分鐘，那么對(duì)于剩下的600米，甲比乙要少用(分鐘)．所以甲比乙提前分鐘回到地．【答案】分鐘【例 35】 汽車從甲地到乙地，先行上坡，后行下坡，共用小時(shí)。跑道右半部分(粗線部分）道路比較泥濘，所以兩人的速度都將減慢，在正常的跑道上甲、乙速度均為每秒米，而在泥濘道路上兩人的速度均為每秒米?！究键c(diǎn)】行程問題之變速問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試【解析】 (1) 第二天跑步2000米，散步800米，共用20分鐘，那么跑步4000米，散步1600米，共用40分鐘，又已知跑步1000米，散步1600米，共用25分鐘，所以王老師跑步40001000=3000(米)，用時(shí)4025=15(分鐘)，即王老師跑步的速度為3000247。3+1247。出發(fā)2小時(shí)后，小轎車與大貨車第一次相遇，當(dāng)大貨車到達(dá)乙地時(shí)，小轎車剛好走到甲、乙兩地的中點(diǎn)。 甲一共走了 1+1/2=（小時(shí)） 【答案】【例 9】 小華以每小時(shí)8/3千米的速度登山，走到途中 A點(diǎn)后，他將速度改為每小時(shí) 2千米，在接下來的1小時(shí)中，他走到山頂，又立即下山，并走到 A點(diǎn)上方 500米的地方．如果他下山的速度是每小時(shí) 4千米，下山比上山少用了 ．那么，他往返共走了多少千米？【考點(diǎn)】行程問題之變速問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 11千米【答案】11千米【例 10】 甲、乙兩車從 A、 B 兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，5 小時(shí)相遇；如果乙車提前 1 小時(shí)出發(fā)，則差 13千米到中點(diǎn)時(shí)與甲車相遇，如果甲車提前 1 小時(shí)出發(fā)，則過中點(diǎn) 37 千米后與乙車相遇，那么甲車與乙車的速度差等于多少千米/小時(shí)？【考點(diǎn)】行程問題之變速問題 【難度】4星 【題型】解答【解析】 第一次行程甲、乙兩車同時(shí)出發(fā)，所以兩車走的時(shí)間相同；第二次乙車提前 1 小時(shí)出發(fā)，所以這次乙車比甲車多走了 1 小時(shí)；第三次甲車提前 1 小時(shí)出發(fā)，所以這次甲車比乙車多走了 1 小時(shí)．那么如果把第二次和第三次這兩次行程相加，那么甲車和乙車所走的時(shí)間就相同了，而所走的路程為 2 個(gè)全程．由于兩人合走一個(gè)全程要 5 小時(shí)，所以合走兩個(gè)全程要 10 小時(shí)．由于第二次在乙車在差 13 千米到中點(diǎn)與甲車相遇，所以此次甲車走了全程的一半加上 13 千米；第三次在過中點(diǎn) 37 千米后與乙車相遇，所以此次甲車走了全程的一半加上 37 千米；這兩次合起來甲車走了一個(gè)全程加上13 ＋37 =50千米，所以乙車走了一個(gè)全程少 50 千米，甲車比乙車多走50 2 =100千米．而這是在 10 小時(shí)內(nèi)完成的，所以甲車與乙車的速度差為100 247。1/7=35/3(小時(shí))，所以，原計(jì)劃的速度為：84(千米/時(shí))，北京、上海兩市間的路程為：84 15= 1260(千米)．【答案】1260千米【例 8】 甲、乙兩人同時(shí)從山腳開始爬山，到達(dá)山頂后就立即下山，他們兩人的下山速度都是各自上山速度的 倍，而且甲比乙速度快。 =14千米/時(shí)．所以 A、 B 兩地的距離為 （10 ＋14） 3 =72千米．【答案】72千米【例 6】 一列火車出發(fā) 1 小時(shí)后因故停車 小時(shí)，然后以原速的3/4前進(jìn)， 小時(shí)．若出發(fā) 1 小時(shí)后又前進(jìn) 90 公里再因故停車 小時(shí)，然后同樣以原速的3/4前進(jìn)，則到達(dá)目的地僅晚1 小時(shí)，那么整個(gè)路程為多少公里？