【正文】 量方法求解。每兩步之間的增長量為增量。如果每步載荷增量足夠小，則解的收斂性是可以保證的。圖 43 表示了用 Newton—— R 即 hson 方法求解增量方程的過程。此外，接觸面的范圍和接觸狀態(tài)也是未知的，所以如何將接觸面條件適當(dāng)?shù)囊肭蠼膺^程是接觸問題求解的關(guān)鍵。 (2)根據(jù)上述對接觸面區(qū)域和狀態(tài)所作的假設(shè)，對于接觸面上的每一點，將運動學(xué)或動力學(xué)上的不等 式約束改為等式約束作為定解條件引入方程并進(jìn)行求解。如果接觸 面上的每一點都不違反校核條件，則完成本增量 步的求解并轉(zhuǎn)入下一增量步的計算 。 (4)再次進(jìn)行搜尋和迭代求解，直至每一點的解 都滿足校核條件。 圖 43 用 N 一 R 法解增量方程 綜合以上的分析，給出接觸問題求解算法的一般流程圖 (見圖 44)，以方便理解其整個求解過程。剛體一柔體接觸， 適用 于兩接觸面的剛度相差較大的物體間接觸，假定剛度較大的面是剛體。柔體一柔體接觸是一種更普遍的 類型，它假定兩接觸體均為變形體， 適用于兩個彈性模 量和結(jié)構(gòu)剛性比較接近的物體間 接觸。 ANSYS 軟件支持三種接觸方式 [13]： 點一點接觸、點一面接觸與面一面接觸。點一面接觸允許接觸面上某一節(jié)點和被接觸體上的某一單元相接 觸， 不需預(yù)先知道確切的接觸位置，接觸面之間也不需要保持一致的網(wǎng)格，并且允許有 熱傳 導(dǎo)、有大的變形和大的相對滑動等非線性行為。 圓柱 齒輪傳動過程中，由于接觸部 剛 度的變化，導(dǎo)致齒面的接觸實際上是發(fā)生在接觸線附近有限的面上。點一面型可以指定接觸面為一組節(jié)點，從而代替面一面型接觸。支持有大滑動和摩擦的大變形，協(xié)調(diào)剛度陣計算，提供不對稱剛度選項 。綜合以上，選用面一面單元進(jìn)行齒輪的接觸分析比較合理。 (l)拉格朗日乘子法 拉格朗日乘子法通過增加一個獨立自由度，即接觸壓力，來滿足無穿透條件，不需要定義人為的接觸剛度去滿足接觸面間不可穿透的條件，可以直接實現(xiàn)穿透為零的真實接觸條件， 計算結(jié)果較精確。還有一個可能發(fā)生的嚴(yán)重問題，就是在接觸狀態(tài) 發(fā)生變化時，接觸力有個突變，接觸狀態(tài)的振動式交替改變，如何控制這種改變是純粹的拉格朗日算法所難以解決的。該方法限制了接觸物體之間的相對運動量，并需要預(yù)先知道接觸發(fā)生的確切位齒輪 接觸應(yīng)力 有限元分析 17 置，以便施加界面單元。罰因子出現(xiàn)在剛度矩陣中與接觸面上的節(jié)點有關(guān)的那部分子矩陣的對角線元素上，克服了拉格朗日乘子法中出現(xiàn)零對角線矩陣的缺點。并且在罰函數(shù)法中，罰因子趨向無窮時，接觸條件方能精確滿足，而實際計算時只能取有限值，因此接觸條件只能近似滿足。在迭代的開始，接觸協(xié)調(diào)條件由罰剛度決定。如果迭代中發(fā)現(xiàn)穿透量大于最大允許穿透值 (使用 FTOLN 值控制 )，則將各個接觸單元的接觸剛度加上接觸力乘以拉格朗日乘子的數(shù)值，繼續(xù)進(jìn)行迭代。盡管與拉格朗日法相比，擴展拉格朗日法的穿透并不為零，與罰函數(shù)法相比，可能迭帶次數(shù)會更多。 2)與罰函數(shù)法相比較少病態(tài)，與單純的拉格朗日 法相比，沒有剛度陣零對角元。 3)用戶可以自由控制允許的穿透值。此算法通過拉格朗日乘子迭代，最終求得滿足精度要求的接觸力，而在整個過程中不增加總體方程的未知數(shù)個數(shù)，而且通過迭代求解大大降低了對罰剛度值選取的要求，同時數(shù)值實施較方便，接觸條件能精確滿足。 將 Pro/E 模型導(dǎo)入 ANSYS 軟件中 啟動 PRO/E，打開 ， .將文件保存 IGES 格式文件副本 。其力學(xué)特性為 彈性模量 E=206GPa ，泊松比υ = ，密度ρ = 310 kg/ 3cm ， 摩擦系數(shù)為 f=。對總體單元大小和面單元大小的長度設(shè)置為 3。 圖 45 列表顯示節(jié)點數(shù)和單元數(shù) 定義接觸對 計算該對 齒輪的重合系數(shù)ε ,重合度公式 [16]為： ? ? ? ?39。1 1 2 21= ta n ta n ta n ta n2 aaZZ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? （ 45） 式中： 1Z 、 2Z 分 別為齒輪 1 和齒輪 2 的齒數(shù)； 1a? 和 2a? 