【正文】 11】 的方格紙，小方格的面積是1平方厘米，小方格的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．請(qǐng)你在圖上選7個(gè)格點(diǎn)，要求其中任意3個(gè)格點(diǎn)都不在一條直線上，并且使這7個(gè)點(diǎn)用直線連接后所圍成的面積盡可能大．那么，所圍圖形的面積是 平方厘米．【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克 【解析】 為了使這7個(gè)點(diǎn)圍成最大的面積，這7個(gè)點(diǎn)應(yīng)盡量在正方形的邊或頂點(diǎn)上，如圖選取7個(gè)點(diǎn)，圍成面積最大．最大面積為(平方厘米)．【答案】平方厘米【例 12】 兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形各被分成25個(gè)大小相同的小方格．現(xiàn)將這兩個(gè)正方形的一部分重疊起來(lái)，若左上角的陰影部分(塊狀)面積為，右下角的陰影部分(線狀)面積為，求大正方形的面積．【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】5星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】從小愛(ài)數(shù)學(xué) 【解析】 塊狀部分與線狀部分之間的部分稱為D，則D與前者共14個(gè)方格，與后者共17個(gè)方格，因此每個(gè)方格的面積是大正方形的面積為．【答案】平方厘米【例 13】 將邊長(zhǎng)為正整數(shù)的正方形平均分成個(gè)小正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)。2=1，③=2247。例題精講模塊一、正方形格點(diǎn)問(wèn)題在一張紙上，先畫出一些水平直線和一些豎直直線，并使任意兩條相鄰的平行線的距離都相等(通常規(guī)定是1個(gè)單位)，這樣在紙上就形成了一個(gè)方格網(wǎng)，其中的每個(gè)交點(diǎn)就叫做一個(gè)格點(diǎn)．在方格網(wǎng)中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫出的多邊形叫做格點(diǎn)多邊形，例如，右圖中的鄉(xiāng)村小屋圖形就是一個(gè)格點(diǎn)多邊形．那么，格點(diǎn)多邊形的面積如何計(jì)算？它與格點(diǎn)數(shù)目有沒(méi)有關(guān)系？如果有，這兩者之間的關(guān)系能否用計(jì)算公式來(lái)表達(dá)？下面就讓我們一起來(lái)探討這些問(wèn)題吧！用N表示多邊形內(nèi)部格點(diǎn)，L表示多邊形周界上的格點(diǎn)，S表示多邊形面積，請(qǐng)同學(xué)們分析前幾個(gè)例題的格點(diǎn)數(shù)．我們能發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：．這個(gè)規(guī)律就是畢克定理．畢克定理若一個(gè)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有N個(gè)格點(diǎn)，它的邊界上有L個(gè)格點(diǎn)，則它的面積為．【例 1】 判斷下列圖形哪些是格點(diǎn)多邊形？ 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】判斷【解析】 根據(jù)格點(diǎn)多邊形的定義可知，圖形的邊必須是直線段，頂點(diǎn)要在格點(diǎn)上！所以只有⑴是格點(diǎn)多邊形．【答案】⑴是格點(diǎn)多邊形【例 2】 如圖，計(jì)算各個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積． 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答【解析】 本題所給的圖形都是規(guī)則圖形，它們的面積運(yùn)用公式直接可求，只要判斷出相應(yīng)的有關(guān)數(shù)據(jù)就行了． 方法一：圖⑴是正方形，邊長(zhǎng)是4，所以面積是(面積單位)；圖⑵是矩形，長(zhǎng)是5，寬是3，所以面積是(面積單位)；圖⑶是三角形，底是5，高是4，所以面積是(面積單位)；圖⑷是平行四邊形，底是5，高是3，所以面積是(面積單位)；圖⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面積是(面積單位)；圖⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面積是(面積單位)．如果兩格點(diǎn)之間的距離是2，能利用剛計(jì)算的結(jié)果說(shuō)出相應(yīng)面積么？