【考點(diǎn)】行程問題之變速問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 出發(fā) 1 小時(shí)后因故停車 小時(shí)，然后以原速的前進(jìn)， 小時(shí)，所以后面以原速的前進(jìn)的時(shí)間比原定時(shí)間多用小時(shí)，而速度為原來的，所用時(shí)間為原來的，所以后面的一段路程原定時(shí)間為小時(shí)，原定全程為 4 小時(shí)；出發(fā) 1 小時(shí)后又前進(jìn) 90 公里再因故停車 小時(shí)，然后同樣以原速的前進(jìn)，則到達(dá)目的地僅晚1 小時(shí)，類似分析可知又前進(jìn) 90 公里后的那段路程原定時(shí)間為小時(shí)．所以原速度行駛 90 小時(shí)，而原定全程為 4 小時(shí)，所以整個(gè)路程為 公里．【答案】公里【例 7】 王叔叔開車從北京到上海，從開始出發(fā)，車速即比原計(jì)劃的速度提高了1/9，結(jié)果提前一個(gè)半小時(shí)到達(dá)；返回時(shí)，按原計(jì)劃的速度行駛 280 千米后，將車速提高1/6，于是提前1 小時(shí) 40 分到達(dá)北京．北京、上海兩市間的路程是多少千米？【考點(diǎn)】行程問題之變速問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 從開始出發(fā)，車速即比原計(jì)劃的速度提高了1/9，即車速為原計(jì)劃的10/9，則所用時(shí)間為原計(jì)劃的1247。 (4+3)247。如果甲速度不變，乙每小時(shí)多行 4 千米，且甲、乙還從 A、B 兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇點(diǎn) D 距 C 點(diǎn) lO 千米；如果乙速度不變，甲每小時(shí)多行 3 千米，且甲、乙還從 A、B 兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇點(diǎn) E距 C 點(diǎn) 5 千米。DE＝12＋16＝28（千米）。以甲為研究對(duì)象，甲以原速V 跑了 24 秒的路程與以（V +2 ）跑了 24 秒的路程之和等于 400米，24V +24（V +2 ）=400 易得V = 米/秒 【答案】米/秒【例 3】 A、 B 兩地相距 7200 米，甲、乙分別從 A， B 兩地同時(shí)出發(fā)，結(jié)果在距 B 地 2400 米處相遇．如果乙的速度提高到原來的 3倍，那么兩人可提前10分鐘相遇，則甲的速度是每分鐘行多少米？【考點(diǎn)】行程問題之變速問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 第一種情況中相遇時(shí)乙走了 2400 米，根據(jù)時(shí)間一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比為 (7200 －2400) : 2400 =2 :1，所以第一情況中相遇時(shí)甲走了全程的2/3．乙的速度提高 3倍后，兩人速度比為 2 : 3，根據(jù)時(shí)間一定，路程比等于速度之比，所以第二種情況中相遇時(shí)甲走了全程的．兩種情況相比，甲的速度沒有變化，只是第二種情況比第一種情況少走 10 分鐘，所以甲的速度為 (米/分)．【答案】 米/分【例 4】 甲、乙兩車分別從 A， B 兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，6 小時(shí)后相遇在 C 點(diǎn)．如果甲車速度不變，乙車每小時(shí)多行 5 千米，且兩車還從 A， B 兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距 C 點(diǎn) 12 千米；如果乙車速度不變，甲車速度每小時(shí)多行 5 千米，則相遇地點(diǎn)距 C 點(diǎn) 16 千米．