【正文】 ATLAB求解 運行結(jié)果為 ： L o c a l m i n i m u m p o s s i b l e . Co n s t ra i n t s s a t i s f i e d . fm i n i m a x s t o p p e d b e c a u s e t h e s i z e o f t h e c u rre n t s e a rc h d i re c t i o n i s l e s s t h a n t w i c e t h e d e f a u l t v a l u e o f t h e s t e p s i z e t o l e ra n c e a n d c o n s t ra i n t s w e re s a t i s f i e d t o w i t h i n t h e d e f a u l t v a l u e o f t h e c o n s t ra i n t t o l e ra n c e . s t o p p i n g c ri t e ri a d e t a i l s A c t i v e i n e q u a l i t i e s (t o w i t h i n o p t i o n s . T o l Co n = 1 e 0 0 6 ) : l o w e r u p p e r i n e q l i n i n e q n o n l i n 1 x = 1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 fv a l = 2 . 4 0 0 0 1 . 2 0 0 0 上述結(jié)果說明該問題的最優(yōu)解為： *[ 1 1 1 ]T?x， 可見最大最小法與前面的線性加權(quán)和法所求得的結(jié)果不同，這主要是因為 所采取的評價標(biāo)準(zhǔn)不同，即評價函數(shù)形式的不同，在實際應(yīng)用中，我們應(yīng)當(dāng)按照實際的需求采用合適的評價函數(shù)，這樣才能取得較為可行的結(jié)果。下面看一個例子 線性目標(biāo)規(guī)劃 線性目標(biāo)規(guī)劃 假設(shè)甲和乙的產(chǎn)量分別為1x噸和2x噸，消耗 A ? ?12xx ?噸，消耗 B 為? ?122 xx ?噸，于是購買原材料所需費用為：? ? ? ?1 2 1 2 1 23 0 0 0 2 0 0 0 2 7 0 0 0 5 0 0 0c x x x x x x? ? ? ? ? ? 銷售這些產(chǎn)品所獲得的總收入為：121 5 0 0 0 1 1 0 0 0I x x??， 以利潤f為目標(biāo)函數(shù)，考 慮到固定費用，可以表達如下： ? ?1 2 1 2 1 21 5 0 0 0 1 1 0 0 0 7 0 0 0 5 0 0 0 3 0 0 0 0 0 8 0 0 0 6 0 0 0 3 0 0 0 0 0f x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 再看該問題的約束條件，由供應(yīng)量約束可得：1 2 1 26 0 。線性規(guī)劃在處理多目標(biāo)問題時通常采用給各個目標(biāo)賦予不同權(quán)重的辦法，但如何將決策者定性的判斷轉(zhuǎn)化為定量的權(quán)重則是一個十分困難的問題，即便是可以求出各個目標(biāo)的權(quán)重，但當(dāng)各個目標(biāo)的量綱不同時 (例如不同的目標(biāo)會分別用金額、人數(shù)、時間等來表示 )，也難以用賦予權(quán)重的辦法將它們歸并到一個目標(biāo)函數(shù)中。這是因為可以在線性目標(biāo)規(guī)劃的每個約束條件中引入一對正負(fù)偏差變量，通過偏差變量可以表達條件是否可以被滿足。線性目標(biāo)規(guī)劃可要求決策者對偏差變量定界，即定出允許其變動的范圍，從而可以通過靈敏度分析來解決多解問題。 那么在上述目標(biāo)描述下，利潤目標(biāo)和訂貨合同是否可以完成，原料是否夠用，是否需要添置？ 線性目標(biāo)規(guī)劃 當(dāng)用線性目標(biāo)規(guī)劃來解此問題時，首先應(yīng)當(dāng)確定共有到達利潤指標(biāo)、完成定貨合同及充分利用庫存這 3 個目標(biāo)，并用d? 和d? 分別表示其正、負(fù)偏差變量，然后按照要求確定這 3 個目標(biāo)的優(yōu)先順序，分為 3 個優(yōu)先級。 1 , 2 , 3 , 4i j jf p d d p d p d dx x d dx d dx x d dx x d dx d d i j? ? ? ? ????????????? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ??? ? ??? 