【正文】 效果的平方和。第五節(jié)： 2k 因子設(shè)計解 :考慮因子水平每一種組合下兩次觀察值的和 (n=2), 可得出：按公式計算出各因子及交互作用的效果值第五節(jié)： 2k 因子設(shè)計再算出各個離差平方和：SA = 1/8n (對照 )2 = SB = 1/8n (對照 )2 = SC = 1/8n (對照 )2 = 類似地還可以得出： SAB=， SAC=， SBC=， SABC=再求總離差平方和為第五節(jié)： 2k 因子設(shè)計方差分析表給出 α=, 查出 (1, 8)=可以看出 FA， FB， FC都大于 ，其余的 F都小于 ，說明因子 A， B， C對試驗都有顯著影響，交互作用無顯著影響。所有符號都采用前面用過的，與前面有相同的意義。誤差的自由度為 2k (n 1).第五節(jié)： 2k 因子設(shè)計什么是 3K因子設(shè)計 :試驗中共有 k個因子，每個因子有 3個水平。例如在 32設(shè)計中， 00表示因素組合對應于 A， B都在低水平；02表示 A在低水平， B在高水平； 11表示 A、 B都在中水平； … 在 33設(shè)計中， 000 表示 A， B， C都在低水平； 012 表示 A在低水平， B在中水平， C在高水平； 221表示 A， B都在高水平， C在中水平； … 第六節(jié)： 3k 因子設(shè)計32設(shè)計 :這是 3k因子設(shè)計中最簡單的一種設(shè)計。測得結(jié)果如表，其中括號內(nèi)的數(shù)字是 4次觀察值的和。因子的水平組合共有 27個；這27個組合有 26個自由度，每個因子的主要效果有兩個自由度，每一個兩因子的交互作用有 4個自由度， 3個因子的交互作用有 8個自由度。 FAB = ，交互作用 AB在 5%的顯著性水平下影響是明顯的。 3K設(shè)計有 k個因子，每個因子 3個水平。一般的個 h個因子的交互作用其自由度為 2h。試驗結(jié)果之所以有差異，一是由因素水平的變化所引起的，二是因為有試驗誤差。 j = 1, 2, …, a) ，則有由單因素的方差分析記為 其中Ki 表示因素的第 i 個水平 a次試驗結(jié)果的和。如果交互作用占兩列，則交互作用的離差的平方和等于這兩列的離差的平方和之和。這個比值的大小反映了各因素對試驗結(jié)果影響程度的大小。某生產(chǎn)廠過去這項指標的合格率較低，從而希望通過試驗找出好的條件，以提高磁鼓電機的輸出力矩。第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析解 ： (選用正交表 L27(313)根據(jù)前面的公式作如下計算：第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析由此得出類似地最后計算總平方和，得出第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析用公式計算自由度：再用公式計算平均離差的平方和，然后計算 F值，再與 F分布表中查出的相應的臨界值 Fα(f因 ， fE)比較，判斷各因素顯著性的大小。因素 A應取第 1水平，因素 B應取第 3水平，因素 C應取第 3水平。第三節(jié)： 2水平正交設(shè)計的方差分析例 3:某農(nóng)藥廠生產(chǎn)某種農(nóng)藥，指標是農(nóng)藥的收率，顯然是越大越好。試進行方差分析。這樣最后確定下來的最優(yōu)方案應當是 A2B1C2D2。根據(jù)冷加工變形量，在該合金技術(shù)要求范圍內(nèi) ,硬度越低越好。為提高分析精度，我們只考慮因素 B，把因素 A， C都并入誤差。為了提高除銹效率，縮短酸洗時間，先安排酸洗試驗。據(jù)經(jīng)驗知，海鷗牌比OP牌的效果好，故虛擬第 2水平并安排在第 1列。因素重要性的順序為 DCAB，最優(yōu)方案為 A3B1C2D3.第五節(jié)：擬水平法的方差分析第六節(jié)：重復試驗的方差分析重復試驗就是對每個試驗號重復多次，這樣能很好地估計試驗誤差，它的方差分析與無重復試驗基本相同?，F(xiàn)欲取消這道工序，為此要做試驗。選用 L4(23)正交表安排試驗，每個試驗號重復 5次，試驗結(jié)果列于后附表中。如果因素狀態(tài)的變化對產(chǎn)品性能的影響不大，我們就說產(chǎn)品性能對該因素的變化是不敏感的，又稱是穩(wěn)健性的，或說產(chǎn)品性能對該因素的變化具有穩(wěn)健性。根據(jù)這種指導思想，對產(chǎn)品的性能、質(zhì)量和成本綜合考慮，選擇出最佳設(shè)計，既提高了產(chǎn)品質(zhì)量，又降低了成本，這種設(shè)計方法叫做穩(wěn)健設(shè)計；穩(wěn)健設(shè)計是一種最優(yōu)化設(shè)計方法，它的兩個主要工具是信噪比和正交表，用信噪比作為特征數(shù)衡量質(zhì)量，用正交表安排試驗。