【正文】 導(dǎo)入到 中； 根據(jù)計(jì)算對象的具體情況 (邊界變化情況、應(yīng)力變化情況等 )、計(jì)算的精度要求、計(jì)算機(jī)容量大小、計(jì)算的經(jīng)濟(jì)性 ，以及是否有合適的程序等等因素進(jìn)行全面分析比較，選擇合適的單元形式。選擇自由 網(wǎng)格 劃分 方式 。邊界約束條件的準(zhǔn)確度直接影響齒輪 彎曲 應(yīng)力有限元分析 9 有限元分析的結(jié)果。因此，齒根彎曲強(qiáng)度也應(yīng)該按載荷作用于單對嚙合區(qū)最高點(diǎn)來計(jì)算。載荷的大小 [9]可以根據(jù)設(shè)計(jì)承載的扭矩按公式求得。 每個節(jié)點(diǎn)上施加的力 [9]按式 （ 33） 和（ 34） 計(jì)算。ANSYS 提供了 2 個后處理器：通用后處理器和時間歷程后處理器。依次選擇 Main MenuGeneral PostprocPlot 1XYZSTATIC ANSYS OF A GEAR JUN 4 20xx12:55:18ELEMENTSF基于 ANSYS 的齒輪模態(tài)分析 10 ResultsContour PlotNodal Solu，彈出【 Contour Nodal Solution Data】對話框。在【 Item to be contoured】列表框中分別選擇“ DOF Solution”和“ stress”選項(xiàng)”，接著分別選擇“ Displacement vector sum”和“ von Mises stress”選項(xiàng)，單擊 OK 按鈕，生成結(jié)果如 圖 311 和圖 312 所示。每個單元角節(jié)點(diǎn)的 6 個應(yīng)力分量將以列表的形式顯示，如圖 313所示。除了齒頂圓上的最大應(yīng)力，其他部分的應(yīng)力分布遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于許用應(yīng)力。 1 4 a 1 4 a 1 42bdmFF F SKT Y Y Y??? （ 35） 表 32 結(jié)果比較 有限元法 傳統(tǒng)方法 整個輪齒 454MP 阿 齒根 454MPa 由上表可知，有限元法分析的 是整個輪齒的應(yīng)力分布情況，而傳統(tǒng)方法只能計(jì)算齒根處的彎曲應(yīng)力， 沒有 將齒頂處的 應(yīng)力集中考慮 在內(nèi) ；對于齒根處 的 彎曲應(yīng)力，從圖 311中可以看出齒根處得應(yīng)力為 左右，而傳統(tǒng)方法 計(jì)算 為 454MPa， 用傳統(tǒng)方法得到的結(jié)果 具有一定的 裕度。 在法向壓力 Fn 作用下，由于接觸表面局部彈性變形，形成寬為 2b，長為 L的長方形接觸面，如圖 所示。最大壓力發(fā)生在初始接觸線處的各點(diǎn)上，并等于平均壓力的 π /4 。當(dāng)不滿足接觸條件時修改接觸點(diǎn)的接觸狀態(tài)重新求解，直到所有接觸點(diǎn)都滿足接觸條件為止。 所謂增量解法，是首先將載荷分為若干步 0f ， 1f ， 2f ??，相應(yīng)的位移也分為若干步 0a ， 1a ， 2a ??。同時，可以得到加載過程中各個階段的中間值數(shù)值結(jié)果，便于研究結(jié)構(gòu)位移和應(yīng)力等隨著載荷變化的情況。鑒于接觸問題的特殊性，求解過程需要采用試探一校核的迭代方法進(jìn)行，每一增量步的迭代過程 [12]可一般性的表述如下 ： (l)根據(jù)前一增量步的結(jié)果和當(dāng)前增量步給定的載荷條件，通過接觸狀態(tài)的檢查和搜索，假設(shè)此增量步第一次迭代求解的接觸區(qū)域和接觸狀態(tài) — 指兩物體的“粘著”或“滑動”狀態(tài)。