北師大版高中數(shù)學(xué)（必修5）23《解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例》之二(文件)
【正文】 ③ 解三角形應(yīng)用題中，由于具體問題中給出的數(shù)據(jù)通常為有效近似值，故運(yùn)算過(guò)程一般較為復(fù)雜，可以借助計(jì)算器進(jìn)行運(yùn)算，當(dāng)然還應(yīng)注意做到算法簡(jiǎn)練、算式工整，計(jì)算準(zhǔn)確 . ? 在觀察實(shí)驗(yàn)和日常生活以及建筑設(shè)計(jì)中，少不了遇到測(cè)量距離的遠(yuǎn)近等問題，如測(cè)量?jī)珊影吨g的距離，測(cè)量航行中海上兩個(gè)島嶼之間的距離等，這些問題的解決都可利用正、余弦定理解三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)．同時(shí)借助正、余弦定理還可以進(jìn)一步解決一些有關(guān)三角形的計(jì)算問題． ? 解三角形應(yīng)用題的一般步驟是： (1)準(zhǔn)確理解題意，分析題意，分清已知和所求，特別要理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)； (2)根據(jù)題意畫出示意圖； (3)將需要求解的問題歸納為數(shù)學(xué)問題，即歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，合理地運(yùn)用正、余弦定理求解． ? [例 1] 某觀測(cè)站 C在城 A的南偏西 20176。 CD ＝202＋ 212－ 3122 20 21＝－17， ∴ sin β ＝4 37. 而 sin α ＝ sin( β － 60176。＝ADsin α， ∴ AD ＝21 sin αsin60176。 ， ∠ ADB＝ 45176。 . ∴ AC ＝ CD ＝ 3 . 在 △ BD C 中， ∠ CBD ＝ 180176。 )＝ 60176。 BC － 4 θ ?. ∵ sin4 θ ＝ 2sin2 θ c os2 θ ，所以 c os2 θ ＝32， ∴ θ ＝ 15 176。 ，在山頂 C測(cè)得塔頂 A的俯角為45176。 ， ∠ ACB ＝ 90176。 ， 由正弦定理得 BC ＝AB － 30176。 sin60 176。 30 t ? ＝ 900 t2－ 600 t＋ 400 ＝ 900 ? t－13?2＋ 300 . 故當(dāng) t＝13時(shí)， Sm in＝ 10 3 ， v ＝10 313＝ 30 3 . 即小艇以 30 3 海里 /小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小． ? (2)設(shè)小艇與輪船在 B處相遇． 由題意可得： ( v t )2＝ 202＋ ( 30 t )2－ 2 － 30176。 方向，距 A 9海里的 B處，并以 20海里 /時(shí)的速度沿南偏西 15176。 ＝ 120176。 ， ∴∠ BAC 為銳角， ∠ BAC ≈ 38176。 . ∴ 甲船應(yīng)沿南偏東 7176。 ＝ 135176。 | OF1→| . 故力 F3的大小為 ( 3 ＋ 1) N ，其方向與 F1的夾角成 150176。 ? 10 ＋ r ? 或 ∠ ABO ＝ 176。 sin ∠ AOBsin18 176。 sin ∠ AOBsin18 176。 的方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為 60 km，并以10 km/h的速度不斷增大，問幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？ ? 分析： 本題可以直接進(jìn)行求解，也可以運(yùn)用坐標(biāo)法求解． ? 解析： 解法 1：設(shè) t h后臺(tái)風(fēng)中心為 Q，此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑為 (10t＋ 60)km，若在 t時(shí)刻城市 O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，則OQ≤ 10t＋ 60. ? 由余弦定理知， ? OQ2＝ PQ2＋ PO2－ 2PQ ＝21022＋ 1 －2102 22＝45， ∴ OQ2＝ 202t2－ 9600 t＋ 3002， ∴ 202t2－ 9600 t＋ 3002≤ ( 10 t＋ 60)2， 即 t2－ 36 t＋ 288 ≤ 0 ，解得 12 ≤ t ≤ 24. ? 解法 2：以 O為原點(diǎn)，正東方向?yàn)?x軸的正半軸，建立坐標(biāo)系，如圖所示． 在 t 時(shí)刻，臺(tái)風(fēng)中心 P－( x－， y－) 的坐標(biāo)為 ??????? x－＝ 300 210－ 20 22t，y－＝－ 300 7 210＋ 20 22t . 則此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的區(qū)域是 ( x － x－)2＋ ( y －y－)2≤ [ r ( t )]2，其中 r ( t ) ＝ 10 t＋ 60. 若在 t 時(shí)刻城市 O 受到臺(tái)風(fēng)侵襲，則有 (0 － x－)2＋ (0 － y－)2≤ (10 t＋ 60)2， 即 ( 300 210－ 20 22t )2＋ ( － 300 7 210＋ 20 22t )2≤ ( 10 t＋ 60)2， 即 t2－ 36 t＋ 288 ≤ 0 ， 解得 12 ≤ t ≤ 24. 答： 12 小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲． ? [變式訓(xùn)練 6] (2020 ) ＝ c os θ c os45176。 － γ，影長(zhǎng) AD＝ x為未知量，但 x難以直接與上述諸已知量發(fā)生聯(lián)系，故設(shè) ∠ DAC＝ θ為輔助未知量，以揭示 x與諸已知量之間的數(shù)量關(guān)系，作為溝通橋梁． 解析： 在 △ A DE 中，hs i n ? γ － θ ?＝xs i n ? 90 176。 時(shí)， ∠ AOB ＝ 176。 時(shí)， ∠ AOB ＝ 176。 的角，求此時(shí)地球與金星之間的距離 (地球、金星、太陽(yáng)均視為點(diǎn)，結(jié)果保留 3個(gè)有效數(shù)字 )． ? 分析： 解決本題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角形模型，從而在三角形中進(jìn)行求解．要注意題中給出的已知條件． ? 解
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