前者是將損失模型轉(zhuǎn)化為信噪比指標并作為衡量產(chǎn)品的特征值；后者是用正交表通過對試驗因子水平的安排和試驗以確定參數(shù)值的最佳組合。基于容差模型的穩(wěn)健設(shè)計就是這類方法中的一種。第一節(jié)：穩(wěn)健性和穩(wěn)健設(shè)計質(zhì)量波動：同樣的產(chǎn)品，其質(zhì)量特性值也是參差不齊的。由于情況的復雜性，要確定質(zhì)量損失的確切數(shù)值是很困難的，我們引進質(zhì)量損失函數(shù)來從數(shù)量上描述質(zhì)量損失。設(shè) △ 0為容差，由于二次函數(shù)的對稱性，則有 L(m △ 0)=L(m+ △ 0)= A0A0 為。設(shè)目標值為 m，當 y=m時質(zhì)量損失最小，視 L(m)=0。由于產(chǎn)品具有質(zhì)量波動性，因此，產(chǎn)品經(jīng)用戶使用一段時間后，精度就會下降，輸出功能不穩(wěn)定。基于隨機模型的穩(wěn)健設(shè)計 ：當穩(wěn)健設(shè)計問題的可控因素 x和不可控因素 (噪聲因素 )z為一些隨機變量時，采用隨機模型和隨機變量優(yōu)化方法進行穩(wěn)健設(shè)計或穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計是十分有效的。把響應面法應用于穩(wěn)健設(shè)計一般分為 3個階段：因素的篩分、尋域和優(yōu)化。從廣義上說， Taguchi 穩(wěn)健設(shè)計包括參數(shù)設(shè)計和容差設(shè)計兩個方面的內(nèi)容。對這些誤差因素可以采取兩種辦法：1) 消除這些因素。第六節(jié)：重復試驗的方差分析正交試驗模型的判斷：判斷方法：作 業(yè) 要 求第一節(jié)：穩(wěn)健性和穩(wěn)健設(shè)計第二節(jié)：質(zhì)量損失函數(shù)第三節(jié)：產(chǎn)品的三階段設(shè)計第四節(jié)：信噪比及其應用第五節(jié)：穩(wěn)健設(shè)計步驟第四講：穩(wěn)健設(shè)計和三階段設(shè)計穩(wěn)健性：穩(wěn)健性 (robustness), 在一些技術(shù)文獻中也叫魯棒性，是指因素狀況發(fā)生微小變差對因變量影響的不敏感性。本試驗考慮 2個因素 ,每個因素 2個水平。 fE2 = n(r 1)第六節(jié)：重復試驗的方差分析例 6:硅鋼帶取消空氣退火工藝試驗。因此，離差平方和為：其余因素的離差平方和為誤差的離差平方和為：第五節(jié)：擬水平法的方差分析方差分析表：從 F值和臨界值比較看出，各因素均無顯著影響，相對來說，因素 D的影響大些。在除銹效果達到要求的情況下，酸洗時間越短越好。第四節(jié)：混合型正交設(shè)計的方差分析方差分析表 (2)：臨界值 (1， 6) = , (1, 6) = 從 F值和臨界值的比較來看，因素 B就是顯著性因素了。考察的指標是洛氏硬度 (HR)，經(jīng)分析研究，要考慮的因素有 3個： 退火溫度 A，保溫時間 B，冷卻介質(zhì) C。第三節(jié)： 2水平正交設(shè)計的方差分析混合型正交設(shè)計的方差分析，本質(zhì)上與一般水平數(shù)相等正交設(shè)計的方差分析相同，只要在計算時注意到各水平數(shù)的差別就行了。只有誤差的均方為計算 F比：第三節(jié)： 2水平正交設(shè)計的方差分析方差分析表：第三節(jié)： 2水平正交設(shè)計的方差分析方差分析 :從方差分析表中 F值的大小看出，各因素對試驗影響大小的順序為 C， AXB， B， A， D。每個因素都是兩水平，具體情況見表。從表中看出，當 A取第 1水平、 B取第 3水平時，試驗結(jié)果為 ，是所有結(jié)果中的最大值，因此可取 A1B3， 這與前面單獨考慮因素A， B時所得出的結(jié)果是一致的。第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析方差分析表：因為 SAXC和 SBXC都很小，和誤差項合并，作為誤差項。每個因素都取 3個水平，具體數(shù)值見表。將在 “求 F 比 ”中算出的 F值與該臨界值比較，若 F Fα(f因 ， fE)，說明該因素對試驗結(jié)果的影響顯著，兩數(shù)差別越大，說明該因素的顯著性越大。為了消除項數(shù)的影響，我們計算它們的平均離差的平方和。用同樣的方法可以計算其它因素的離差平方和。設(shè)因素 A安排在正交表的某列，可看作單因素試驗。主要效果和交互作用的平方和用因子設(shè)計的通常的方法計算出來。 3K設(shè)計共有 3K個因子水平組合， (3K1)個自由度?？傊?，操作人員的技術(shù)水平和操作壓力對試驗的影響是很顯著的。