【正文】 否也適用于地球與月球的系統(tǒng)？ 【 審題 】 本題中行星繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道近似視為圓周軌道時(shí)，只要運(yùn)用萬有引力定律 和向心力公式即可證明得出結(jié)論。 【 總結(jié) 】 開普勒第三定律中的常量 K 與萬有引力定律中的常量 G的這種關(guān)系（ K= GM/4π 2， 或者 G=4π 2/GM）可以用來方便的求解衛(wèi)星類的問題，作為一種解題的‘切入口’應(yīng)在解題過程中予以重視。在地球的兩極上最大，在地球赤道上最小，隨著位置從赤道到兩極的移動(dòng)而逐漸增大 這種現(xiàn)象不是‘超重’，應(yīng)該與‘超重’現(xiàn)象嚴(yán)格區(qū)別開來。對(duì)于同一物體，這一向心力在赤道時(shí)最大， F 大 =mω 2R（ R 是地球半徑）； 在兩極時(shí)最小， F 小 =0。 （ 4）萬有引力、重力、向心力三者間的關(guān)系： 地 面 物體隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力 F 向 =mω 2r=mr4π 2/T 由萬有引力 F 引 =GMm/R2提供，F(xiàn) 向 是 F 引 的一個(gè)分力，引力 F 引 的另一個(gè)分力才是物體的重力 mg， 引力 F 引 是向心力 F 向 和重力 mg 的合力，三者符合力的平行四邊形定則，大小關(guān)系是 F 引 ≥ mgF 向 。 由牛頓第三定律可知，物體對(duì)彈簧秤的拉力為 F 拉 =。 ② 不能因?yàn)槲矬w隨地球自轉(zhuǎn)所需要的向心力很小而混淆了 萬有引力、重力、向心力的本質(zhì)區(qū)別。 例 6：假設(shè)火星和地球都是球體，火星的質(zhì)量Ｍ 火 和地球質(zhì)量Ｍ 地 之比Ｍ 火 ／Ｍ 地 =p，火星的半徑Ｒ 火 和地球半徑Ｒ 地 之比Ｒ 火 ／Ｒ 地 =q，那么離火星表面Ｒ 火 高處的重力加速度和離地球表面Ｒ 地 高處的重力加速度之比等于多少？ 【 審題 】解題時(shí)要明確以下二點(diǎn)： 一、因?yàn)橐阎鹦堑馁|(zhì)量Ｍ 火 和地球質(zhì)量Ｍ 地 之比Ｍ 火 ／Ｍ 地 =p 以及火星的半徑Ｒ 火 和地球半徑Ｒ 地 之比Ｒ 火 ／Ｒ 地 =q，故可以運(yùn)用比例法進(jìn)行求解。離地對(duì)表面Ｒ 地 高處： m 地g? =GＭ 地 但是必須區(qū)別天體系統(tǒng)中‘中心天體’與‘環(huán)繞天體’的不同。這是解題時(shí)必須注意的。此選項(xiàng)之中“地球繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn) ”，給定的條件是 ”地球繞太陽的運(yùn)轉(zhuǎn)周期 ”和 ”地球與太陽之間的距離 ”。故 B 選項(xiàng)正確。即可由此式計(jì)算出地球質(zhì)量。假設(shè)有一個(gè)在地面上靜止的物體，對(duì)其運(yùn)用萬有引力定律可得： mgRGMm?2，則 M=GgR2。首先要明確，這種方法只能用來計(jì)算“中心天體”的質(zhì)量，而不能計(jì)算“環(huán)繞天體”的質(zhì)量。其大小僅隨軌道半徑 r 的增大而減小，與衛(wèi)星的質(zhì)量、形狀等因素?zé)o關(guān)。要明確三個(gè)宇宙速度均指發(fā)射速度。這顆衛(wèi)星的運(yùn)行速度為（ ） A、 、 km/s C、 km/s D、 km/s 【 審題 】 題目中敘述的是人造地球衛(wèi)星的“發(fā)射”與“運(yùn)行”，考查的是人造地球衛(wèi)星的“發(fā)射速度”與“運(yùn)行速度”的物理意 義。 【 解析】 （方法一）判斷選定法 對(duì)選項(xiàng) A， v＝ ，是發(fā)射速度。 對(duì)選項(xiàng) B， v=，是發(fā)射速度，以此速度發(fā)射的人造地球衛(wèi)星會(huì)脫離地球的引力范圍，飛到距地球的“無限遠(yuǎn)處”（在理論上此衛(wèi)星的軌道半徑 r=∞，其繞地球運(yùn)行速度 v=0），不會(huì)穩(wěn)定運(yùn)行在 h =870km 的軌道上，故 B 選項(xiàng)錯(cuò)誤。