(教師總結(jié)：面積數(shù)值均擴(kuò)大4倍．)方法二：以上部分圖形除了利用各自的面積公式直接求出外，我們還可以從推導(dǎo)它們的面積公式過(guò)程中得到啟發(fā)，即用“割補(bǔ)法”或“擴(kuò)展法”分別轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來(lái)求．這一種方法很重要，在下面的題目中我們還將使用這種方法！如圖⑶，我們利用“擴(kuò)展法”將其轉(zhuǎn)化，如圖所示，從圖中易知三角形面積是長(zhǎng)方形面積的一半．如圖⑷，我們利用“割補(bǔ)法”將其陰影部分面積平移到右邊，轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形，從中易得平行四邊形面積．同理，圖⑸、⑹也可利用同樣的思想．【答案】圖⑴；圖⑵；圖⑶；圖⑷；圖⑸；圖⑹．【例 3】 如圖(a)，計(jì)算這個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積． 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答【解析】 方法一(擴(kuò)展法)．這是個(gè)三角形，雖然有三角形面積公式可用，但判斷它的底和高卻十分困難，只能另想別的辦法：這個(gè)三角形是處在長(zhǎng)是寬是4的矩形內(nèi)，除此之外還有其他三個(gè)直角三角形，如下右圖(b)，這三個(gè)直角三角形面積很容易求出，再用矩形面積減去這三個(gè)直角三角形面積，就是所要求的三角形面積．矩形面積是；直角三角形Ⅰ的面積是：；直角三角形Ⅱ的面積是：；直角三角形Ⅲ面積是；所求三角形的面積是(面積單位)．方法二(割補(bǔ)法)．將原三角形分割成兩個(gè)我們方便計(jì)算面積的三角形，如(c)圖．因此三角形的面積是：(面積單位)．【答案】【例 4】 右圖是一個(gè)方格網(wǎng)，計(jì)算陰影部分的面積．【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽【解析】 擴(kuò)展法．把所求三角形擴(kuò)展成正方形ABCD中．這個(gè)正方形中有四個(gè)三角形：一個(gè)是要求的；另外三個(gè)分別是：ABE、FEC、DAF，它們都有一條邊是水平放置的，易求它們的面積分別為，．所以，圖中陰影部分的面積為：()．【答案】【例 5】 分別計(jì)算圖中兩個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積． 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3星 【題型】解答【解析】 利用“擴(kuò)展法”和“割補(bǔ)法”我們都可以簡(jiǎn)單的得到第一幅圖的面積均為9面積單位．第二幅圖的面積均為10面積單位．【點(diǎn)評(píng)】“一個(gè)格點(diǎn)多邊形面積的大小很可能是由哪些因素決定呢？”“格點(diǎn)多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)和周界上的格點(diǎn)數(shù)與格點(diǎn)多邊形的面積有沒(méi)有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？”下面我們就來(lái)探討一下！在鞏固中，我們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖形面積相等．進(jìn)一步還可以發(fā)現(xiàn)第一個(gè)圖形邊界上的格點(diǎn)數(shù)是8個(gè)；第二個(gè)圖形邊界上的格點(diǎn)數(shù)是10個(gè)，包含在圖形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)也相等，都是6個(gè)．【答案】第一幅圖的面積均為9；第二幅圖的面積均為10．【鞏固】 求下列各個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積． 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3星 【題型】解答【解析】 ⑴ ∵；，∴(面積單位)；⑵ ∵；，∴(面積單位)；⑶ ∵；，∴(面積單位)；⑷ ∵；，∴(面積單位)．用N表示多邊形內(nèi)部格點(diǎn)，L表示多邊形周界上的格點(diǎn)，S表示多邊形面積，請(qǐng)同學(xué)們分析前幾個(gè)例題的格點(diǎn)數(shù)．我們能發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：．這個(gè)規(guī)律就是畢克定理．【答案】⑴；⑵ ；⑶；⑷ 【例 6】 “鄉(xiāng)村小屋”的面積是多少？