試分析管嘴形狀、操作人員、工作壓力及其交互作用對飲料損失量的影響 。 α=第六節(jié)： 3k 因子設(shè)計解 :因為 a=b=3, n=4, abn=36,計算各平方和：第六節(jié)： 3k 因子設(shè)計方差分析表 :因為 (2,27) = , (4, 27) = FA = , FB = ，所以材料類型和溫度的效果都是顯著的，尤其是溫度更為顯著FAxB = ，所以材料類型和溫度之間有較顯著的交互作用。如果每個組合做 n次重復試驗，總和的自由度為 (n32 1)，誤差的自由度為(n32 1) 8 = 32(n 1)第六節(jié)： 3k 因子設(shè)計例 5:蓄電池的最大輸出電壓受極板材料和電池安放位置的溫度的影響。 3k設(shè)計中的每一個因素組合用 k個數(shù)字表示。效果的對照由下式的展開式確定。 2K設(shè)計有 k個因子，每個因子 2個水平。其中；因子 A為碳酸飽和百分比，有 2個水平： 10%， 12%；因子 B為操作壓力 (105Pa), 有 2個水平： ， 因子 C為線速度 ()， 有 2個水平： ， 共有 8個不同的組合，每個組合測 2個數(shù)值 (碳酸鹽量 )，經(jīng)處理后列于表中。第五節(jié)： 2k 因子設(shè)計23設(shè)計 :23因子設(shè)計有 3個因子 A， B， C，每個因子都是兩個水平。第五節(jié)： 2k 因子設(shè)計方差分析 :定義 ：若有線性組合 滿足約束條件 ，則稱這樣的線性組合為對照 (contrast)，并記為 : (對照 )C=根據(jù)前面的式子，我們可以定義因子 A， B，交互作用 AxB的總效果分別為 : (對照 )A = ab + a b l (對照 )B = ab + b a l (對照 )AB = ab + l a b因此， A， B， AB的平方和分別為 :SA = 1/4n (對照 )2=(ab+abl)2 / 4nSB = 1/4n (對照 )2=(ab+bal)2 / 4nSAB = 1/4n (對照 )2=(ab+lab)2 / 4n第五節(jié)： 2k 因子設(shè)計例 3:考慮一個化學反應過程，這里有兩個因素：因素 A為反應物的濃度 ,它有兩個水平， 15%, 25%, 因素 B為催化劑的是否使用，有兩個水平 :不用、用。我們對 2K設(shè)計作如下假設(shè)：1) 因子是固定的；2) 設(shè)計是完全隨機的；3) 一般都滿足正態(tài)性假定；4) 反應近似于線性；第五節(jié)： 2k 因子設(shè)計22設(shè)計 :這是 2k因子設(shè)計中最簡單的一種設(shè)計 ,每個因子的兩個水平可以用 “低 ”和 “高 ”來作一般性的描述。因子 A的主要效果是因子 B的主要效果是分別畫出這兩種情況的圖形： 交互作用是不能忽視的 有時它比因子的作用還 大。第四節(jié)：因子設(shè)計的一般概念例 :設(shè)某一試驗有兩個因子 A和 B，因子 A有兩個水平 A1， A2，因子 B兩個水平 B1， B2，試驗所得數(shù)據(jù)如表。使用因子設(shè)計方法，在每一個完全的試驗或試驗的多次重復中，各個因子的各個水平的所有可能的組合都要考慮。SB的自由度為 ( b 1)。SAxB的自由度為 (a1)(b1):SE的自由度為 ab(n1)。從而有如下判斷：若 F 1 Fα (a 1, (a1)(b1))， 則拒絕 HA0， 否則就接受；若 F2 Fα (b 1, (a1)(b1))， 則拒絕 Hbo， 否則就接受；為了方便計算，我們采用下面的簡便計算公式：第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析方差分析表 :第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析例 2： (雙因素無交互作用的方差分析 )使用 4種燃料， 3種推進器作火箭射程試驗，每一種組合情況做一次試驗，則得火箭射程列在表中，試分析各種燃料 (Ai)與各種推進器 (Bj)對火箭射程有無顯著影響 (α=)第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析解 :設(shè)火箭的射程為 : xij =μ+αi+βj+εij, i =1, 2, 3, 4, j = 1, 2, 3原假設(shè) HA0: α１ =α２ =α３ =α４ =0 HB0: β１ =β２ =β３ =0備擇假設(shè) HA1:αi=0, 至少一個 i HB1:βj=0, 至少一個 j這里 a=4, b=3, ab=12第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析解 (2):給出的 α=, 查出 (3, 6)=, (2, 6) = 因為 F1=, F2=