求解可得：12 2 2 . 5 , 4 0xx ??，同時分析各偏差變量可知： ( 1) 110dd????，即恰好完成利潤目標(biāo)； ( 2) 220dd????，即恰好完成訂貨合同； ( 3) 330 , ????，即需要購進 A 原料 2. 5 噸； ( 4) 445 , 0dd????，即原料 B 剩余 5 噸。在例 8 2 中我們已經(jīng)提及了偏差變量、目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)等等，下面對這些概念進行詳細(xì)的分析。引入了目標(biāo)函數(shù)的期望值與正負(fù)偏差變量,dd?? 之后，原來的目標(biāo)函數(shù)變成了約束條件的一部分，這正是線性目標(biāo)規(guī)劃的一個特征。在例 8 3 中設(shè)四種設(shè)備中 C 、 D 設(shè)備屬于上級部門設(shè)備，工廠無權(quán)超額使用，則這種約束稱為系統(tǒng)約束（剛性約束），目標(biāo)約束是指對某種資源的使用可由決策者的目標(biāo)而加以限制的約束，在例 8 3 中設(shè)備 A 、 B 屬于工廠設(shè)備，可根據(jù)目標(biāo)需要加班使用，這種有機動余地的約束稱為目標(biāo)約束（柔性約束）。目標(biāo)規(guī)劃中的達成函數(shù)是偏差變量的函數(shù)，反映了各目標(biāo)得以實現(xiàn)的程度。 為反映這一點，必須給這些偏差變量以適當(dāng)?shù)臋?quán)系數(shù)，注意到在現(xiàn)實的決策環(huán)境中各個目標(biāo)的重要程度是不可能完全 — 致的，決策者總要運用他的判斷能力分析各個目標(biāo)的重要性，給出其輕重緩急，而目標(biāo)規(guī)劃法又允許我們可以根據(jù)目標(biāo)的重要程度給予每個目標(biāo)以不同的優(yōu)先等級．這樣，低級的目標(biāo)只有在高級的目標(biāo)完成之后才順序考慮以后我們將會看到在相同的條件之下，對于不同的權(quán)系數(shù)與不同的優(yōu)先等級會得出完全不同的最優(yōu)方案。權(quán)系數(shù)是一種可以用數(shù)量來衡量的指標(biāo)，對屬于同一優(yōu)先等級的不同目標(biāo)可按其重要程度分別給予不同的權(quán)系數(shù)來反映各目標(biāo)的差異。決策者可根據(jù)變化通過調(diào)整優(yōu)先等級和權(quán)系數(shù)來求出不同方案，以適應(yīng)問題的變化 線性目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 一般線性目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型： ? ?1111m in. , 1 , 2 , ..., 1 , 2 , ...,0 , 1 , 2 , ..., 0 , 1 , 2 , ...,kmi ij j ij jijnij j ijnij j i i ijjiif p f d f da x b i lc x d d e i mx j nd d i m? ? ? ?????????????????????? ? ? ?????????????? jx：多目標(biāo)規(guī)劃問題的設(shè)計變量；ija：系統(tǒng)約束的系數(shù)；ijc：目標(biāo)約束的系數(shù)； ib：第 i 個約束的右端常數(shù)；ie：第 i 個目標(biāo)的期望值；ip：目標(biāo)的優(yōu)先級別（優(yōu)先因子）； ijf?：ip級目標(biāo)中id? 的系數(shù)；ijf?：ip級目標(biāo)中id? 的系數(shù)；id? ,id? ：偏差變量。一般比較重要的偏差變量應(yīng)賦子較大的權(quán)系數(shù)。 設(shè)計如下變量： 1x：全體全時售貨員下月的工作時間（小時） 2x：全體半時售貨員下月的工作時間（小時） 1d? ：達不到銷售目標(biāo)的負(fù)偏差 1d? ：超過銷售目標(biāo)的正偏差 由于制定的目標(biāo)為銷售量 5500 ，于是該約束可以表達為： 1 2 1 15 2 5500x x d d??? ? ? ? 線性目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 ② 正常工作時間約束 銷售時間由兩種售貨員的正常工作時數(shù)和人數(shù)所決定。 則有約束條件： 1 2 2 2 3 3800 。在前面的約束中我們不能得到一個偏差變量使之滿足這個目標(biāo)，所以必須引進新的約束條件 ，故 把全時售貨員加班時間列為第四個目標(biāo)。 由于2d?代表全體售貨員實際加班時間，于是設(shè)計如下偏差變量： 21d?： 全體全 時 售貨員 下月加班不足 100 小時的負(fù)偏差 ； 21d?