【正文】 考向二 利用基本不等式證明不等式 【例 2】 ?已知 a＞ 0， b＞ 0， c＞ 0，求證： bca ＋ cab ＋ abc ≥ a＋ b＋ c. [審題視點(diǎn) ] 先局部運(yùn)用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)相加得到． 證明 ∵ a＞ 0， b＞ 0， c＞ 0， ∴ bca ＋ cab ≥ 2 bca 浙江 )設(shè)函數(shù) f(x)＝ (x－ a)2ln x， a∈ R. (1)若 x＝ e 為 y＝ f(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a； (2)求實(shí)數(shù) a 的取值范圍，使得對(duì)任意的 x∈ (0,3e]，恒有 f(x)≤ 4e2成立． 注： e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． 本題對(duì)于 (1)問(wèn)的解答要注意對(duì)于結(jié)果的檢驗(yàn)，因?yàn)?f′ (x0)＝ 0， x0不一定是極值點(diǎn)；對(duì)于 (2)問(wèn)的解答可以采用分離參數(shù)求最值的方法進(jìn)行突破，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為單邊求最值，相對(duì)分類討論 求解要簡(jiǎn)單的多． [解答示范 ] (1)求導(dǎo)得 f′ (x)＝ 2(x－ a)ln x＋ ?x－ a?2x ＝ (x－ a)(2ln x＋ 1－ax)． (2分 ) 因?yàn)?x＝ e 是 f(x)的極值點(diǎn)，所以 f′ (e)＝ (e－ a)??? ???3－ ae ＝ 0，解得 a＝ e 或 a＝ 3e.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以 a＝ e 或 a＝ 3e.(4分 ) (2)① 當(dāng) 0＜ x≤ 1 時(shí)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù) a，恒有 f(x)≤ 0＜ 4e2成立． (5分 ) ② 當(dāng) 1＜ x≤ 3e 時(shí)，由題 意，首先有 f(3e)＝ (3e－ a)2ln(3e)≤ 4e2， 解得 3e－ 2eln?3e?≤ a≤ 3e＋ 2eln?3e?(6分 ) 由 (1)知 f′ (x)＝ x－ a??? ???2ln x＋ 1－ ax .(8分 ) 令 h(x)＝ 2ln x＋ 1－ ax，則 h(1)＝ 1－ a＜ 0， h(a)＝ 2ln a＞ 0， 且 h(3e)＝ 2ln(3e)＋ 1－ a3e≥ 2 ln(3e)＋ 1－3e＋ 2eln?3e?3e ＝ 2??????ln 3e－ 13 ln 3e ＞ 0.(9分 ) 又 h(x)在 (0，＋ ∞ )內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù) h(x)在 (0，＋ ∞ )內(nèi)有唯一零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為 x0，則 1＜ x0＜ 3e,1＜ x0＜ a. 從而，當(dāng) x∈ (0， x0)時(shí)， f′ (x)＞ 0；當(dāng) x∈ (x0， a)時(shí)， f′ (x)＜ 0；當(dāng) x∈ (a，＋ ∞ )時(shí)， f′ (x)＞ f(x)在 (0， x0)內(nèi)單調(diào)遞增，在 (x0， a)內(nèi)單調(diào) 遞減，在 (a，＋ ∞ )內(nèi)單調(diào)遞增． 所以要使 f(x)≤ 4e2對(duì) x∈ (1,3e]恒成立，只要 ??? f?x0?＝ ?x0－ a?2ln x0≤ 4e2， ?1?f?3e?＝ ?3e－ a?2ln?3e?≤ 4e2， ?2? 成立． (11分 ) 由 h(x0)＝ 2ln x0＋ 1－ ax0＝ 0，知 a＝ 2x0ln x0＋ x0.(3) 將 (3)代入 (1)得 4x20ln3x0≤ x0＞ 1，注意到函數(shù) x2ln3x 在 (1，＋ ∞ )內(nèi)單調(diào)遞增，故 1＜ x0≤ e. 再由 (3)以及函數(shù) 2xln x＋ x 在 (1，＋ ∞ )內(nèi)單調(diào)遞增，可得 1＜ a≤ 3e. 由 (2)解得， 3e－ 2eln?3e?≤ a≤ 3e＋ 2eln?3e?. 所以 3e－ 2eln?3e?≤ a≤ 3e.(13分 ) 綜上， a 的取值范圍為 3e－ 2eln?3e?≤ a≤ 3e.(14分 )． 本題考查函數(shù)極值的概念，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 法則，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生推理論證能力．