【正文】 不同元素中取出個不同元素的組合數(shù)．記作．一般地，求從個不同元素中取出的個元素的排列數(shù)可分成以下兩步：第一步：從個不同元素中取出個元素組成一組，共有種方法；　　第二步：將每一個組合中的個元素進(jìn)行全排列，共有種排法．根據(jù)乘法原理，得到．因此，組合數(shù)．這個公式就是組合數(shù)公式．二、組合數(shù)的重要性質(zhì)一般地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：()這個公式的直觀意義是：表示從個元素中取出個元素組成一組的所有分組方法．表示從個元素中取出()個元素組成一組的所有分組方法．顯然，從個元素中選出個元素的分組方法恰是從個元素中選個元素剩下的()個元素的分組方法．例如，從人中選人開會的方法和從人中選出人不去開會的方法是一樣多的，即．規(guī)定，．例題精講對于某些有特殊要求的計數(shù)，當(dāng)限制條件較多時，可以先計算所有可能的情況，再從中排除掉那些不符合要求的情況．【例 1】 在的所有自然數(shù)中，百位數(shù)與個位數(shù)不相同的自然數(shù)有多少個？ 【考點】組合之排除法 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 先考慮100～1995這1896個數(shù)中，百位與個位相同的數(shù)有多少個，在三位數(shù)中，百位與個位可以是1～9，十位可以是0～9，由乘法原理，有個，四位數(shù)中，千位是1，百位和個位可以是0～9，十位可以是0～9，由乘法原理，個，但是要從中去掉1999，在100～1995中，百位與個位相同的數(shù)共有個，所以，百位數(shù)與個位數(shù)不相同的自然數(shù)有：個．【答案】【例 2】 1到1999的自然數(shù)中，有多少個與5678相加時，至少發(fā)生一次進(jìn)位？ 【考點】組合之排除法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 從問題的反面考慮：1到1999的自然數(shù)中，有多少個與5678相加時，不發(fā)生進(jìn)位？這樣的數(shù)，個位數(shù)字有2種可能(即0，1)，十位數(shù)字有3種可能(即0，1，2)，百位數(shù)字有4種可能(即0，1，2，3)，千位數(shù)字有2種可能(即0，1)．根據(jù)乘法原理，共有個．注意上面的計算中包括了0(0000)這個數(shù)，因此，1到1999的自然數(shù)中與5678相加時，不發(fā)生進(jìn)位的數(shù)有個所以，1到1999的自然數(shù)中與5678相加時，至少發(fā)生一次進(jìn)位的有個．【答案】【鞏固】 所有三位數(shù)中，與456相加產(chǎn)生進(jìn)位的數(shù)有多少個？ 【考點】組合之排除法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 與456相加產(chǎn)生進(jìn)位在個位、十位、百位都有可能，所以采用從所有三位數(shù)中減去與456相加不產(chǎn)生進(jìn)位的數(shù)的方法更來得方便，所有的三位數(shù)一共有個，其中與456相加不產(chǎn)生進(jìn)位的數(shù)，它的百位可能取5共5種可能，十位數(shù)可以取0、4共5種可能，個位數(shù)可以取0、3共4種可能，根據(jù)乘法原理，一共有個數(shù)，所以與456相加產(chǎn)生進(jìn)位的數(shù)一共有個數(shù)．【答案】【鞏固】從1到2004這2004個正整數(shù)中，共有幾個數(shù)與四位數(shù)8866相加時，至少發(fā)生一次進(jìn)位？ 【考點】組合之排除法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 千位數(shù)小于等于1，百位數(shù)小于等于1，十位數(shù)小于等于3，個位數(shù)小于等于3，應(yīng)該有種可以不進(jìn)位，那么其他個數(shù)都至少產(chǎn)生一次進(jìn)位．【答案】【例 3】 在三位數(shù)中，至少出現(xiàn)一個6的偶數(shù)有多少個？ 【考點】組合之排除法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 至少出現(xiàn)一個“6”，意思就是這個三位偶數(shù)中，可以有一個6，兩個6或三個6．我們可以把這三種情況下滿足條件的三位數(shù)的個數(shù)分別求出來，再加起來；也可以從所有的三位偶數(shù)中減去不滿足條件的，即減去不含6的三位偶數(shù)．三位偶數(shù)共有450個，我們先來計算不含6的偶數(shù)的個數(shù)，不含6的偶數(shù)，個位可以是0，2，4，8，十位上可以是除6以外的其余9個數(shù)字，百位可以是除6，0以外的8個數(shù)字，因此不含6的三位偶數(shù)共有個,則至少出現(xiàn)一個6的三位偶數(shù)有個．【答案】【例 4】 能被3整除且至少有一個數(shù)字是6的四位數(shù)有 個。【答案】【例 5】 由0，1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中，百位不是2的奇數(shù)有 個． 