【正文】 ATLAB求解 運(yùn)行結(jié)果為 ： L o c a l m i n i m u m p o s s i b l e . Co n s t ra i n t s s a t i s f i e d . fm i n i m a x s t o p p e d b e c a u s e t h e s i z e o f t h e c u rre n t s e a rc h d i re c t i o n i s l e s s t h a n t w i c e t h e d e f a u l t v a l u e o f t h e s t e p s i z e t o l e ra n c e a n d c o n s t ra i n t s w e re s a t i s f i e d t o w i t h i n t h e d e f a u l t v a l u e o f t h e c o n s t ra i n t t o l e ra n c e . s t o p p i n g c ri t e ri a d e t a i l s A c t i v e i n e q u a l i t i e s (t o w i t h i n o p t i o n s . T o l Co n = 1 e 0 0 6 ) : l o w e r u p p e r i n e q l i n i n e q n o n l i n 1 x = 1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 fv a l = 2 . 4 0 0 0 1 . 2 0 0 0 上述結(jié)果說明該問題的最優(yōu)解為： *[ 1 1 1 ]T?x， 可見最大最小法與前面的線性加權(quán)和法所求得的結(jié)果不同，這主要是因?yàn)?所采取的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)不同，即評(píng)價(jià)函數(shù)形式的不同，在實(shí)際應(yīng)用中，我們應(yīng)當(dāng)按照實(shí)際的需求采用合適的評(píng)價(jià)函數(shù)，這樣才能取得較為可行的結(jié)果。下面看一個(gè)例子 線性目標(biāo)規(guī)劃 線性目標(biāo)規(guī)劃 假設(shè)甲和乙的產(chǎn)量分別為1x噸和2x噸，消耗 A ? ?12xx ?噸，消耗 B 為? ?122 xx ?噸，于是購(gòu)買原材料所需費(fèi)用為：? ? ? ?1 2 1 2 1 23 0 0 0 2 0 0 0 2 7 0 0 0 5 0 0 0c x x x x x x? ? ? ? ? ? 銷售這些產(chǎn)品所獲得的總收入為：121 5 0 0 0 1 1 0 0 0I x x??， 以利潤(rùn)f為目標(biāo)函數(shù)，考 慮到固定費(fèi)用，可以表達(dá)如下： ? ?1 2 1 2 1 21 5 0 0 0 1 1 0 0 0 7 0 0 0 5 0 0 0 3 0 0 0 0 0 8 0 0 0 6 0 0 0 3 0 0 0 0 0f x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 再看該問題的約束條件，由供應(yīng)量約束可得：1 2 1 26 0 。線性規(guī)劃在處理多目標(biāo)問題時(shí)通常采用給各個(gè)目標(biāo)賦予不同權(quán)重的辦法，但如何將決策者定性的判斷轉(zhuǎn)化為定量的權(quán)重則是一個(gè)十分困難的問題，即便是可以求出各個(gè)目標(biāo)的權(quán)重，但當(dāng)各個(gè)目標(biāo)的量綱不同時(shí) (例如不同的目標(biāo)會(huì)分別用金額、人數(shù)、時(shí)間等來表示 )，也難以用賦予權(quán)重的辦法將它們歸并到一個(gè)目標(biāo)函數(shù)中。這是因?yàn)榭梢栽诰€性目標(biāo)規(guī)劃的每個(gè)約束條件中引入一對(duì)正負(fù)偏差變量，通過偏差變量可以表達(dá)條件是否可以被滿足。線性目標(biāo)規(guī)劃可要求決策者對(duì)偏差變量定界，即定出允許其變動(dòng)的范圍，從而可以通過靈敏度分析來解決多解問題。 那么在上述目標(biāo)描述下，利潤(rùn)目標(biāo)和訂貨合同是否可以完成，原料是否夠用，是否需要添置？ 線性目標(biāo)規(guī)劃 當(dāng)用線性目標(biāo)規(guī)劃來解此問題時(shí)，首先應(yīng)當(dāng)確定共有到達(dá)利潤(rùn)指標(biāo)、完成定貨合同及充分利用庫(kù)存這 3 個(gè)目標(biāo)，并用d? 和d? 分別表示其正、負(fù)偏差變量，然后按照要求確定這 3 個(gè)目標(biāo)的優(yōu)先順序，分為 3 個(gè)優(yōu)先級(jí)。 1 , 2 , 3 , 4i j jf p d d p d p d dx x d dx d dx x d dx x d dx d d i j? ? ? ? ????????????? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ??? ? ??? 求解可得：12 2 2 . 5 , 4 0xx ??，同時(shí)分析各偏差變量可知： ( 1) 110dd????