故運(yùn)用排除法即可得知 C 選項(xiàng)正確?？傻?v=，即此衛(wèi)星的運(yùn)行速度為 。故而注重選擇題的解答技巧十分重要。由于 “天上”的物體（如行星、衛(wèi)星）與地面上的物體雖然遵守相同的牛頓力學(xué)定律，但也有本質(zhì)的區(qū)別，通常在解決衛(wèi)星問題時(shí)要特別注重以下三個(gè)等量關(guān)系： 若萬有引力提供向心力，則有 GMm/r2 =ma 向 若重力提供向心力， 則有 mg= ma 向 若萬有引力等于重力， 則有 GMm/r2 =mg 以上三式不僅表現(xiàn)形式有異，而且其物理意義更是各有不同，必須注意區(qū)別辨析。即以上各量?jī)H由距離 r 即可得出，故以上各式可稱之為 “決定式”。這組公式是由 GMm/r2 =mg 的代換關(guān)系得到的，一般適應(yīng)于已知“ g、 r”而不知“ G、 M”的題目。 例 9： （ 200６年五市區(qū)聯(lián)考）設(shè)有兩顆人造地球衛(wèi)星的質(zhì)量之比為 m1： m2 ＝１：２，其運(yùn)行軌道半徑之比為Ｒ １： Ｒ ２ ＝３：１，試求此兩顆衛(wèi)星運(yùn)行的： ① 線速度之比， ② 角速度之比， ③周期之比，④ 向心加速度之比。 如果此處運(yùn)用了 v= gr ，而認(rèn)為 v∝ r ，則可得到1221 RRVV ? ＝ 13 ，顯然這是錯(cuò)誤的。 ③ 因?yàn)?GMm/r2 =m4π 2 r/T2 ，則， T=2πGMr3 ，故有21TT ＝3231RR ＝ 3313 ＝ 127 。如果此處運(yùn)用了 a 向 ＝ g 而認(rèn)為 a向 軌道半徑無關(guān)，則得 ?21aa 1?gg ，必然錯(cuò)誤， 其原因仍是忘掉了式中“ g”的不同。其原因仍是忘掉了式中“ g” 的不同。 ② 因?yàn)?GMm/r2 =mω 2r，有 ω =3rGM，故，313221 RR??? ＝ 271 ；如果此處運(yùn)用公式ω =rg而認(rèn)為ω∝１ / r ，則可得，1221 RR??? ＝ 31 ，顯然也是錯(cuò)誤的。因?yàn)橹皇且阎獌深w衛(wèi)星的軌道半徑的比例關(guān)系，故而求解時(shí)也只能選用上面（ 1）中的“決定 式”，而不能選用（ 2）中的公式。即 GM= go R2o—— 此即所謂的“黃金代換 ”，可用來作為“ G、 M”與“ go 、 Ro”之間的等量代換。 （ 2）由 mg= ma 向 可得 mg= ma 向 → a 向 ＝ g mg= m v2/r→ v= gr → v∝ r mg= mω 2r→ω =rg→ω∝１ / r mg= m4π 2 r/T2→ T=2πg(shù)r→ T∝ r 以上各式之中，作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體（如衛(wèi) 星）的運(yùn)行速度 v、角速度 ω 、周期 T由距離 r 和重力加速度 g 共同決定。 GMm/r2 =m v2/r→ v = rGM → v∝１ / r GMm/r2 =mω 2r→ω =3rGM→ω∝１ / 3r GMm/r2=m4π T 2 r/T2→ T=2πGMr3 → T∝ 3r 對(duì)于以上各式，“中心天體”（如地球）一定，則其質(zhì)量 M 是一定的。這類“天上”的物體作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力僅由萬有引力提供。 【 總結(jié) 】 以上兩種方法相比，顯然是前一種“判斷選定法”更為簡(jiǎn)捷方便，但是要熟知題中給的各個(gè)速度的含義，只要排除不合理的答案即可得到正確答案。故 D 選項(xiàng)錯(cuò)誤。但是否以此速度運(yùn)行的衛(wèi)星就一定處在 h=870km 的軌道上？還要計(jì)算判定。其軌道半徑近似等于地球半徑，即 r≈ R 地 ，不會(huì)處在 h=870km 的軌道 上。只要明確這三個(gè)特殊速度的物理意義，此題求解也就十分容易。 人造地球衛(wèi)星的三個(gè)發(fā)射速度分別是： 第一宇宙速度（環(huán)繞速度）： v= 千米／秒；（地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度） 第二宇宙速度（脫離速度）： v= 千米／秒；（衛(wèi)星掙 脫地球束縛的最小發(fā)射速度） 第三宇宙速度（逃逸速度）： v= 千米／秒。 