： 全體全時售貨員下月加班超過 100 小時的正偏差 。于是有：全時售貨員每加班 l 小時，賣出 5 張唱片的總利潤為 15 元，扣去加班費 9 元，則商店得利潤 15 9= 6 元。在求解過程中進基變量、出基變量及樞點元素的選擇原則與線性規(guī)劃的單純形法相同，不同的是要以不影響較高級目標(biāo)的達成值為前提選擇較低級目標(biāo)的達成值，如此反復(fù)迭代，直至進行到最低級目標(biāo)的達成函數(shù)達最優(yōu)為止。 1 , 2 , 3 , 4i j jf p d p d p d dx x d dx x d dx x d dx x d dx d d i j? ? ? ????????????? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ??? ? ??? 序列法 第一步，計算1p等級目標(biāo)的最優(yōu)解。 由最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值知道，因為30d??，故1p優(yōu)先目標(biāo)已經(jīng)達到最優(yōu)。 3 , 4i j jf p dx x d dddx x d dx d d i j?????????? ??? ? ? ???????? ? ? ??? ? ??? 其中，約束條件 l 是1p目標(biāo)的目標(biāo)約束；約束條件 2 是1p目標(biāo)達到最優(yōu)時該目標(biāo)方程中設(shè)計變量的值，該約束用于保證在求解當(dāng)前2p目標(biāo)最優(yōu)值時，1p目標(biāo)的最優(yōu)值不被改變。 由于440dd????，表明440dd????，所以，在后面其他優(yōu)先等級目標(biāo)對應(yīng)的線性規(guī)劃模型中只有加上440dd????和330dd????的約束，才能保證求解時不影響1p等級目標(biāo)和2p等級目 標(biāo)已經(jīng)得到的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值。新增加的約束條件 5 和約束條件 6 是對應(yīng)于3p等級目標(biāo)的目標(biāo)約束。因為，最后的這個線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型中已經(jīng)包含1p目標(biāo)和2p目標(biāo)的目標(biāo)約束以及 它們的最優(yōu)解信息。 將目標(biāo)函數(shù)變?yōu)? 1 2m i n d d????，得到最優(yōu)解為：129 0 0 0 , 7 0 0 0 ,xx ?? 1 2 3 3 4 45000 , 3000 , 0d d d d d d? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?于是得到最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值*31800f ?。 ( 1) 建立由3p等級目標(biāo)構(gòu)成的單一目標(biāo)線性規(guī)劃模型如下： ? ?3 1 21 2 3 3331 2 4 4441 2 1 11 2 2 2m in . 1600003 4 5500002 202302 3 36000, , 0 , 1 , 2 。 ( 2) 用單純形法求解 將目標(biāo)函數(shù)變換為24mi n fd??，得到最優(yōu)解：1 2 3 3 4 49000 , 7000 , 0x x d d d d? ? ? ?? ? ? ? ? ?， *20f ?。 序列法 第二步，計算2p等級目標(biāo)的最優(yōu)解。 將 目標(biāo)函數(shù)變換為13m i n fd??，用線性規(guī)劃的方法求解， 一個最優(yōu)解是：1 2 3 3160 00 , 0 , 0x x d d??? ? ? ?； 另一個最優(yōu)解是：2 1 3 3160 00 , 0 , 0x x d d??? ? ? ?。 第五步 ： 最后一個單目標(biāo)線性規(guī)劃模型的解是原目標(biāo)規(guī)劃模型的解，并且如下向量： ? ?* * * *12, , . . . ,kf f f?f 也反映了各目標(biāo)實現(xiàn)的程度亦稱達成向量。因此，全時的和半時售貨員加班 1 小時所獲得利潤的比為 3: 1 ，故權(quán)因子之比為23: 1 : 3dd??? 線性目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 所以，這個問題的目標(biāo)規(guī)劃模型為： ? ? ? ?1 1 2 21 3 2 3 4 3 21 2 1 11 2 22 3 32 21 2121 21m