，即恰好完成利潤(rùn)目標(biāo)； ( 2) 220dd????，即恰好完成訂貨合同； ( 3) 330 , ????，即需要購(gòu)進(jìn) A 原料 2. 5 噸； ( 4) 445 , 0dd????，即原料 B 剩余 5 噸。在例 8 2 中我們已經(jīng)提及了偏差變量、目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)等等，下面對(duì)這些概念進(jìn)行詳細(xì)的分析。引入了目標(biāo)函數(shù)的期望值與正負(fù)偏差變量,dd?? 之后，原來的目標(biāo)函數(shù)變成了約束條件的一部分，這正是線性目標(biāo)規(guī)劃的一個(gè)特征。在例 8 3 中設(shè)四種設(shè)備中 C 、 D 設(shè)備屬于上級(jí)部門設(shè)備，工廠無(wú)權(quán)超額使用，則這種約束稱為系統(tǒng)約束（剛性約束），目標(biāo)約束是指對(duì)某種資源的使用可由決策者的目標(biāo)而加以限制的約束，在例 8 3 中設(shè)備 A 、 B 屬于工廠設(shè)備，可根據(jù)目標(biāo)需要加班使用，這種有機(jī)動(dòng)余地的約束稱為目標(biāo)約束（柔性約束）。目標(biāo)規(guī)劃中的達(dá)成函數(shù)是偏差變量的函數(shù)，反映了各目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)的程度。 為反映這一點(diǎn)，必須給這些偏差變量以適當(dāng)?shù)臋?quán)系數(shù)，注意到在現(xiàn)實(shí)的決策環(huán)境中各個(gè)目標(biāo)的重要程度是不可能完全 — 致的，決策者總要運(yùn)用他的判斷能力分析各個(gè)目標(biāo)的重要性，給出其輕重緩急，而目標(biāo)規(guī)劃法又允許我們可以根據(jù)目標(biāo)的重要程度給予每個(gè)目標(biāo)以不同的優(yōu)先等級(jí)．這樣，低級(jí)的目標(biāo)只有在高級(jí)的目標(biāo)完成之后才順序考慮以后我們將會(huì)看到在相同的條件之下，對(duì)于不同的權(quán)系數(shù)與不同的優(yōu)先等級(jí)會(huì)得出完全不同的最優(yōu)方案。權(quán)系數(shù)是一種可以用數(shù)量來衡量的指標(biāo)，對(duì)屬于同一優(yōu)先等級(jí)的不同目標(biāo)可按其重要程度分別給予不同的權(quán)系數(shù)來反映各目標(biāo)的差異。決策者可根據(jù)變化通過調(diào)整優(yōu)先等級(jí)和權(quán)系數(shù)來求出不同方案，以適應(yīng)問題的變化 線性目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 一般線性目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型： ? ?1111m in. , 1 , 2 , ..., 1 , 2 , ...,0 , 1 , 2 , ..., 0 , 1 , 2 , ...,kmi ij j ij jijnij j ijnij j i i ijjiif p f d f da x b i lc x d d e i mx j nd d i m? ? ? ?????????????????????? ? ? ?????????????? jx：多目標(biāo)規(guī)劃問題的設(shè)計(jì)變量；ija：系統(tǒng)約束的系數(shù)；ijc：目標(biāo)約束的系數(shù)； ib：第 i 個(gè)約束的右端常數(shù)；ie：第 i 個(gè)目標(biāo)的期望值；ip：目標(biāo)的優(yōu)先級(jí)別（優(yōu)先因子）； ijf?：ip級(jí)目標(biāo)中id? 的系數(shù)；ijf?：ip級(jí)目標(biāo)中id? 的系數(shù)；id? ,id? ：偏差變量。一般比較重要的偏差變量應(yīng)賦子較大的權(quán)系數(shù)。 設(shè)計(jì)如下變量： 1x：全體全時(shí)售貨員下月的工作時(shí)間（小時(shí)） 2x：全體半時(shí)售貨員下月的工作時(shí)間（小時(shí)） 1d? ：達(dá)不到銷售目標(biāo)的負(fù)偏差 1d? ：超過銷售目標(biāo)的正偏差 由于制定的目標(biāo)為銷售量 5500 ，于是該約束可以表達(dá)為： 1 2 1 15 2 5500x x d d??? ? ? ? 線性目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 ② 正常工作時(shí)間約束 銷售時(shí)間由兩種售貨員的正常工作時(shí)數(shù)和人數(shù)所決定。 則有約束條件： 1 2 2 2 3 3800 。在前面的約束中我們不能得到一個(gè)偏差變量使之滿足這個(gè)目標(biāo)，所以必須引進(jìn)新的約束條件 ，故 把全時(shí)售貨員加班時(shí)間列為第四個(gè)目標(biāo)。 由于2d?代表全體售貨員實(shí)際加班時(shí)間，于是設(shè)計(jì)如下偏差變量： 21d?： 全體全 時(shí) 售貨員 下月加班不足 100 小時(shí)的負(fù)偏差 ； 21d?