分別為齒輪 1 和齒輪 2 的齒頂圓壓力角； 39。 將數(shù)據(jù)代入 式 （ 45）得到 重合系數(shù)ε =。 因此 設(shè)置 2 對齒輪接觸對 （ 2 個面為目標(biāo)單元面， 另 2 個面為接觸單元面） 。 利用接觸對導(dǎo)向來創(chuàng)建接觸對 ，如圖 46 所示 。接著，采用相同的方向來創(chuàng)建另一對接觸對，選擇目標(biāo)節(jié)點組為 NODE12，接觸節(jié)點組為NODE22。 . 圖 46 接 觸對導(dǎo)向 圖 47 接觸對 約束條件和施加載荷 因為兩個齒輪是相互作用的，根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系，作用在主動輪和從動輪上各對應(yīng)力大小相等，方向相反，故將哪個齒輪設(shè)為從動輪都是一樣的，設(shè) 大齒輪 為齒輪 接觸應(yīng)力 有限元分析 19 從動輪， 小齒輪 為主動輪。 力 [17]的大小根據(jù)所傳遞的扭矩計算： 12nTF d? （ 46） 式中： 1T — 主動輪傳遞的轉(zhuǎn)矩（ N 其中 1T = 10? ， d=14， n=240。 1XYZCONTACT ANSYS OF PAIR GEAR JUN 4 20xx15:49:14ELEMENTSUF 圖 48 施加約束和載荷 定義 求解和載荷步選項 打開求解控制器，定義 Analysis Options 為 Large Displacement Static,并將Time Control 中的 Time at end loadstep 設(shè)置為 1，將 Number of substeps 設(shè)置為 20。 待求解結(jié)束后，可用通用后處理器采用圖和列表的形式查看求解結(jié)果。依次選擇 Main MenuGeneral PostprocPlot 基于 ANSYS 的齒輪模態(tài)分析 20 ResultsContour PlotNodal Solu，彈出【 Contour Nodal Solution Data】對話框。 1MNMXXYZCONTACT ANSYS OF PAIR GEAR 0.913E04.183E03.274E03.365E03.456E03.548E03.639E03.730E03.822E03JUN 4 20xx14:28:23NODAL SOLUTIONSTEP=1SUB =16TIME=1USUM (AVG)RSYS=0DMX =.822E03SMX =.822E03 圖 410 Displacement vector sum(位移矢量圖 ) 1MNMXXYZCONTACT ANSYS OF PAIR GEAR .108E03JUN 4 20xx14:29:12NODAL SOLUTIONSTEP=1SUB =16TIME=1SEQV (AVG)DMX =.822E03SMN =.108E03SMX = 圖 411 von Mises 等效應(yīng)力圖 由圖 410 可得 ， 該對齒輪在扭矩和接觸力作用下齒輪的 最大主彈性應(yīng)變 發(fā)生 在兩齒輪 接觸應(yīng)力 有限元分析 21 個齒輪嚙合的地方 ，其值 為 ， 總體 變形量不大； 由圖 411 可得， 該對齒輪最大等效應(yīng)力發(fā)生在兩個齒輪嚙合的地方 ， 最大 接觸 應(yīng)力為 N/ 2mm 。 （ 2） 列出節(jié)點的列表結(jié)果。在【 Item to be listed】列表中選擇“ Stress”選項和“ von Mises stress”選項，單擊【 OK】按鈕。 圖 312 接觸應(yīng)力列表顯示計算結(jié)果 有限元分析結(jié)果與赫茲公式計算結(jié)果比較 根據(jù)齒面接觸計算公式 赫茲公式 [1]（ 47） 計算 ， 得到的最大接觸應(yīng)力為。 表 43 接觸應(yīng)力比較 求解方法 ANSYS 分析 赫茲公式 最大應(yīng)力 N/2mm 由表 43可知 ANSYS 分析的結(jié)果明顯小于赫茲公式求得的結(jié)果。 ANSYS 分析方法與 赫茲公式 求得的結(jié)果都在許用應(yīng)力范圍之內(nèi)，但是 赫茲公式 求得基于 ANSYS 的齒輪模態(tài)分析 22 的結(jié)果具有較大的裕度。 模態(tài)分析用于確定設(shè)計結(jié)構(gòu)振動的固有特性，即結(jié)構(gòu)的固有頻率和主振型，它們是動態(tài)載荷結(jié)構(gòu)設(shè)計中的重要參數(shù)。