甲車原來每小時(shí)行多少千米？【考點(diǎn)】行程問題之變速問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 設(shè)乙增加速度后，兩車在 D 處相遇，所用時(shí)間為 T 小時(shí)。（9070）=14 分鐘 可知小強(qiáng)第二次走了 14分鐘，他第一次走了 14＋4=18 分鐘； 兩人家的距離：（52+70）18=2196（米）.【答案】2196米【例 2】 甲、乙兩人沿 400 米環(huán)形跑道練習(xí)跑步，兩人同時(shí)從跑道的同一地點(diǎn)向相反方向跑去。小紅每分走 52 米，小強(qiáng)每分走 70 米，二人在途中的 A 處相遇。變速問題教學(xué)目標(biāo) 能夠利用以前學(xué)習(xí)的知識(shí)理清變速變道問題的關(guān)鍵點(diǎn) 能夠利用線段圖、算術(shù)、方程方法解決變速變道等綜合行程題。算術(shù)方法對(duì)于運(yùn)動(dòng)過程的把握非常細(xì)致，但必須一步一步來；折線圖則顯得非常直觀，每一次相遇點(diǎn)的位置也易于確定；方程的優(yōu)點(diǎn)在于無需考慮得非常仔細(xì)，只需要知道變速點(diǎn)就可以列出等量關(guān)系式，把大量的推理過程轉(zhuǎn)化成了計(jì)算．行程問題常用的解題方法有⑴公式法即根據(jù)常用的行程問題的公式進(jìn)行求解，這種方法看似簡單，其實(shí)也有很多技巧，使用公式不僅包括公式的原形，也包括公式的各種變形形式；有時(shí)條件不是直接給出的，這就需要對(duì)公式非常熟悉，可以推知需要的條件；⑵圖示法在一些復(fù)雜的行程問題中，為了明確過程，常用示意圖作為輔助工具．示意圖包括線段圖和折線圖．圖示法即畫出行程的大概過程，重點(diǎn)在折返、相遇、追及的地點(diǎn)．另外在多次相遇、追及問題中，畫圖分析往往也是最有效的解題方法；⑶比例法行程問題中有很多比例關(guān)系，在只知道和差、比例時(shí)，用比例法可求得具體數(shù)值．更重要的是，在一些較復(fù)雜的題目中，有些條件(如路程、速度、時(shí)間等)往往是不確定的，在沒有具體數(shù)值的情況下，只能用比例解題；⑷分段法在非勻速即分段變速的行程問題中，公式不能直接適用．這時(shí)通常把不勻速的運(yùn)動(dòng)分為勻速的幾段，在每一段中用勻速問題的方法去分析，然后再把結(jié)果結(jié)合起來；⑸方程法在關(guān)系復(fù)雜、條件分散的題目中，直接用公式或比例都很難求解時(shí)，設(shè)條件關(guān)系最多的未知量為未知數(shù)，抓住重要的等量關(guān)系列方程常?？梢皂樌蠼猓纠?1】 小紅和小強(qiáng)同時(shí)從家里出發(fā)相向而行。（704）247。【考點(diǎn)】行程問題之變速問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 因?yàn)橄嘤銮昂蠹?，乙的速度和沒有改變，如果相遇后兩人和跑一圈用 24 秒，則相遇前兩人和跑一圈也用 24 秒。于是，甲、乙不增加速度時(shí)，經(jīng) T 小時(shí)分別到達(dá) D、E。＝30（千米） 【答案】30千米【鞏固】 甲、乙二人分別從 A、B 兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，5 小時(shí)后相遇在 C 點(diǎn)。 同理可得，甲每小時(shí)多行 3 千米時(shí)，乙走 5 千米的時(shí)間甲可以走 10 千米，即甲的速度是乙的 2 倍。= 10千米/時(shí)．在第三種情況中，甲速度不變，所以甲到橋上的時(shí)間還是 3 小時(shí)，他延遲了 小時(shí)，那么乙到橋上的時(shí)間是 3＋ =．乙每小時(shí)少走 2 千米， 2 =7千米，這 7 千米就是甲原來 －3= ，所以乙的速度就是 7 247。