【正文】 .............. 5 VANDERMONDE 行列式推廣的性質(zhì)定理 .................................. 5 4 VANDERMONDE 行列式的應(yīng)用 ............................................ 7 VANDERMONDE 行列式在行列式計算中的應(yīng)用 ............................ 7 計算準(zhǔn) Vandermonde 行列式 .................................... 7 計算特殊的行列式 ............................................. 7 VANDERMONDE 行列式在多項式與向量空間中的應(yīng)用 .................... 10 Vandermonde 行列式在多項式中的應(yīng)用 ......................... 10 Vandermonde 行列式在向量空間中的應(yīng)用 ...................... 13 5 小結(jié) ................................................................. 15 參考文獻 ............................................................... 16 謝辭 ................................................................... 17 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 1 1 引言 行列式最早出現(xiàn)在 17 世紀關(guān)于線性方程組的求解問題 中，由 日本 數(shù)學(xué) 家關(guān)孝和 德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨 分別發(fā)明 ，而法國數(shù)學(xué)家范德蒙 德 ( monde， 17351796)對行列式理論做出 了 連貫的 、 邏輯的闡述， 并命名了著名的 Vandermonde 行列式 .后許多數(shù)學(xué)家如柯西 、 雅可比 、泰勒等對其 不斷發(fā)展完善， 做了進一步的解析與應(yīng)用，使得 19 世紀中期行列式與向量、矩陣完美融合 .時至今日， 行列式 成為了線性代數(shù)與高等代數(shù)的 主要內(nèi)容 與重點內(nèi)容之一， 是后續(xù)課程 矩陣、向量空間和線性變換等的基礎(chǔ) ，而 vandermonde 行列式在 多項式、向量空間、線性方程組、線性變換、矩陣的特征值與特征向量、微積分等理論 中 都有大量應(yīng)用，例如對 Cramer 法則的補充、 Lagrange 插值公式的推導(dǎo)、向量空間基的證明、與 Taylor 公式結(jié)合求微積分問題等 起 了重要的作用 [1]，而 其在簡化行列式計算方面，更是靈活巧妙，成為了廣大學(xué)生的有力工具 .出于對 n 階 vandermonde 行列式 其 獨特的構(gòu)造、優(yōu)美的形式、特殊的性質(zhì)的好奇與喜愛，我查閱了大量的參考文獻后，決定 就 Vandermonde 行列式的證法與相關(guān)性質(zhì)，淺談其在 行列式計算、多項式、向量空間中的 基本 應(yīng)用， 使得 對 vandermonde 行列式進一步加深了解與應(yīng)用 ，培養(yǎng)自身的科研素養(yǎng) .當(dāng)然我相信， 隨著科技的進步與更多數(shù)學(xué)家的進一步研究， Vandermonde 行列式這顆璀璨明珠， 將會 在各領(lǐng)域綻放 更耀眼的光芒 . 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 2 2 Vandermonde 行列式的 定義 與證法 Vandermonde 行列式的 定義 我們把型如 nV? 121 1 1121 1 ... 1...... ... ... ......nn n nna a aa a a? ? ? 的 行列式叫做 Vandermonde 行列式 ， 其值為1 ()ijj i n aa? ? ? ??，即 nV? 121 1 1121 1 ... 1...... ... ... ......nn n nna a aa a a? ? ?=1 ()ijj i n aa? ? ? ?? 其中1 ()ijj i n aa? ? ? ??表示 12, ,... na a a 這 n 個數(shù) 的所有可能 的差 ijaa? （ 1 j i n? ? ? ） 的乘積 （ 2n? ） [2]. Vandermonde 行列式的證法 方法一 ： 消元法 （降階法） [3] 證 明 從第 n 行開始，每一行加上前一行的 1a? 倍 ， 根據(jù)行列式的性質(zhì)可知行列式的值不變，此時有 nV =)()(...)(0)()(...)(0..................011...111211211222131131123211112aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnnn???????????????????? 再 按行列式首項展開 得： nV =1 nA1 x? V (k=0,1,2?n 1) 其中 符號“ ()nkV ”中的下標(biāo)“ n”表示 n 階行列式 ， “ (k)”表示僅缺少的 k 次方冪元素行； 12, ... nkp p p ? 是 1,2,...n 中（ nk? ）個數(shù)的一個正序排列 ；12... nkpp p??表示對所有（ nk? ）階排列求和 ；1 (x x )ijj i nV ? ? ?? ?[5]. 證 明 （ i）在行列式 ( ) 1, 2( ... )n k nV x x x 中增補第（ 1k? ）行和（ 1n? ）列相應(yīng)的元素 ， 考慮（ 1n? ）階 Vandermonde 行列式 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 6 121 1 1 11212121 1 1 112121 1 .. . 1 1..... . .. . .. . .. . .. ....( ) ( , .. . , )........ . .. . .. . .. . .. ....nk k k knn k k k knk k k knn n n nnx x x xx x x xf x V x x x xx x x xx x x xx x x x? ? ? ?? ? ? ??? = 2 1 3 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )nx x x x x x x x? ? ? ?1 ()ijj i n xx? ? ? ?? (ii)由 上 式的兩端分別計算多項式 kx 中項的系數(shù) .在 上 式 左端，由行列式 計算 kx 的系數(shù)為 ： 行列式中該元素對應(yīng)的代數(shù)余子式 ( 1)kn?? )(knV ( 1)nk??? V (k=0,1,2?n 1) 定理得證 . 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 7 4 Vandermonde 行列式的應(yīng)用 Vandermonde 行列式在 行列式計算 中的應(yīng)用 計算 準(zhǔn) Vandermonde 行列式 利用 Vandermonde 行列式推廣的性質(zhì)定理可以計算各階準(zhǔn) Vandermonde 行列式 （ 缺行 的 Vandermonde行列式也叫做超 Vandermonde行列式或準(zhǔn) Vandermon de 行列式 ）， 簡便易行 [6].特 別 地 ，當(dāng) kn? 時，令 0p =1， ()nkV 即為 Vandermonde行列式 nV . 例 1 計算準(zhǔn) Vandermonde 行列式 1 2 3 4 5 62 2 2 2 2 21 2 3 4 5 66 ( 3 ) 4 4 4 4 4 41 2 3 4 5 65 5 5 5 5 51 2 3 4 5 66 6 6 6 6 61 2 3 4 5 61 1 1 1 1 1a a a a a aa a a a a aVa a a a a aa a a a a aa a a a a a? 解 由定理， n =6,k =3,所以 1 2 31 2 36 ( 3 ) p p pp p pV a a a? ? )!1(