人造地球衛(wèi)星在圓軌道上的運(yùn)行速度是隨著高度的增大而減小的，由于人造地球衛(wèi)星的發(fā)射過程中必須克服地球引力做功，從而增大了衛(wèi)星 的引力勢(shì)能，故要將衛(wèi)星發(fā)射到距地球越遠(yuǎn)的軌道，需要克服地球的引力做功就越多，在地面上需要的發(fā)射速度就要越大。只有滿足這兩方面面的要求，才可以運(yùn)用萬有引力定律和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律計(jì)算求得天體的質(zhì)量。故 D 選項(xiàng)正確。 對(duì) D 選項(xiàng)。在此項(xiàng)中人造地球衛(wèi)星是 “環(huán)繞天體“，而地球則是中心天體，又已知人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行速度 v 和運(yùn)動(dòng)周期 T，由萬有引力定律與勻速圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得 hRmvhRGMm ???22)(和222 4)( TmhRG Mm ???，又因?yàn)榇巳嗽斓厍蛐l(wèi)星是 ”近地“衛(wèi)星，則 hR，可視為 h ≈ 0 ，必有 R+h ≈ R ，則以上兩式可分別化為RmvRGMm 22 ? ① 和RTRGmm 222 4?? ② ， 又由于 v=Tr?2，代入 ① 式（當(dāng)然也可以代入 ② 式）可得，地球的質(zhì)量為 M=234GTR? 。故 A 選項(xiàng)錯(cuò)誤 . 對(duì) B 選項(xiàng)。此外，還要注意到每一個(gè)選項(xiàng)中給定的兩個(gè)物理量能否用得上，只有做好這樣的分析判斷之后，解題才能事半功倍。所謂‘環(huán)繞天體’是指繞著‘中心天體’做圓周運(yùn)動(dòng)的天體或者衛(wèi)星以及人造衛(wèi)星，一般是質(zhì)量相對(duì)較小的天體或衛(wèi)星。 22 / 火地 RR ＝ P/q2 【 總結(jié) 】 由于引力定律公式中只有乘法與除法，故可以運(yùn)用比例法進(jìn)行求解。 【 解析】 物體的重力來自萬有引力，所以離火星表面Ｒ 火 高處： m 火g? =GＭ 火 【 解析】 設(shè)地球原來自轉(zhuǎn)的角速度為 1? ，用 F 表示地球?qū)Τ嗟郎系奈矬w的萬有引力 , N表 示 地 面 對(duì) 物 體 的 支 持 力 ， 由 牛 頓 第 二 定 律 得 mamRNF ??? 21? ① 由于物體受到的支持力與物體的重力是一對(duì)平衡力 ,所以有 mgGN ?? ② 當(dāng)赤道上的物體“飄”起來時(shí) ,只有萬有引力提供向心力，設(shè)此時(shí)地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 2? ，有 22?mRF ? ③ 聯(lián)立① 、②、 ③ 三式可得 ?12?? aag? ，所以 正確答案為 B 選項(xiàng)。 【 總結(jié) 】 由計(jì)算可知，引力 F= 遠(yuǎn)大于向心力 F 向 = N，而物體所受重力 與物體所受的萬有引力 F= 相差很小，因而一般情況下可認(rèn)為重力的大小等于萬有引力的大小 。 【 解析】在 赤道附近處的 質(zhì)量 m=1Kg的物體所受地球的萬有引力為 F=GMm/R2= 1011 1024 1/ ( 106)2 N= 此物體在赤道所需向心力為 F 向 =mω 2R=mR4π 2/T2= 1（606024 XXX） 2 106 N= N。 當(dāng)赤道上的物體“飄”起來時(shí) ,必須有地面對(duì)物體的支持力等于零，即 N=0，這時(shí)物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力完全由地球?qū)ξ矬w的萬有引力提供 .由此可得赤道上的物體“飄”起來的條件是：由地球?qū)ξ矬w的萬有引力提供向心力。 一般說來，同一物 體的重力隨所在緯度的變化而發(fā)生的變化很小， 有時(shí)可以近似認(rèn)為重力等于萬有引力，即 mg=2 21rmmG。 （ 2）地面物體所受的重力： 處在地面上的物體所受的重力是因地球的吸引而產(chǎn)生的，其大小為 mg，方向豎直向下（絕不可以說為“垂直向下”和“指向地心”）。 顯然，由于太陽質(zhì)量一定， K 的數(shù)值僅由太陽質(zhì)量 M 決定，與其它因素?zé)o關(guān)。 K的值由 ‘中心天體’的質(zhì)量而定，而常量 G 則是一個(gè)與任何因素?zé)o關(guān)的普適常量。 （ 2） 萬有引力定律中的常量 G： 萬有引力定律中的常量 G 是由萬有引力定律 F=2 21rmmG變形求出的， G=F r2/m1m2，數(shù)值是 G=6。此規(guī)律對(duì)于其它的由‘中心天體’與‘環(huán)繞天體’組成的天體系統(tǒng)同樣適用。 例 2： 如圖 43 所示，在均勻球體中，緊貼球的邊緣挖去一個(gè)半徑為 R/2的球形空穴后，對(duì)位于球心和空穴 中心邊線上、與球心相距 d 的質(zhì)點(diǎn) m的引力是多大？ 【 解 析 】 把整個(gè)球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力看成是挖去的小球體和剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力之和，即可求解完整的均質(zhì)球體對(duì)球外質(zhì)點(diǎn) m 的引力 此引力可以看成是挖去球穴后的剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力 F1與半徑為 R/2 的小球?qū)|(zhì)點(diǎn)的引力 F2之和，即 F=F1+F2。因此可以假想有一顆近地衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)行，由 萬有引力提供向心力的關(guān)系求出引衛(wèi)星的 R3/T2，又由開普勒第三定律知，所有繞地球運(yùn)行的衛(wèi)星的 r3/T2 值均相等，只要把假想衛(wèi)星的 R3/T2題中的二衛(wèi)星的 r3/T2 值相比較即可求得結(jié)論。 （ 3） 開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律與萬有引力定律的關(guān)系： 萬有引力定律是牛頓根據(jù)行星繞太陽（或恒星）運(yùn)動(dòng)的宇宙現(xiàn)象推知行星所需要的向心力必然是由太陽對(duì)行星的萬有引力提供，進(jìn)而運(yùn)用開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律 . 開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律是萬有引力定律的理論基礎(chǔ)。 （２） 萬有引力定律 萬有引力定律的內(nèi)容是 ： 宇宙間一切物體都是相互吸引的，兩個(gè)物體間的引力大小，跟它們的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們間的距離的平方成反比。若用 r 表示橢圓軌道的半長軸，用 T 表示行星的公轉(zhuǎn)周期，則有 k=r3/T2 是一個(gè)與行星無關(guān)的常量。（衛(wèi)星掙脫太陽束縛的最小發(fā)射速度） 人造衛(wèi)星在圓軌道上的運(yùn)行速度是隨著高度的增大而減小的，但是發(fā)射高度大的衛(wèi)星克服地球的引力做功多，所以將衛(wèi)星發(fā)射到離地球遠(yuǎn)的軌道，在地面上的發(fā)射速度就越大。 ⑦ 視天體的運(yùn)動(dòng)近似看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其所需向心力都是來自萬有引力， 即 vmTmrmrrvmmarMmGgm ??? ??????? 2 2222 4向 應(yīng)用時(shí)根據(jù)實(shí)際情況選用適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行分析。 ② 、衛(wèi)星繞行速度與半徑的關(guān)系： 由rvmrMmG 22 ? 得 ：rGMv?即 rv 1? (r 越大 v 越小 ) ③ 、衛(wèi)星繞行角速度與半徑的關(guān)系： 由 rm