分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力．難度較大，做好此類題目，一要有信心，二要結(jié)合題意進(jìn)行恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化，化難為易，化陌生為熟悉． 【試一試】 設(shè)函數(shù) f(x)＝ ax3－ 3x＋ 1，若對(duì)于任意 x∈ [－ 1,1]，都有 f(x)≥ 0 成立，求實(shí)數(shù) a 的值． [嘗試解答 ] (1)若 x＝ 0，則不論 a 取何值， f(x)＝ 1＞ 0 恒成立． (2)若 x＞ 0，即 x∈ (0,1]時(shí)， f(x)＝ ax3－ 3x＋ 1≥ 0 可化為 a≥ 3x2－ g(x)＝ 3x2－ 1x3，則 g′ (x)＝ 3?1－ 2x?x4 ， ∴ g(x)在區(qū)間 ??? ???0， 12 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 ??? ???12， 1 上單調(diào)遞減． ∴ g(x)max＝ g??? ???12 ＝ 4，從而 a≥ 4. (3)若 x＜ 0，即 x∈ [－ 1,0)時(shí)， f(x)＝ ax3－ 3x＋ 1≥ 0 可化為 a≤ 3x2－ 1x3. 設(shè) h(x)＝ 3x2－ 1x3，則 h′ (x)＝ 3?1－ 2x?x4 ， ∴ h(x)在 [－ 1,0)上單調(diào)遞增． ∴ h(x)min＝ h(－ 1)＝ 4，從而 a≤ 4. 綜上所述，實(shí)數(shù) a 的值為 4. 第 4 講 基本不等式 【高考會(huì)這樣考】 1．考查應(yīng)用基本不等式求最值、證明不等式的問(wèn)題． 2．考查應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．突出對(duì)基本不等式取等號(hào)的條件及運(yùn)算能 力的強(qiáng)化訓(xùn)練． 2．訓(xùn)練過(guò)程中注意對(duì)等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論及邏輯推理能力的培養(yǎng)． 基礎(chǔ)梳理 1．基本不等式： ab≤ a＋ b2 (1)基本不等式成立的條件： a＞ 0， b＞ 0. (2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng) a＝ b 時(shí)取等號(hào)． 2． 幾個(gè)重要的不等式 (1)a2＋ b2≥ 2ab(a， b∈ R)； (2)ba＋ ab≥ 2(a， b 同號(hào) )； (3)ab≤ ??? ???a＋ b2 2(a， b∈ R)； (4)a2＋ b22 ≥ ??????a＋ b22(a， b∈ R)． 3． 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè) a＞ 0， b＞ 0，則 a， b 的算術(shù)平均數(shù)為 a＋ b2 ，幾何平均數(shù)為 ab，基本不等式可敘述為 兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它的幾何平均數(shù)． 4． 利用基本不等式求最值問(wèn)題 已知 x＞ 0， y＞ 0，則 (1)如果積 xy 是定值 p，那么當(dāng) 且僅當(dāng) x＝ y 時(shí)， x＋ y 有最 小 值是 2 p.(簡(jiǎn)記：積定和最小 ) (2)如果和 x＋ y 是定值 p，那么當(dāng)且僅當(dāng) x＝ y 時(shí)， xy 有最 大 值是 p24 .(簡(jiǎn)記：和定積最大 ) 一個(gè)技巧 運(yùn)用公式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a2＋ b2≥ 2ab逆用就是 ab≤ a2＋ b22 ；a＋ b2 ≥ ab(a， b＞ 0)逆用就是 ab≤ ??????a＋ b22(a， b＞ 0)等．還要注意 “ 添、拆項(xiàng) ” 技巧和公式等號(hào)成立的條件等． 兩個(gè)變形 (1)a2＋ b22 ≥ ??????a＋ b22≥ ab(a， b∈ R，當(dāng)且僅當(dāng) a＝ b時(shí)取等號(hào) )； (2) a2＋ b22 ≥a＋ b2 ≥ ab≥21a＋1b(a＞ 0， b＞ 0，當(dāng)且僅當(dāng) a＝ b時(shí)取等號(hào) )． 這兩個(gè)不等式鏈用處很大，注意掌握它們． 三個(gè)注意 (1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提 “ 一正、二定、三相等 ” 的忽視．