【考點】組合之排除法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 由0，1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的奇六位數(shù)，個位可以為1，3，5，有3種選法；個位選定后，十萬位不能與個位相同，且不能為0，有4種；十萬位選定后萬位有4種；……；故由0，1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的奇六位數(shù)的個數(shù)為：個；由0，1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字且百位為2的奇六位數(shù)，個位可以為1，3，5，有3種選法；十萬位不能與個位相同，且不能為0、2，有3種；十萬位選定后萬位有3種；……；故由0，1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字且百位為2的奇六位數(shù)的個數(shù)為：個；所以，滿足條件的數(shù)有：個．【答案】【例 6】 從三個0、四個1，五個2中挑選出五個數(shù)字，能組成多少個不同的五位數(shù)？ 【考點】組合之排除法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 由3個0，4個1，5個2組成五位數(shù)，首位上不能是0，只能是1或2，有2種選擇；后面4位上都可以是0、1或2，各有3種選擇，根據(jù)乘法原理，共有種選擇；但是注意，這樣算是在0和1的個數(shù)足夠多的情況下才能算，本題中可能會出現(xiàn)0和1的個數(shù)不夠的情況（2的個數(shù)肯定夠）．比如說，0只有3個，但是上面的算 法卻包括了后四位都是0的情況，這樣的數(shù)有兩個：10000和20000，得減掉；另外，1只有4個，卻包含了五位都是1的情況：11111，也得減去．所以實際上共有個．【答案】【例 7】 由數(shù)字1，2，3組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1，2，3至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有 個．【考點】組合之排除法 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級，初試，6題【解析】 這是一道組合計數(shù)問題．由于題目中僅要求1，2，3至少各出現(xiàn)一次，沒有確定1，2，3出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類枚舉的方法進(jìn)行統(tǒng)計，也可以從反面想，從由1，2，3組成的五位數(shù)中，去掉僅有1個或2個數(shù)字組成的五位數(shù)即可．方法一：分兩類 ⑴1，2，3中恰有一個數(shù)字出現(xiàn)3次，這樣的數(shù)有個； ⑵1，2，3中有兩個數(shù)字各出現(xiàn)2次，這樣的數(shù)有個； 綜上所述符合題意的五位數(shù)共有個．方法二：從反面想：由1，2，3組成的五位數(shù)共有個，由1，2，3中的某2個數(shù)字組成的五位數(shù)共有個，由1，2，3中的某1個數(shù)字組成的五位數(shù)共有3個，所以符合題意的五位數(shù)共有個．【答案】個【例 8】 個人圍成一圈，從中選出兩個不相鄰的人，共有多少種不同選法？ 【考點】組合之排除法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 (法1)乘法原理．按題意，分別站在每個人的立場上，當(dāng)自己被選中后，另一個被選中的，可以是除了自己和左右相鄰的兩人之外的所有人，每個人都有種選擇，總共就有種選擇，但是需要注意的是，選擇的過程中，會出現(xiàn)“選了甲、乙，選了乙、甲”這樣的情況本來是同一種選擇，而卻算作了兩種，所以最后的結(jié)果應(yīng)該是()(種)．(法2)排除法．可以從所有的兩人組合中排除掉相鄰的情況，總的組合數(shù)為，而被選的兩個人相鄰的情況有種，所以共有(種)．【答案】【例 9】 一棟12層樓房備有電梯，第二層至第六層電梯不停．在一樓有3人進(jìn)了電梯，其中至少有一個要上12樓，則他們到各層的可能情況共有多少種？ 【考點】組合之排除法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 每個人都可以在第7層至第12層中任何一層下，有6種情況，那么三個人一共有種情況，其中，都不到12樓的情況有種．因此，至少有一人要上12樓的情況有種．【答案】【例 10】 8個人站隊，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？【考點】組合之排除法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 冬冬要站在小悅和阿奇的中間，就意味著只要為這三個人選定了三個位置，中間的位置就一定要留給冬冬，而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇．小慧和大智不能相鄰的互補事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰，則可以將兩人捆綁考慮只滿足第一、三個條件的站法總數(shù)為：（種）同時滿足第一、三個條件，并且滿足小慧和大智必須相鄰的站法總數(shù)為：（種）因此同時滿足三個條件的站法總數(shù)為：（種）．【答案】【例 11】 若一個自然數(shù)中至少有兩個數(shù)字，且每個數(shù)字小于其右邊的所有數(shù)字，則稱這個數(shù)是“上升的”．問一共有多少“上升的”自然數(shù)？ 【考點】組合之排除法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 由于每個數(shù)字都小于其右邊所有數(shù)字，而首位上的數(shù)不能為0，所以滿足條件的數(shù)各數(shù)位上都沒有0，而且各數(shù)位上的數(shù)都互不相同．