【正文】 學的膨脹、腐蝕、開、閉運算的定義及擴張性，令 f(x， y)表示圖像， B 表示結(jié)構(gòu)元素，當 B 包括 坐 標原點時，有 ： BffBf ???? （ 45） BffBf ???? （ 46） 綜合 （ 45）和（ 46） 兩式及形態(tài)學基本運算定律可得 到如式（ 47）的形式。這些算子在一定程度上可以保持圖像的邊緣細節(jié)，但檢測到的邊緣效果各有不同。它是一種非線性的差分算子，而且其檢測出的邊緣與結(jié)構(gòu)元素 B 有關。 圖像的邊緣有多種梯度形式，其邊緣檢 測 的基本原理是 ： 如果在圖像中的某點處的梯度值大，則表示在該點處圖像的明 暗 變化迅 速， 從而可能有邊緣通過，通常這些梯度以數(shù)學差分形式給出。 數(shù)學形態(tài)學建立在集合論基礎上，是一種應用于圖像處理和模式識別領域的新的方法。 理工大學畢業(yè)論文 26 形態(tài)學算法和傳統(tǒng)算法的邊緣檢測比較 傳統(tǒng)的圖像邊緣檢測方法大多可歸結(jié)為圖像高頻分量的增強過程 [16]，最早提出的 Robert、Sobel、 Prewitt 等是一階微分邊緣算子。 CDCDACDCDABA ?????????? )()())((? （ 41） 由式（ 41） 可以得出： SSSSABA ????? )(? （ 42） 若將 式（ 42）中的 2 次腐蝕膨脹擴展為 K 次，則 ??? ?? ???? ?? ??kk SSSSSSABBABA ???????? ()( （ 43） 因此開運算就轉(zhuǎn)換成不斷使用小結(jié)構(gòu)元素 S 腐蝕原圖像，再依次用小結(jié)構(gòu)元素 S 膨脹。當結(jié)構(gòu)元素尺寸太小時，閉運算不能實現(xiàn)裂口較大的斷裂邊緣連接，作開運算時不能實現(xiàn)較大凸起與粘連的去除。結(jié)構(gòu)元素可以為圓盤形、正方形、菱形、六邊形、線段形等。 理工大學畢業(yè)論文 25 結(jié)構(gòu)元素的形狀 任何形狀都可以作為結(jié)構(gòu)元素，但在實際應用中，只有一定數(shù)量的結(jié)構(gòu)元素可用，通常結(jié)構(gòu)元素的形狀和尺寸必須適合于待處理目標圖像的幾何性質(zhì)形狀選擇要注意兩點： （ 1）結(jié)構(gòu)元素對稱和非對稱性選擇。 利用形態(tài)學的基本運算是基于集合的觀點，這個集合集中反映了物體的形狀、體積、紋理、色彩等等。一般將圖像的邊緣劃分為階躍狀邊緣和屋脊狀邊緣兩種。其中最根本的問 題是解決檢測精度和抗噪能力間的矛盾 。邊緣反映了圖像的最基本特征 [14]。 則 認 為該像素為邊界像素。從圖中可以看到經(jīng)過一次開操作和閉操作或者是經(jīng)過一次閉操作和開操作，圖像都得到了很好的平滑，但是細節(jié)上有一些微小的損失，邊緣的清晰度也有所下降，細節(jié)損失的大小取決于結(jié)構(gòu)元素的形態(tài)和大小。用閉運算消除與結(jié)構(gòu)元素相比尺寸較小的暗細節(jié)，而保持圖像整體灰度值和大的暗區(qū)域基本不變。用 B 對 A 進行閉操作，則可以將目標內(nèi)部的噪聲孔消除掉。進行這兩種操作的最終結(jié)果是除去或減少了亮和暗的因素和噪聲。要準確的檢測出圖像的邊緣，噪聲的濾除成為了邊緣檢測必不可少的步驟 [13]。 （ 2） 進行形態(tài)學重構(gòu) 形態(tài)學重構(gòu)操作具有很多獨有的特性： （ 1） 形態(tài)學重構(gòu)處理基于兩幅圖像，一個 是 標記圖像，另一個是掩模圖像，而不僅僅是一幅圖像和一個結(jié)構(gòu)元素。 在進行形態(tài)學重構(gòu)時，重點是要選擇一個合適的標記圖像，這是因為標記圖像進行膨脹后要能充分強調(diào)掩模圖像中的主要對象。