【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3星 【題型】解答【解析】 圖形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)；圖形邊界上的格點(diǎn)數(shù) ；根據(jù)畢克定理， 則(單位面積)．【答案】【例 7】 右圖是一個(gè)面積單位的圖形．求矩形內(nèi)的箭形的面積．【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3星 【題型】解答【解析】 箭形的面積(面積單位)．【答案】【例 8】 比較圖中的兩個(gè)陰影部分①和②的面積，它們的大小關(guān)系______【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，二試，第9題，6分【解析】 ①的面積為：，②的面積也為。2=1．5，②=2247。2=l，⑥=2247。如果三角形的一條直角邊是3，那么這四個(gè)三角形各邊共經(jīng)過(guò)多少個(gè)格點(diǎn)？(每個(gè)格點(diǎn)只計(jì)一次) 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第19題，10分【解析】 如下圖是一個(gè)三角形的示意圖，共經(jīng)過(guò)了33個(gè)格點(diǎn)【答案】個(gè)格點(diǎn)模塊二、三角形格點(diǎn)問(wèn)題定義：所謂三角形格點(diǎn)多邊形是指：每相鄰三點(diǎn)成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等邊三角形．規(guī)定它的面積為1，以這樣的點(diǎn)為頂點(diǎn)畫出的多邊形為三角形格點(diǎn)多邊形．公式：關(guān)于三角形格點(diǎn)多邊形的面積同樣有它的計(jì)算公式：如果用S表示面積，N表示圖形內(nèi)包含的格點(diǎn)數(shù)，L表示圖形周界上的格點(diǎn)數(shù)，那么有，就是格點(diǎn)多邊形面積等于圖形內(nèi)部所包含格點(diǎn)數(shù)的2倍與周界上格點(diǎn)數(shù)的和減去2．【例 14】 如圖(a)，有21個(gè)點(diǎn)，每相鄰三個(gè)點(diǎn)成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等邊三角形．計(jì)算三角形ABC的面積． 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答【解析】 方法一：如圖(b)所示，在ABC內(nèi)連接相鄰的三個(gè)點(diǎn)成DEF，再連接DC、EA、FB后是ABC可看成是由DEF分別延長(zhǎng)FD、DE、EF邊一倍、一倍、二倍而成的，由等積變換不難得到， ，所以(面積單位)． 方法二：如圖(c)所示，作輔助線把圖Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分別移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，這樣可以通過(guò)數(shù)小正三角形的方法，求出ABC的面積為10． 方法三：如圖(d)所示：作輔助線可知：平行四邊形ARBE中有6個(gè)小正三角形，而ABE的面積是平行四邊形ARBE面積的一半，即，平行四邊形ADCH中有4個(gè)小正三角形，而ADC的面積是平行四邊形ADCH面積的一半，即．平行四邊形FBGC中有8個(gè)小正三角形，而FBC的面積是平行四邊形FBGC的一半，即：．所以(面積單位)． 【答案】【鞏固】 如圖，每相鄰三個(gè)點(diǎn)所形成的三角形都是面積為1的等邊三角形，計(jì)算ABC的面積．【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答【解析】 因?yàn)椋唬核?面積單位)．【答案】【例 15】 求下列格點(diǎn)多邊形的面積(每相鄰三個(gè)點(diǎn)“∵”或“∴”成面積為1的等邊三角形)． 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答【解析】 ⑴ ∵；，∴(面積單位)； ⑵ ∵；，∴(面積單位)；⑶ ∵；，∴(面積單位)；⑷ ∵；，∴(面積單位)．【答案】（1）；（2）；（）【例 16】 把大正三角形每邊八等分，組成如右圖所示的三角形網(wǎng)．如果大三角形的面積是128，求圖中粗線所圍成的三角形的面積．【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答【解析】 圖中有(個(gè))小三角形，那么一個(gè)小三角形的面積是，圖形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)為12，圖形周界上格點(diǎn)數(shù)為4；圖形的面積為：(面積單位)，進(jìn)而得圖形的面積為：．