否則修改接觸 狀態(tài)，回到步驟 。 齒輪 接觸應(yīng)力 有限元分析 15 圖 44 求解算法的流程圖 輸入模型 定義接觸體 輸入增量步 檢查接觸狀態(tài) 定義接觸 約束 施加載荷 裝配剛度矩陣 施加接觸約束 平衡方程求解 應(yīng)力計(jì)算 更新接觸約束 是否收斂 穿透是否合適 是否最后增量步 結(jié)束 是 是 是 否 否 迭代 細(xì)分增量步 步基于 ANSYS 的齒輪模態(tài)分析 16 ANSYS 有限元軟件的接觸分析 ANSYS 的接觸類型與接觸方式 ANSYS 軟件提供了兩種接觸類型 [13]:剛體一柔體接觸與柔體一柔體接觸。 本文中分析的一對嚙合齒輪材料相同，有近似的剛度，故采用柔體一柔體接觸 。面一面接觸方式，計(jì)算量相對較少， 適合 于復(fù)雜 表面、大變形、含摩擦力的接觸問題求解。但是 面 面單元 與點(diǎn)一面單元相比有許多優(yōu)點(diǎn)，例如 :沒有剛體表面形狀限制，允許有自或網(wǎng)格離散引起的表面不連續(xù) 。 ANSYS 的接觸算法 ANSYS 在對接觸問題的求解上提供三類算法 [14]:拉格朗日乘子 (Lagrangemethod)，罰函數(shù)法 (penaltymethod)和增廣拉格朗日乘子法 (AugmentedLagrangemethod)，下面對這三種算法作簡單的介紹。這種算法主要用于采用特殊的界面單元描述接觸的問題分析。但是若罰因子太大，在計(jì)算接觸應(yīng)力時會產(chǎn)生高頻震蕩，容易出現(xiàn)計(jì)算不收斂的情況。一 旦達(dá)到平衡，就檢查穿透量。但是，與前兩種算法相比，擴(kuò)展拉格朗日法有下列優(yōu)點(diǎn) : l)不易引起病態(tài)條件，對接觸剛度的敏感性小。 通過上述的分析可以看出，對于三維斜齒輪接觸問題的求解算法，最適合的應(yīng)該是增廣拉格朗日乘子法。 定義單元屬性和網(wǎng)格劃分 選用六面體八節(jié)點(diǎn)單元 solid45 進(jìn)行網(wǎng)格劃分。 網(wǎng)格劃分結(jié)果見 圖 45所示。? 為該對齒輪的嚙合角。 首先，選擇其中一個齒廓面，并選擇該面上的所有節(jié)點(diǎn)并創(chuàng)建組為 NODE11；接著，分別對另外 3 個齒廓面做相同處理，分別命名為 NODE12， NODE21， NODE22。 定義后的接觸對見圖 47 所示 。 mm）； d— 齒輪內(nèi)圈 直徑 （ mm）； n— 內(nèi)圈節(jié)點(diǎn)總數(shù)。 計(jì)算求解及后處理 點(diǎn)擊 Solve 中的 Current LS，確認(rèn)計(jì)算后開始進(jìn)行非線性求解，求解過程如圖 49所示。在【 Item to be contoured】列表框中分別選擇“ DOF Solution”和“ stress”選項(xiàng)”，接著分別選擇“ Displacement vector sum”和“ von Mises stress”選項(xiàng)，單擊 OK 按鈕，生成結(jié)果如圖 410 和圖 411 所示。依次選擇 Main Menu General Postproc List Result Nodal Solution，彈出【 List Nodal Solution】對話框。 122 ( 1 )=ZH E H kT uZZ bd ?ζσ μ （ 47） 將 ANSYS 分析結(jié)果與傳統(tǒng)方法分析結(jié)果作對比，數(shù)據(jù)見表 43所示。 