圖 32[7]表示了細化效果。 細化和粗化 細化是在圖像中將二值物體和形狀減小為單個像素寬的線。擊中擊不中變換需要兩個結(jié)構(gòu)元 1B 和 2B ，這兩個 結(jié)構(gòu) 元被作為一個結(jié)構(gòu)元素 ， 對 )( 21BBB? ，一個用來探測圖像內(nèi)部，另一個用來探測圖像外部， A 被 B擊中或擊不中變換定義 如式（ 31）所示。在上述變換中對它們均采取一致的政策而不管相交 的結(jié)構(gòu)。 理工大學畢業(yè)論文 19 第 3 章 形態(tài)學在圖像處理的基本應用 擊中或擊不中變換 在圖像分析中，同時探測圖像的內(nèi)部和外部，而不僅僅局限于探測圖像的內(nèi)部或圖像的外部，對于研究圖像中物體與背景之間的關系，往往會起到很好的效果 [12]。模糊性由結(jié)構(gòu)元素 對原圖像的適應程度來確定。所以軟化形態(tài)學退化為標準形態(tài)學。 該排列表中的第 K 個元素即為軟數(shù)學形態(tài)膨脹或腐蝕的結(jié)果。 ghgfhf ?? ????? （ 255） gfggffgf ???? ??? )(, （ 256） 理工大學畢業(yè)論文 18 軟數(shù)學形態(tài)學 在軟數(shù)學形態(tài)學的運算中 ， 注入了 ―順序統(tǒng)計 ‖ 的數(shù)學思想 .標準形態(tài)學里用到的極大極小運算用加權排序統(tǒng)計法代替并將結(jié)構(gòu)元素分為核 心和軟邊界兩大部分 ?？梢钥闯鲩_啟運算后的圖像消除了原始圖像中的亮點，整體圖案顯得比原始圖像暗，因為原始圖像中的亮細節(jié)往往讓人主觀感覺圖像偏亮，所以開啟運算后圖像讓人感覺就暗了很多，而圖像整體灰度值卻沒有受到很大影響，因為開啟 （ 1）灰度開運算 （ 2）灰度閉運算 圖 216 灰度圖像開閉運算仿真結(jié)果 運算的第二步會恢復一些圖像亮度，只是使得整個圖像沒有了亮細節(jié)；閉合運算后的圖像消除了原始圖像中的暗點，整體圖案由于沒有了這些原來的暗區(qū)域，看起來會比較明亮清楚一些，但人 眼往往對暗的細節(jié)不敏感，所以主觀感覺不是很明顯，但圖像整體的灰度值卻沒有受到很大影響，因為閉合運算的第二步腐蝕還會降低一些灰度，只是使得整個圖像沒有了暗細節(jié)。換句話說，當 b 貼著 f 的下沿滾動時， f 中沒有與 b 接觸的部位都落到與 b 接觸。 圖 215 形態(tài)學灰度開啟和閉合變換 圖 215[9]中，用 b 開啟 f ，即 bf? ，可看作將 b 貼著 f 的下沿從一端滾到另一端。 bbfbf ??? )(? （ 252） 開啟運算可以通過求出所有結(jié)構(gòu)元素的形態(tài)學平移都可填入輸入信號下方的極大點來計算。 )()()( qfpfqpf ?????? （ 249） )()()( qfpfqpf ?????? （ 250） )()()( qppfqpf ?????? （ 251） 理工大學畢業(yè)論文 16 灰度形態(tài)學開運算和閉運算 具備了腐蝕和膨脹這兩種初級形態(tài)學運算，我們便可以定義二級運算一灰度開啟和灰度閉合運算。 gffgfg ?????? 0)0( （ 242） 4. 交換律 如式（ 243）所示。 灰度形態(tài)學腐蝕和膨脹運算性質(zhì) 灰 度 膨脹和腐蝕具有類似二值腐蝕和膨脹的一些性質(zhì)，這些性質(zhì)在實際應用中具有非常重要的作用， 下面不加證明的給出這些性質(zhì)。 (a)為原始的灰度圖像， (b)為膨脹后的圖像， (c)為腐蝕后的圖像，采用的是 33? 的 方形結(jié)構(gòu)元。 從圖中不難看出，半圓形結(jié)構(gòu)元素從信號的下面對信號產(chǎn)生濾波作用，這與圓盤從內(nèi)部對二值圖像濾波的情況是相似的。