7/6=6/7，即此后比原計(jì)劃少用1/7的時(shí)間，所以1 小時(shí) 40 分等于按原計(jì)劃的速度行駛 280 千米后余下時(shí)間的1/7，則按原計(jì)劃的速度行駛 280 千米后余下的時(shí)間為：5/3247。 兩人相遇時(shí)走了 1 小時(shí)，這時(shí)甲還要走一段下山路，這段下山路乙上山用了 1 小時(shí)，所以甲下山要用1/2 小時(shí)。從王剛家到學(xué)校有多少千米？【考點(diǎn)】行程問題之變速問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 途中有2千米在修路，導(dǎo)致了王剛上學(xué)時(shí)間比平時(shí)多用分鐘，由于在別的路段上還是騎車，所以多用的時(shí)間都是耗費(fèi)在修路的2千米上．由于步行速度是汽車速度的，所以步行2千米所用的時(shí)間是騎車2千米所用時(shí)間的3倍，多用了2倍，這個(gè)多出來的時(shí)間就是16分鐘，所以騎車2千米需要分鐘．由于8分鐘可以騎2千米，而王剛平時(shí)騎車20分鐘可以到學(xué)校，所以王剛家與學(xué)校的距離為千米．【答案】千米【例 14】 甲、乙兩車分別從、兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行．出發(fā)時(shí)，甲，乙的速度之比是，相遇后甲的速度減少，乙的速度增加．這樣當(dāng)甲到達(dá)地時(shí)，乙離開地還有千米．那么、兩地相距多少千米？【考點(diǎn)】行程問題之變速問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 出發(fā)時(shí)，兩車的速度之比為，所以相遇以后兩輛車的速度之比為，而相遇前甲、乙兩車的行程路程之比為，所以相遇后兩輛車還需要行駛的路程之比為，所以甲還需要行駛?cè)柯烦痰?，?dāng)甲行駛這段路程的同時(shí)，乙行駛了全程的，距離地還有，所以、兩地相距千米．【答案】千米【例 15】 甲、乙往返于相距米的，兩地．甲先從地出發(fā)，分鐘后乙也從地出發(fā)，并在距 地米的地追上甲．乙到地后立即原速向地返回，甲到地休息分鐘后加快速度向地返回，并在地追上乙．問：甲比乙提前多少分鐘回到地？【考點(diǎn)】行程問題之變速問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 由于甲比乙早出發(fā)6分鐘，乙在走了600米時(shí)追上甲，可見乙走600米比甲要少用6分鐘，那么對(duì)于剩下的米，乙比甲要少用(分鐘)，也就是說乙比甲早4分鐘到達(dá)地．那么乙從地出發(fā)比甲早(分鐘)，走到地被甲追上，相當(dāng)于甲走400米比乙少用5分鐘，那么對(duì)于剩下的600米，甲比乙要少用(分鐘)．所以甲比乙提前分鐘回到地．【答案】分鐘【例 16】 一輛大貨車與一輛小轎車同時(shí)從甲地開往乙地，小轎車到達(dá)乙地后立即返回，返回時(shí)速度提高。（1247。求：(1)王老師跑步的速度； (2)王老師散步800米所用的時(shí)間。那么，乙跑完全程所用的時(shí)間是多少分鐘？【考點(diǎn)】行程問題之變速問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】祖沖之杯，小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽【解析】 本題中乙的速度始終保持不變，甲則有提速的情況，但是甲提速后速度就保持不變，所以可以從甲提速后的情況著手進(jìn)行考慮．根據(jù)題意可知，甲加速后，每過（分鐘）比乙多跑一圈，即每分鐘比乙多跑（米）．由于第18分鐘時(shí)甲、乙處于同一位置，則在23分50秒時(shí)甲到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，乙距終點(diǎn)的距離就是此時(shí)甲、乙之間的距離，即乙距離終點(diǎn)還有（米），