要利用基本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一不可． (2)在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意 “ 拆 ”“ 拼 ”“ 湊 ” 等技巧，使其滿足基本不等式中 “ 正 ”“ 定 ”“ 等 ” 的條件． (3)連續(xù)使用公式時(shí)取等號(hào)的條件很嚴(yán)格，要求同時(shí)滿足任何一次的字母取值存在且一致． 雙基自測(cè) 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )函數(shù) y＝ x＋ 1x(x＞ 0)的值域?yàn)?( )． A． (－ ∞ ，－ 2]∪ [2，＋ ∞ ) B． (0，＋ ∞ ) C． [2，＋ ∞ ) D． (2，＋ ∞ ) 解析 ∵ x＞ 0， ∴ y＝ x＋ 1x≥ 2， 當(dāng)且僅當(dāng) x＝ 1 時(shí)取等號(hào)． 答案 C 2．下列不等式： ① a2＋ 1＞ 2a； ② a＋ bab≤ 2； ③ x2＋ 1x2＋ 1≥ 1，其中正確的個(gè)數(shù)是 ( )． A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 解析 ①② 不正確， ③ 正確， x2＋ 1x2＋ 1＝ (x2＋ 1)＋ 1x2＋ 1－ 1≥ 2－ 1＝ 1. 答案 B 3．若 a＞ 0， b＞ 0，且 a＋ 2b－ 2＝ 0，則 ab 的最大值為 ( )． B． 1 C． 2 D． 4 解析 ∵ a＞ 0， b＞ 0， a＋ 2b＝ 2， ∴ a＋ 2b＝ 2≥ 2 2ab，即 ab≤ 12. 答案 A 4． (2020( d－ c)＞ b(d－ c)中能成立的個(gè)數(shù)是 ( )． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 [審題視點(diǎn) ] 利用不等式的性質(zhì)說(shuō)明正誤或舉反例說(shuō)明真假． 解析 ∵ a＞ 0＞ b， c＜ d＜ 0， ∴ ad＜ 0， bc＞ 0， ∴ ad＜ bc， ∴ (1)錯(cuò)誤． ∵ a＞ 0＞ b＞－ a， ∴ a＞－ b＞ 0， ∵ c＜ d＜ 0， ∴ － c＞－ d＞ 0， ∴ a(－ c)＞ (－ b)(－ d)， ∴ ac＋ bd＜ 0， ∴ ad＋ bc＝ ac＋ bdcd ＜ 0， ∴ (2)正確． ∵ c＜ d， ∴ － c＞－ d， ∵ a＞ b， ∴ a＋ (－ c)＞ b＋ (－ d)， a－ c＞ b－ d， ∴ (3)正確． ∵ a＞ b， d－ c＞ 0， ∴ a(d－ c)＞ b(d－ c)， ∴ (4)正確，故選 C. 答案 C 在判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題真假時(shí)，先把要判斷的命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起 來(lái)考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題真假，當(dāng)然判斷的同時(shí)還要用到其他知識(shí)，比如對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等． 【訓(xùn)練 2】 已知三個(gè)不等式： ① ab＞ 0； ② bc＞ ad； ③ ca＞ ，余下一個(gè)作為結(jié)論，則可以組成正確命題的個(gè)數(shù)是 ( )． A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 解析 命題 1：若 ab＞ 0， ca＞ db，則 bc＞ ad； 命題 2：若 ab＞ 0， bc＞ ad，則 ca＞ db； 命題 3：若 ca＞ db， bc＞ ad，則 ab＞ 0. 答案 D 考向三 不等式性質(zhì)的應(yīng)用 【例 3】 ?已知函數(shù) f(x)＝ ax2＋ bx，且 1≤ f(－ 1)≤ 2,2≤ f(1)≤ f(－ 2)的取值范圍． [審題視點(diǎn) ] 可利用待定系數(shù)法尋找目標(biāo)式 f(－ 2)與已知式 f(－ 1)， f(1)之間的關(guān)系，即用 f(－ 1)， f(1)整體表示 f(－ 2)，再利用不等式的性質(zhì)求 f(－ 2)的范圍． 解 f(－ 1)＝ a－ b， f(1)＝ a＋ (－ 2)＝ 4a－ 2b. 設(shè) m(a＋ b)＋ n(a－ b)＝ 4a－ 2b. ∴ ??? m＋ n＝ 4，m－ n＝－ 2， ∴ ??? m＝ 1，n＝ 3. ∴ f(－ 2)＝ (a＋ b)＋ 3(a－ b)＝ f(1)＋ 3f(－ 1)． ∵ 1≤ f(－ 1)≤ 2,2≤ f(1)≤ 4， ∴ 5≤ f(－ 2)≤ 10. 由 a＜ f(x， y)＜ b， c＜ g(x， y)＜ d，求 F(x， y)的取值范圍，可利用待定系數(shù)法解決 ，即設(shè) F(x， y)＝ mf(x， y)＋ ng(x， y)，用恒等變形求得 m， n，再利用不等式的性質(zhì)求得 F(x， y)的取值范圍． 【訓(xùn)練 3】 若 α， β滿足