： 全體全時(shí)售貨員下月加班超過 100 小時(shí)的正偏差 。于是有：全時(shí)售貨員每加班 l 小時(shí)，賣出 5 張唱片的總利潤(rùn)為 15 元，扣去加班費(fèi) 9 元，則商店得利潤(rùn) 15 9= 6 元。在求解過程中進(jìn)基變量、出基變量及樞點(diǎn)元素的選擇原則與線性規(guī)劃的單純形法相同，不同的是要以不影響較高級(jí)目標(biāo)的達(dá)成值為前提選擇較低級(jí)目標(biāo)的達(dá)成值，如此反復(fù)迭代，直至進(jìn)行到最低級(jí)目標(biāo)的達(dá)成函數(shù)達(dá)最優(yōu)為止。 1 , 2 , 3 , 4i j jf p d p d p d dx x d dx x d dx x d dx x d dx d d i j? ? ? ????????????? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ??? ? ??? 序列法 第一步，計(jì)算1p等級(jí)目標(biāo)的最優(yōu)解。 由最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值知道，因?yàn)?0d??，故1p優(yōu)先目標(biāo)已經(jīng)達(dá)到最優(yōu)。 3 , 4i j jf p dx x d dddx x d dx d d i j?????????? ??? ? ? ???????? ? ? ??? ? ??? 其中，約束條件 l 是1p目標(biāo)的目標(biāo)約束；約束條件 2 是1p目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)時(shí)該目標(biāo)方程中設(shè)計(jì)變量的值，該約束用于保證在求解當(dāng)前2p目標(biāo)最優(yōu)值時(shí)，1p目標(biāo)的最優(yōu)值不被改變。 由于440dd????，表明440dd????，所以，在后面其他優(yōu)先等級(jí)目標(biāo)對(duì)應(yīng)的線性規(guī)劃模型中只有加上440dd????和330dd????的約束，才能保證求解時(shí)不影響1p等級(jí)目標(biāo)和2p等級(jí)目 標(biāo)已經(jīng)得到的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值。新增加的約束條件 5 和約束條件 6 是對(duì)應(yīng)于3p等級(jí)目標(biāo)的目標(biāo)約束。因?yàn)?，最后的這個(gè)線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型中已經(jīng)包含1p目標(biāo)和2p目標(biāo)的目標(biāo)約束以及 它們的最優(yōu)解信息。 將目標(biāo)函數(shù)變?yōu)? 1 2m i n d d????，得到最優(yōu)解為：129 0 0 0 , 7 0 0 0 ,xx ?? 1 2 3 3 4 45000 , 3000 , 0d d d d d d? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?于是得到最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值*31800f ?。 ( 1) 建立由3p等級(jí)目標(biāo)構(gòu)成的單一目標(biāo)線性規(guī)劃模型如下： ? ?3 1 21 2 3 3331 2 4 4441 2 1 11 2 2 2m in . 1600003 4 5500002 202302 3 36000, , 0 , 1 , 2 。 ( 2) 用單純形法求解 將目標(biāo)函數(shù)變換為24mi n fd??，得到最優(yōu)解：1 2 3 3 4 49000 , 7000 , 0x x d d d d? ? ? ?? ? ? ? ? ?， *20f ?。 序列法 第二步，計(jì)算2p等級(jí)目標(biāo)的最優(yōu)解。 將 目標(biāo)函數(shù)變換為13m i n fd??，用線性規(guī)劃的方法求解， 一個(gè)最優(yōu)解是：1 2 3 3160 00 , 0 , 0x x d d??? ? ? ?； 另一個(gè)最優(yōu)解是：2 1 3 3160 00 , 0 , 0x x d d??? ? ? ?。 第五步 ： 最后一個(gè)單目標(biāo)線性規(guī)劃模型的解是原目標(biāo)規(guī)劃模型的解，并且如下向量： ? ?* * * *12, , . . . ,kf f f?f 也反映了各目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的程度亦稱達(dá)成向量。因此，全時(shí)的和半時(shí)售貨員加班 1 小時(shí)所獲得利潤(rùn)的比為 3: 1 ，故權(quán)因子之比為23: 1 : 3dd??? 線性目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 所以，這個(gè)問題的目標(biāo)規(guī)劃模型為： ? ? ? ?1 1 2 21 3 2 3 4 3 21 2 1 11 2 22 3 32 21 2121 21m