從圖 213 可以看出，灰度腐蝕與二值腐蝕之間的一個基本關系：被灰度腐蝕信號的定義域等于利用結(jié)構(gòu)元素的定義域作為結(jié)構(gòu)元素，再對信號的定義域作二值腐蝕所得的結(jié)果。結(jié)構(gòu)元素必須在信號下方，故空間平移結(jié)構(gòu)元素的定義域必為信號定義域的子集。式 （ 232） 與 2D 卷積的形式很類似，區(qū)別是這里用 min(極小 )替換了卷 積中的求和 (或積分 )，用加法替換了卷積中的相乘。 與二值情況一樣，灰度腐蝕也可用灰度膨脹的對偶運算來定義。式 （ 233） 與 2D 卷積的形式很類似，區(qū)別是這里用 max(極大 )替換了卷積中的求和 (或積分 )，用加法替換了卷積中的相乘。 圖 212 信號的反射 灰度形態(tài)學腐蝕和膨脹運算 灰度形態(tài)學是二值形態(tài)學對灰度圖像的自然擴展，其中二值形態(tài)學所用到的交 、并運算分別用極大、極小極值代替就是灰度形態(tài)學的相應運算。如果 x 不在 f 和 g 的定義域內(nèi)，即 x 不在 ][][ gDfD ? 之內(nèi)，則gf? 無定義。 f 和 g 的極小為：如果 x 在定義域的交集 ][][ gDfD ? 中，那么 )}(),(m in {)^( xgxfgf ? （ 230） f 和 g 的極大為：如果 x 在定義域的并集 ][][ gDfD ? ，那么 )}(),(m a x {))(( xgxfxxf ?? （ 231） 信號 f 對原點的反射記為 )(xf ， 其 定義 如式（ 232）所示。 將 信號，向右水平移動 x ，稱移位， 其 定義 如式（ 227）所示。但是對高分辨率的多值圖像進行處理的形態(tài)學方法不同于二值形態(tài)學，它是將排序統(tǒng)計學與二值形態(tài)學有機結(jié)合起來的多值形態(tài)變換，一般稱為灰度形態(tài)學。 BABBABABBA ????? )(,)( ??? （ 225） 5．平移不等性 如式（ 226）所示。 二值圖像開閉運算性質(zhì) 1．對偶性 如式（ 221）所示。 二值圖像開運算和閉運算的仿真結(jié)果如圖 29 所示， (a)是 一幅原始的二值圖像， (b)是采 理工大學畢業(yè)論文 10 (a)原圖像 (b)開運算 (c)閉運算 圖 29 二值圖像開閉運算仿真結(jié)果 用半徑為 3 的圓形結(jié)構(gòu)元素對原始圖像作開運算后得到的結(jié)果。為了更好地理解開運算在圖像處理中的作用， 可以參考式（ 219）所示的 等價方程： })(|){( ABBBA zz ?? ?? （ 219） 圖 27[7]表示了先腐蝕后膨脹所描述的開運算。 xBAxBAxBAxBA ?????????? )()(,)()( （ 216） xBABxAxBABxA ?????????? )()(,)()( （ 217） 平移不變性意味著圖像或結(jié)構(gòu)元素的位置變化僅引起變換結(jié)果的位置變化，而結(jié)果的形態(tài)無任何改變。 CBACBA ????? )()( （ 213） CBACBA ????? )()( （ 214） 式（ 213）和式（ 214） 十分重要， 它們 表明采用一個較大結(jié)構(gòu)元素 )( CB? 的形態(tài)學運算可以由兩個采用較小結(jié)構(gòu)元素 B 和 C 的形態(tài)學運算的級聯(lián)來實現(xiàn)。 BAAABABO ?????? , （ 211） 如果結(jié)構(gòu)元素包含原點， A 腐蝕的結(jié)果是使圖像 A 收縮，是 A 的一個子集；而 A 是膨脹結(jié)果的子集。并且用這樣的結(jié)構(gòu)元素腐蝕后的結(jié)果也是包含于原圖 A 的，即 ABA ?? 