第五章 齒輪模態(tài)的有限元分析 模態(tài)分析的必要性 一般來說靜力分析也許能夠確保一個結(jié)構(gòu)可以承受穩(wěn)定載荷的條件，但是這些遠(yuǎn)遠(yuǎn)不 夠。為了避免這種情況發(fā)生，有必要對整個齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行模 態(tài)分 析，求出固有頻率和主振型。由于 我們關(guān)心的是齒輪的固有振 動頻率，盡量防止出現(xiàn)齒輪的轉(zhuǎn)速與其固有頻率相 同的狀況。影響齒輪副固有頻率的因素很多，如輪齒的剛度大小、齒輪副的大小、軸的剛度大小、潤滑油膜厚度及各種阻尼等等 [19]。 將分析對象離散為有限個三維實(shí)體單元 ,分別求出每個單元的剛度矩陣 [22]為 ： [ ] [ ] [ ] [ ]Teij i jvK B D B dv? ? （ 53） 式中： []D —— 彈性矩陣 []iB ， []jB —— 應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系矩陣 每個單元的質(zhì)量矩陣為： [ ] [ ] [ ]Teij i jvM N N dv?? ? （ 54） 式中： []iN ， []jN —— 形函數(shù)矩陣 ? —— 單元質(zhì)量密度 形成單元的單元剛度矩陣 []eijK 和單元質(zhì)量矩陣 []eijM 后 ,按照單元節(jié)點(diǎn)自由度與總體節(jié)點(diǎn)自由度的一一對應(yīng)關(guān)系 ,將單元剛度矩陣 []eijK 和單元質(zhì)量矩 []eijM 組集成結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣 [K]和總質(zhì)量矩陣 [M],如果節(jié) 點(diǎn)上有附加質(zhì)量塊 ,則將它疊加到總體質(zhì)量矩陣 [M]所對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)自由度位置上 ,根據(jù)邊界條件對總體剛度矩陣 [K]和總質(zhì)量矩陣 [M]進(jìn)行降階 ,即得到給定邊界條件下的總體剛度矩陣 [K]和總質(zhì)量矩陣 [M]。多自由度系統(tǒng)的自由振動可以分解為 n個單自由度的簡諧振動的疊加，或者說系統(tǒng)的自由振動是 n個固有模態(tài)振動的線性組合。采用何種模態(tài)提取方法主要取決于模型的大小 (相對于計(jì)算機(jī)能力而言 )和具體的應(yīng)用場合。 低 低 齒輪 模態(tài)的 有限元分析 25 模態(tài)分析的步驟 模態(tài)分析過程主要由四個步驟組成：建模、 網(wǎng)格 劃分 、 加載及求解、擴(kuò)展模態(tài)、 查看結(jié)果和后處理 。材料性質(zhì)可以是線性的，各向同性的或。在模態(tài)分析中 只有線性行為是有效的，如果指定了非線性單元，它們將被當(dāng)作是線性的。表 51 比較了這四種模態(tài)提取方法，并分別 對各方法做 了簡要描述 。 模態(tài)分析簡介 模態(tài)提取方法 無阻尼模態(tài)分析求解的基本方程是經(jīng)典的特征值問題，有許多數(shù)值方法可用于求解上面的方程。 在求齒輪自由振動的頻率和振型即求齒輪的固有頻率和固有振型時，阻尼對它們影響不大，因此，阻尼項(xiàng)也可以略去，得到無阻尼自由振動的運(yùn)動方程為 ： [ ] { } [ ] { } 0M X K X?? （ 55） 其對應(yīng)的特征值方程為： 2 ( )([ ] [ ]){ } 0iiK M A??? （ 56） 基于 ANSYS 的齒輪模態(tài)分析 24 式中： i? 