【正文】 12 23 34 45 維修費用 5 6 8 11 18 （ 2） 方法：將此問題用一個賦權(quán)有向圖來描述 ， 然后求這個賦權(quán)有向圖的最短路 。若購置設(shè)備，每年需支付購置費用；若繼續(xù)使用舊設(shè)備，需要支付維修與運行費用，而且隨著設(shè)備的老化會逐年增加。 我們把這樣的圖 D叫做一個容量網(wǎng)絡(luò) ， 簡稱網(wǎng)絡(luò) ， 記做 D=（ V， E， C） 。 fij＞ 0 的弧為非零流弧，fij＝ 0 的弧叫做零流弧。 ?? ?????????????????????),(0),(0jijijijijijivvcfvvcf?推論 可行流 f 是最大流的充分必要條件是不存在從 vs到 vt 的關(guān)于 f 的一條可增廣鏈。 SS, SvSv ts ?? ,S ),( SS )( S ),( SSCvs v1 v2 v4 v3 vt 3 7 4 5 5 6 3 7 8 S ),( 2vvS s? ),( 431 tvvvvS ? ? ?),(,),(,),(),( 32421 vvvvvvSS s? 18567),( 23241 ??????? lllSSC s2v1v 3v 4v 5v6v 7v 13 (5) 9 (3) 4 (1) 5 (3) 6(3) 5 (2) 5 (2) 5 (0) 4 (2) 4 (1) 9 (5) 10 (1) ? ?),(),(),(),( 75423121 vvvvvvVV ?設(shè) ， ? ?5211 , vvvV ?則截集為 ? ?76432 , vvvV ? 不是該集中的弧和而 ),( ),( 5423 vvvv容量為 24 2v1v 3v 4v 5v6v 7v 13 (5) 9 (3) 4 (1) 5 (3) 6(3) 5 (2) 5 (2) 5 (0) 4 (2) 4 (1) 9 (5) 10 (1) 設(shè) ， ? ?211 , vvV ??則截集為 ? ?765432 , vvvvvV ?? ? ?),(),(),(),( 52423121 vvvvvvVV ???容量為 20 （ 二 ） 求最大流的標號法 標號過程： 1． 給發(fā)點 vs 標號（ 0， +∞）。 }),(min{1 ???? ?? jijiji vvfc }),(min{2 ??? ?jiji vvf),min(21 ??? ??????????????? ???????),(),(),(jijijijijijijivvfvvfvvff 求下圖所示網(wǎng)絡(luò)中的最大流，弧旁數(shù)為 ),( jiji fc(1 ,1) v2 v1 v4 v3 vs vt (3 , 3) (5 , 1) (1 , 1) (4 ,3) (2 , 2) (3 ,0) (5 ,3) (2 ,1) (1 ,1) v2 v1 v4 v3 vs vt (3 , 3) (5 , 1) (1 , 1) (4 ,3) (2 , 2) (3 ,0) (5 ,3) (2 ,1) （ 0， +∞） （ v1, 1） （ + vs , 4） （ v2 ， 1） （ +v2， 1） (+ v3 ， 1) (1 ,0) v2 v1 v4 v3 vs vt (3 , 3) (5 , 2) (1 , 0) (4 ,3) (2 , 2) (3 ,0) (5 ,3) (2 ,2) (1 ,0) v2 v1 v4 v3 vs vt (3 , 3) (5 , 2) (1 , 0) (4 ,3) (2 , 2) (3 ,0) (5 ,3) (2 ,2) （ 0， +∞） （ + vs , 3） )},(,),{( 4321 ts vvvvvv最小截集 2v1v 3v 4v 5v6v 7v 13 (5) 9 (3) 4 (1) 5 (3) 6(3) 5 (2) 5 (2) 5 (0) 4 (2) 4 (1) 9 (5) 10 (1) 2v1v 3v 4v 5v6v 7v 13 (11) 9 (9) 4 (0) 5 (5) 6(6) 5 (5) 5 (4) 5 (4) 4 (4) 4 (3) 9 (9) 10 (7) 截集 1 截集 2 最小截量為： 9+6+5=20 1sv 2v2sv1v 1tv 2tv3v70（ 70） 70（ 50） 130（ 100） 150（ 130） 150（ 150） 50（ 20） 50（ 50） 120（ 30） 100（ 100） svtv∞ （ 120 ） ∞ （ 230 ） ∞ （ 150 ） ∞ （ 200 ） 第五節(jié) 最小費用最大流問題 定義 已知網(wǎng)絡(luò) G =（ V， E， C， d） ， f是G上的一個可行流 ， 為一條從 vs到 vt的增廣鏈 ， 稱為鏈的費用 。 ?? ??尋找關(guān)于 f 的最小費用增廣鏈： 構(gòu)造一個關(guān)于 f 的賦權(quán)有向圖 L(f ) ，其頂點是原網(wǎng)絡(luò) G的頂點，而將 G中的每一條弧 ( vi, vj )變成兩個相反方向的?。?vi， vj） 和 (vj , vi)， 并且定義圖中弧的權(quán) lij為： ， 令 （ vj， vi） 為原來網(wǎng)絡(luò) G中（ vi， vj） 的反向弧，令 在網(wǎng)絡(luò) G中尋找關(guān)于 f 的最小費用增廣鏈等價于在 L(f )中尋求從 vs 到 vt 的最短路。 若不存在最短路 ， 則 f (k1)就是最小費用最大流；否則轉(zhuǎn) (4)。 若存在一條回路 ， 經(jīng)過每邊一次且僅一次 ， 則稱這條回路為歐拉回路 。 A B C D 二、 奇偶點圖上作業(yè)法 （ 1） 找出圖 G中的所有的奇頂點 ， 把它們兩兩配成對 ， 而每對奇點之間必有一條通路 ， 把這條通路上的所有邊作為重復(fù)邊追加到圖中去 ， 這樣得到的新連通圖必無奇點 。 判定標準 1: 在最優(yōu)郵遞路線上 ， 圖中的每一條邊至多有一條重復(fù)邊 。 , February 4, 2023 ? 雨中黃葉樹，燈下白頭人。 :38:3007:38:30February 4, 2023 ? 1他鄉(xiāng)生白發(fā)，舊國見青山。 2023年 2月 4日星期六 7時 38分 30秒 07:38:304 February 2023 ? 1做前，能夠環(huán)視四周；做時，你只能或者最好沿著以腳為起點的射線向前。 :38:3007:38Feb234Feb23 ? 1世間成事，不求其絕對圓滿，留一份不足，可得無限完美。 。 , February 4, 2023 ? 閱讀一切好書如同和過去最杰出的人談話。勝人者有力，自勝者強。 2023年 2月 4日星期六 7時 38分 30秒 07:38:304 February 2023 ? 1一個人即使已登上頂峰，也仍要自強不息。 2023年 2月 4日星期六 上午 7時 38分 30秒 07:38: ? 1最具挑戰(zhàn)性的挑戰(zhàn)莫過于提升自我。 :38:3007:38Feb234Feb23 ? 1越是無能的人，越喜歡挑剔別人的錯兒。 2023年 2月 4日星期六 7時 38分 30秒 07:38:304 February 2023 ? 1空山新雨后，天氣晚來秋。 :38:3007:38:30February 4, 2023 ? 1意志堅強的人能把世界放在手中像泥塊一樣任意揉捏。 , February 4, 2023 ? 很多事情努力了未必有結(jié)果，但是不努力卻什么改變也沒有。 。 :38:3007:38Feb234Feb23 ? 1故人江海別，幾度隔山川。 例 求解下圖所示網(wǎng)絡(luò)的中國郵路問題，圖中數(shù)字為該邊的長。 （ 3） 檢查圖中的每一個圈 ， 如果每一個圈的重復(fù)邊的總長不大于該圈總長的一半 ， 則已經(jīng)求得最優(yōu)方案 。 定理 一個多重連通圖 G是歐拉圖的充分必要條件是 G中無奇點 。對 f (k)重復(fù)上面步驟，返回（ 2）。 （ 2） 一般地 ， 如果在第 k1步得到最小費用流 f (k1)，則構(gòu)造圖 L( f (k1) )。 結(jié)論： 如果可行流 f在流量為 W(f )的所有可行流中的費用最小，并且 *是關(guān)于 f 的所有增廣鏈中的費用最小的增廣鏈，那么沿增廣鏈 *調(diào)整可行流 f， 得到的新可行流 f *也是流量為W(f*)的所有可行流中的最小費用流。 若 vt被標號 ， 則存在一條增廣鏈 ， 轉(zhuǎn)調(diào)整過程；若 vt未被標號 ， 而標號過程無法進行下去 ， 這時的可行流就是最大流 。 如果把 V分成兩個非空集合 使 ， 則所有始點屬于 S， 而終點屬于 的弧的集合 ， 稱為由 S決定的截集 ,記作 。 ) , ( 63 vv 容量網(wǎng)絡(luò) G， 若 為網(wǎng)絡(luò)中從 vs到 vt的一條鏈 ， 給 定向為從 vs到 vt， 上的弧凡與 方向相同的稱為前向弧 ， 凡與 方向相反的稱為后向弧 ， 其集合分別用 和