【答案】【例 17】 如圖，如果每一個(gè)小三角形的面積是1平方厘米，那么四邊形ABCD的面積是多少平方厘米？ 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答【解析】 法一：正三角形方形格點(diǎn)陣中多邊形面積公式：(2N+L2)x單位正三角形面積，其中N為圖形內(nèi)格點(diǎn)數(shù)，L為圖形周界上格點(diǎn)數(shù)．有N=9，L=4，所以用粗線圍成的圖形的面積為：(92+42)1=20(平方厘米)．法二：如下圖，我們先數(shù)出粗實(shí)線內(nèi)完整的小正三角形有10個(gè)，而將不完整的小正三角形分成4部分計(jì)算，其中①部分對(duì)應(yīng)的平行四邊形面積為4，所以①部分的面積為2，②、③、④部分對(duì)應(yīng)的平行四邊形面積分別為2，8，6，所以②、③、④部分的面積分別為1，4，3．所以粗實(shí)線內(nèi)圖形的面積為10+2+1+4+3=20(平方厘米)．【答案】平方厘米【例 18】 如果下圖中任意相鄰的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積都是2平方厘米．那么，三角形ABC的面積是_____平方厘米． 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答【解析】【答案】平方厘米模塊三、構(gòu)造格點(diǎn)進(jìn)行解題【例 19】 圖中正六邊形ABCDEF的面積是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求陰影四邊形CEPQ的面積．【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽 【解析】 如圖，將正六邊形ABCDEF等分為54個(gè)小正三角形．根據(jù)平行四邊形對(duì)角線平分平行四邊形面積，面積，面積，四邊形ABQP面積．上述三塊面積之和為．因此，陰影四邊形CEPQ面積為．【答案】【例 20】 正六邊形ABCDEF的面積是6平方厘米．M是AB中點(diǎn)，N是CD中點(diǎn)，P是EF中點(diǎn)．問(wèn)：三角形MNP的面積是多少平方厘米？【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽【解析】 將正六邊形分成六個(gè)面積為1平方厘米的正三角形，再取它們各邊的中點(diǎn)將每個(gè)正三角形分為4個(gè)小正三角形．于是正六邊形ABCDEF被分成了24個(gè)小正三角形，每一個(gè)小正三角形的面積是(平方厘米)，三角形MNP由9個(gè)小正三角形所組成，所以三角形MNP的面積(平方厘米)． 【答案】【例 21】 如圖涂陰影部分的小正六角星形面積是16平方厘米，問(wèn)：大正六角星形面積是多少平方厘米？ 【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答【解析】 如圖，涂陰影部分的小正六角星形可分成12個(gè)與三角形PMN全等(能完全重疊地放在一起)的小三角形．而圖中的大正六角星形除去小正六角星形后．有64=24個(gè)與三角形PMN全等的小三角形，所以大正六角星形的面是小正六角星形的3倍，即48平方厘米．【答案】平方厘米【例 22】 把正三角形每邊三等分，將各邊的中間段取來(lái)向外面作小正三角形，得到一個(gè)六角形．再將這個(gè)六角形的各個(gè)“角”(即小正三角形)的兩邊三等分，又以它們的中間段向外作更小的正三角形，這樣就得到圖所示的圖形．如果這個(gè)圖形面積是1，那么原來(lái)的正三角形面積是多少?【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2星 【題型】解答【解析】 方法一：如右圖，我們將圖65分成若干個(gè)大小、形狀完全相同的小正三角形，由40塊小正三角形組成圖65，而由27塊小正三角形組成了圖中最大的正三角形．120塊小正三角形的面積為1，所以每塊為，那么原來(lái)的正三角形由81塊小正三角形組成，其面積顯然為．方法二：如下圖，我們把圖65中的三角形分成A、B、C三種，設(shè)A形正三角形面積為“1”，則B、C兩種正三角形的面積依次為“”、“”．在圖中：A種、B種、C種正三角形的個(gè)數(shù)依次為1，3，12，所以圖65中圖形的面積為1+3+12=．所以有“1”對(duì)應(yīng)，而原來(lái)的正三角形即為三角形A，所以原來(lái)的正三角形的面積為.【答案】閱讀下面的材料?！敬鸢浮壳锾斓墓适乱?yàn)橛谢?，冰才?huì)融化；因?yàn)橛袗?ài)，世界才會(huì)充滿溫暖；因?yàn)橛心悖业纳锊艜?huì)出現(xiàn)陽(yáng)光。那個(gè)秋日，