齒輪傳動是最重要的機械傳動形式，在內(nèi)部激勵和外部激勵作用下有可能發(fā)生機械振動，使整個系統(tǒng)發(fā)生嚴(yán)重破壞，無法估量的經(jīng)濟損失。在進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計時，使激振力的頻率與系統(tǒng)的固有頻 率 錯 開，可以有效的避免共振的發(fā)生。 在變速箱齒輪 傳動中有時齒輪的轉(zhuǎn)速很高，這時就有必要對 變速箱齒輪 傳動 進(jìn)行模態(tài) 分析了。因為一旦外載荷與結(jié)構(gòu)固有頻率相同，必然發(fā)生共振，造成結(jié)構(gòu)屈服。齒輪傳動副的固有振動頻率一般是指齒輪系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的固有頻率，齒輪系統(tǒng)的扭振主要是由軸的扭振和輪齒的彈性扭振組成。近似可由下式計算 ： 0 12 kf m?? （ 51） 式中， m 和 k 分別為齒輪的等效質(zhì)量和剛度系數(shù)，其大小可以查閱相關(guān)手冊或者根據(jù)經(jīng)驗而定。 模態(tài)分析理論基礎(chǔ) 由彈性力學(xué)有限元法，可得齒輪系統(tǒng)的運動微分方程 【 21】 為 ： 齒輪 模態(tài)的 有限元分析 23 ? ?[ ] { } [ ] { } [ ] { } { t }M X C X K X F? ? ? （ 52） 式中 ， []M ， []C ， []K 分別為為齒輪質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣 ； {}X ， {}X ， {}X 分別為齒輪振動加速度向量、速度向量和位移向量 ，12{ } { , ,..., }TnX x x x? ； ??{ t}F 為結(jié)構(gòu)所受的激振力向量 ， ? ? 12{ t } { , , ..., }TnF f f f? 。在模態(tài)分析過程中 ,沒有激振力的作用 ,取 {F(t)=0},得到系統(tǒng)的自由振動方程。 這時的振動系統(tǒng)一般存在著 n個固 有頻率和 n個主振型，每一對頻率和振型代表一個單自由度系統(tǒng)的自由振動，這種在自由振動時結(jié)構(gòu)所具有的基本振動特性稱為結(jié)構(gòu)的模態(tài)。這就意味著多自由度系統(tǒng)一般說來不是作某一固有頻率的自由振動，而是作多個固有頻率的簡諧振動的合成 振動 [23]。 ANSYS 提供了 7 種模態(tài)提取方法： Block Lanczos(分塊蘭索斯法 )、Subspace(子空間法 )、 Power Dynamics(動力源法 )、 Reduced(縮減法 )、 Unsymmetric(非對稱法 )、 Damped(阻尼法 )和 QR Damped(QR 阻尼法 )[24]。其中，前四種方法是最常用的模態(tài)提取方法。 表 51 模態(tài)提取方法比較 模態(tài)提取方法 適用范圍 內(nèi)存要求 存貯要求 Block Lanczos 用于提取大模型的多階模態(tài) (40 階以上 ) 建議在模型中包含形狀較差的實體和殼單元時采用此法 最適合于由殼或殼與實體組成的模型 可以很好地處理剛體振型 速度快，但要求比子空間法內(nèi)存多 50% 中 低 Subspace 用于提取大模型的少數(shù)階模態(tài) (40 階以下 ) 適合于較好的實體及殼單元組成的模型 在具有剛體振型時可能會出現(xiàn)收斂問題 可用內(nèi)存有限時該法運行良好 建議在具有約束方程時不要用此方法 低 高 Power Dynamics 用于提取大模型的少數(shù)階模態(tài) (20 階以下 ) 適合于 100K 以上自由 度模型的特征值快速求解 對于網(wǎng)格較粗的模型只能得到頻率近似值 復(fù)頻情況時可能遺漏模態(tài) 高 低 Reduced 用于提取小到中等模型 (小于 10K 自由度 )的所有模態(tài) 選取合適主自由度時可獲取大模型的少數(shù)階 (40 階以下 )模態(tài)，此時頻率計算的精度取決于主自由度的選取。 (1)建模 建立有限元模型需要完成下列工作：首先指定工作名和分析標(biāo)題，然后在前處理器(PREP7)中定義單元類型、單元實常 數(shù)、材料性質(zhì)以及幾何模型，其中幾何模型可以在ANSYS 中直接建立也可以在其他 CAD 軟件中生成后再導(dǎo)入 ANSYS 中。例如，如果模態(tài)分析中包含接觸單元，那么系統(tǒng)取其初始狀態(tài)的剛度值并且此剛度值不再改變