為第 i階模態(tài)的固有頻率 ,i=1,2… n； (){}iA 為與第 i階固有頻率對應(yīng)的主振型。 齒輪振動固有頻率范圍一般為 1KHZ~10 KHZ[20]，為了避免齒輪嚙合時發(fā)生共振現(xiàn)象，必須精確地測出齒輪的固有振動頻率，同時也為齒輪系統(tǒng)的故障診斷提供了一個重要參數(shù)。 齒輪的固有振動分析 齒輪副在嚙合過程中，因?yàn)槭艿街芷谛詻_擊載荷的作用，產(chǎn)生振動的高頻分量就是齒輪的固有振動頻率。目前，進(jìn)行模態(tài)分析最行之有效方法是有限元法，就是利用有限元法在有限元分析軟件 ANSYS 中對齒輪副進(jìn)行了模態(tài)分析。同時，也可以作為其它動力學(xué)分析的起點(diǎn)，例如動力學(xué)分析、諧響應(yīng)分析和譜分析，其中模態(tài)分析也是進(jìn)行譜分析或模態(tài)疊加法諧分析或瞬態(tài)動力學(xué)分析所必需的前期分析過程 [18]。這可能是由以下原因造成的： ANSYS 分析的是接觸應(yīng)力分布情況，而赫茲公式求得的是齒面接觸疲勞強(qiáng)度，還考慮了疲勞 破壞的因素。每個單元角節(jié)點(diǎn)的 6 個應(yīng)力分量將以列表的形式顯示，如圖 312 所示。齒輪的 許用 接觸 應(yīng)力為 1260MP，因此符合強(qiáng)度要求。 圖 49 非線性求解 （ 1） 瀏覽節(jié)點(diǎn)上的等效應(yīng)變和應(yīng)力 值。利用式（ 46）可求得 F=。根據(jù)齒輪運(yùn)動規(guī)律，在從動輪中心孔處的所有節(jié)點(diǎn)施加全約束，在主動輪中心孔處的所有節(jié)點(diǎn)施加約束和切向力 ， 施加約束和載荷結(jié)果如圖 48 所示。選擇目標(biāo)節(jié)點(diǎn)組為 NODE11，接觸節(jié)點(diǎn)組為 NODE12，并 設(shè)置法向接觸剛度 FKN 為 ，最大允許穿透值 FTOLN 為 ，由于考慮摩擦對輪齒接觸的影響，定義摩擦系數(shù)為 ，從而創(chuàng)建了一對接觸對。 在齒輪傳動過程中有 個齒輪處于 單齒嚙合區(qū)，有 個齒輪處于 雙齒嚙合區(qū)。39。 利用 Meshtool 自由劃分， 并基于 ANSYS 的齒輪模態(tài)分析 18 利用網(wǎng)格劃分控制對局部網(wǎng)格尺寸進(jìn)行控制。 齒輪有限元接觸分析 齒輪接觸應(yīng)力的限元分析的步驟為： 1 將 Pro/E 模型導(dǎo)入 ANSYS 軟件中 2 定義單元屬性和網(wǎng)格劃分 3 定義接觸對 4 約束條件和施加載荷 5 定義求解和載荷步選項(xiàng) 5 計(jì)算求解及后處理 [15]。因此在選擇求解器上沒有限制。增強(qiáng)的拉格朗日算法是為了找到精確的拉格朗日乘子而對罰函數(shù)的接觸剛度反復(fù)修改并迭代求解，直到計(jì)算的穿透值小于允許值為止。 （ 3）增廣拉格朗日乘子法 將罰函數(shù)和拉格朗日乘子法結(jié)合起來施加接觸協(xié)調(diào)條件稱為增強(qiáng)的拉格朗日法。 (2)罰函數(shù)法 罰函數(shù)法是一種近似方法，它 允許相互接觸的邊界產(chǎn)生穿透并通過罰因子將接觸力和邊界穿透量聯(lián)系起來。但是該方法增加了系統(tǒng)變量數(shù)目，并使剛度陣中出現(xiàn)了對角線元素為零的子矩陣，需要實(shí)施額外的操作才能保證計(jì)算精度，給計(jì)算帶來麻煩，這對圓柱齒輪這類三維接觸問題尤為不利。提供為工程目的所采用的更好的接觸結(jié)果，如法向應(yīng)力