。 圖 25[7]給出了二值圖像腐蝕示意圖， (a)和 (b)分別給出原點在結(jié)構(gòu)元素內(nèi)部和不在結(jié)構(gòu)元素內(nèi)部的情況?？梢钥闯龃藭r膨脹的結(jié)果是包含原圖 A 的，即 BAA ?? 。根據(jù)這種解釋，還可以寫 為如式（ 26）的形式。以后所有的形態(tài)學變換都可以由膨脹和腐蝕變換的復合 運算 來實現(xiàn) 。 定義 1： 設集合 A 及 ),( 21 zzZ? ，將 A 平移到點 z ，表示為 zA)( ， 其 定義 如式（ 23）所示。集合的運算可以直接應用于二值圖像的集合。在研究數(shù)學形態(tài)學原理及其應用以前，首先要掌握集合論中的一些基本概念?；镜臄?shù)學形態(tài)學運算是將結(jié)構(gòu)元素在圖像范圍內(nèi)平移，同時施加交、并等基本集合運算。用形態(tài)學算子作為提升算子，用提升方法還可以構(gòu)造出性能更優(yōu)良的非線性小波。 5．彩色圖像處理的研究。灰度形態(tài)學、模糊形態(tài)學和形態(tài)金字塔等算法運算速度慢，不適合實時處理。 2．優(yōu)化濾波器設計。 二值數(shù)學形態(tài)學和灰度數(shù)學形態(tài)學構(gòu)成了經(jīng)典的數(shù)學形態(tài)學?？梢杂脕斫鉀Q抑制噪聲、特征提取、邊緣檢測、圖像分割、形狀識別、紋理分析、圖像恢復與重建、圖像壓縮等圖像處理問題。 數(shù)學形態(tài)學比其他空域或頻域圖像處理和分析方法具有一些明顯的優(yōu)勢。 理工大學畢業(yè)論文 4 第 2 章 形態(tài)學基本理論 形態(tài)學的研究內(nèi)容 形態(tài)學運算是針對二值圖像，并依據(jù)數(shù)學形態(tài)學集合論方法發(fā)展起來的圖像處理方法。用于圖像處理的形態(tài)系統(tǒng)， 具有完備的結(jié)構(gòu)和理論體系，是進行非線性性態(tài)分析和描述的有力工具。然而，對于圖像的形態(tài)特征和幾何結(jié)構(gòu)等非線性因素的分析和描述卻由于系統(tǒng)的線性特征而受到限制。目前，有關形態(tài)學的技術和應用正在不斷地發(fā)展和擴大。許多非常成功的理論模型和視覺檢測系統(tǒng)都采用了數(shù)學形態(tài)學算法作為其理論基礎或組成部分。有人稱數(shù)學形態(tài)學在理論上是嚴謹?shù)?，在基本觀念上卻是簡單和優(yōu)美的。形態(tài)和差 (膨脹與腐蝕 )是數(shù)學形態(tài)學的基礎。當探針在圖像中不斷地移動時，便可以考察圖像各個部分間的相互關系，從而了解圖像的結(jié)構(gòu)特征。 對于形態(tài)學興趣的增長勢頭，可以從近幾年大量涌現(xiàn)的研究期刊和會議論文的數(shù)量，以及許多已經(jīng)開發(fā)和正在開發(fā)的工業(yè)應用系統(tǒng)中窺見一斑。軟數(shù)學形態(tài)學具有硬數(shù)學形態(tài)學相似的代數(shù)特性，但具有更強的抗噪聲干擾的能力，對加性噪聲及微小形狀變化不敏感。周煦潼、施鵬飛等在此方面進行了較深入的研究。目前 ， 數(shù)學形態(tài)學已在計算機視覺、信號處理與圖像分析、模式識別、計算方法與數(shù)據(jù)處理等方面得到了極為廣泛的應用。 edge detection 理工大學畢業(yè)論文 3 目 錄 第 1 章 緒論 ........................................................................................................................................1