那么最大的“上升的”自然數(shù)是123456789．而且可以發(fā)現(xiàn)，所有的“上升的”自然數(shù)都可以由123456789這個數(shù)劃掉若干個數(shù)碼得到．反過來，由從123456789這個數(shù)中劃掉若干個數(shù)碼得到的至少兩位的數(shù)都是“上升的”自然數(shù)．所以只要算出從123456789中劃掉若干個數(shù)碼所能得到的至少兩位的數(shù)有多少個就可以了．因為其中每個數(shù)碼都有劃掉和保留這2種可能，所以9位數(shù)共有種可能，但是需要排除得到的一位數(shù)及零，這樣的數(shù)共有10個，所以所能得到的至少兩位的數(shù)有(個)．所以一共有502個“上升的”自然數(shù)．【答案】【例 12】 6人同時被邀請參加一項活動．必須有人去，去幾個人自行決定，共有多少種不同的去法？ 【考點】組合之排除法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 方法一：可以分為一人去、兩人去、三人去、四人去、五人去、六人去六種情況，每一種情況都 是組合問題．第一種情況有種去法；第二種情況有(種)去法；第三種情況有(種)去法；第四種情況有(種)去法；第五種情況有(種)去法；第六種情況有種去法．根據(jù)加法原理，共有(種)不同的去法．方法二：每一個人都有去或者不去兩種可能，但要減掉所有人都不去這種情況，于是總共有(種)不同的去法．【答案】【例 13】 由數(shù)字1，2，3組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1，2，3至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有________個． 【考點】組合之排除法 【難度】2星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級，決賽【解析】 這是一道組合計數(shù)問題．由于題目中僅要求，至少各出現(xiàn)一次，沒有確定，出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類枚舉的方法進(jìn)行統(tǒng)計，也可以從反面想，從由組成的五位數(shù)中，去掉僅有個或個數(shù)字組成的五位數(shù)即可．(法1)分兩類：⑴，中恰有一個數(shù)字出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個)；⑵，中有兩個數(shù)字各出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個)．符合題意的五位數(shù)共有(個)．(法2)從反面想，由，組成的五位數(shù)共有個，由，中的某個數(shù)字組成的五位數(shù)共有個，由，中的某個數(shù)字組成的五位數(shù)共有個，所以符合題意的五位數(shù)共有(個)．【答案】【例 14】 5條直線兩兩相交，沒有兩條直線平行，沒有任何三條直線通過同一個點，以這5條直線的交點為頂點能構(gòu)成幾個三角形？(構(gòu)成的三角形的邊不一定在這5條直線上) 【考點】組合之排除法 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 (法1)5條直線一共形成個點，對于任何一個點，經(jīng)過它有兩條直線，每條直線上另外有3個點，此外還有3個點與它不共線，所以以這個點為頂點的三角形就有個三角形，則以10個點分別為頂點的三角形一共有300個三角形，但每個三角形都被重復(fù)計算了3次，所以一共有100個三角形．(法2)只要三點不共線就能構(gòu)成三角形，所以可以先求出10個點中取出3個點的種數(shù)，再減去3點共線的情況．這10個點是由5條直線相互相交得到的，在每條直線上都有4個點存在共線的情況，這4個點中任意三個都共線，所以一共有個三點共線的情況，除此以外再也沒有3點共線的情況，所以一共可以構(gòu)成種情況．【答案】【例 15】 正方體的頂點(8個)，各邊的中點(12個)，各面的中心(6個)，正方體的中心(1個)，共27個點，以這27個點中的其中3點一共能構(gòu)成多少個三角形？ 【考點】組合之排除法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 27個點中取三個點，不是這3點共線，就是這3點能構(gòu)成三角形．27個點中取三個點一共有種．過三點的直線可以分為3類．有兩個頂點連線構(gòu)成的有條；由兩個面的中心連線的有3條，由兩條棱的中點連線的有條，所以能構(gòu)成的三角形有種．【答案】【例 16】 用A、B、C、D、E、F六種染料去染圖中的兩個調(diào)色盤，要求每個調(diào)色盤里的六種顏色不能相同，且相鄰四種顏色在兩個調(diào)色盤里不能重復(fù)，那么共有多少種不同的染色方案（旋轉(zhuǎn)算不同的方法）【考點】組合之排除法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 先選中一個調(diào)色盤，此盤共有6！=720種．再看另一個調(diào)色盤．相鄰四種顏色重復(fù)的分為4個重復(fù)、5個重復(fù)和6個重復(fù)三種情況，但由于5個重復(fù)就必然6個重復(fù)，因此只要分4種和6種即可．4種顏色重復(fù)有6種情況，6種顏色重復(fù)只有1種．每種情況經(jīng)旋轉(zhuǎn)可變出6種．所以共有6！1666=678．總共有678720=488160種【答案】488160【例 17】 將5枚棋子放入右側(cè)編號的44表格的格子中，每個格子最多放一枚，如果要求每行,每列都有棋子．那么共有 種不同放法．【考點】組合之排除法 【難度】4星