[理學(xué)]線性方程組的解法(文件)
【正文】 非奇異陣，X=(x1,x2,…,xn)T, b=(b1,b2,…,bn)T.假設(shè)已算出x(k)， (1)相當于用高斯塞德爾方法計算一個分量的公式.若對某個參數(shù)ω，作與加權(quán)的平均,即 (2)其中，ω稱為松弛因子.用(1)式代入(2)式，就得到解方程組AX=b的逐次超松弛迭代公式： (3)顯然，當取ω=1時，式(3)就是高斯塞德爾迭代公式.3 例題分析:利用SOR方法解方程組 (1)其準確解為X*={1, 1, 2}.建立與式(1)相等價的形式： (2)據(jù)此建立迭代公式： (3)利用SOR算法，取迭代初值,ω=,迭代結(jié)果如下表. 逐次超松弛迭代法次數(shù) x1 x2 x3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 GS迭代法須迭代85次得到準確值X*={1, 1, 2}。=|x2x1|+|y2y1| 。5 高斯消去法 1 基本思想:用高斯消去法求解線性方程組的基本思想是設(shè)法消去方程組的系數(shù)矩陣A的主對角線下的元素，而將Ax=b化為等價的上三角形方程組，然后再通過回代過程便可以獲得方程組的解.這種解線性方程組的方法，常稱為高斯消去法(Gaussian Elimination).2 例題分析:利用高斯消去法求解方程組: (1)利用ri,i=2,3, (2)利用ri,i=3, (3)利用ri,i= (4)顯然，方程組(4)與(1)是等價的，其系數(shù)矩陣為上三角狀的，(4)的回代求解，可以得到準確解為X*=[1, 3, 2,1]T. 這一過程為高斯消去法的回代過程. 2 高斯消去法算法的構(gòu)造:記方程組AX=b為A(1)X=b(1), 其中，A(1)和b(1)的元素分別記為Step1:第一次消元 設(shè)，將增廣矩陣的第i行減去倍，(i=2,…,n),目的是將增廣矩陣的第一列內(nèi)除每一個元素不變外，其余全部消為零，得到A(2)X=b(2),即其中 Step2:第k次消元() 設(shè)第k1次消元已完成，且，得到A(k)X=b(k),即計算因子， 如此反復(fù)，經(jīng)過n1次消元之后得到一個與原方程組等價的上三角形方程組.Step3:回代 只要就可以回代求解3 高斯消去法[算法]Step1[消元]:對k=1,2,…,n1① 若則停止計算② 對i=k+1,k+2,…,n 計算因子。 基本思想: 主元素法是對Gauss消去法的改進. 它全面或局部地選取絕對值大的元素為主元素，僅對Gauss消去法的步驟作某些技術(shù)性地修改，.2 完全主元素消去法設(shè)方程組AX=b, 其中，A=(aij)n為非奇異陣，X=(x1,x2,…,xn)T, b=(b1,b2,…,bn)，得到下列等價方程組：① 選主元過程 在矩陣中選取絕對值最大的元素為主元素，保證 從而確定 ik , jk. ② 行變換和列交換If ik 185。值得注意的是，在全主元消去過程中，列交換已改變了x各分量的順序，因此，必須在每次列交換的同時，記錄調(diào)換后未知數(shù)的排列次序.③ 消元④ 回代求解⑤ 還原未知數(shù)的排列次序 全主元素Gauss消去法[算法]Step1[消元]:對k=1,2,…,n1① 選主元 確定 ik , jk,滿足② 若則停止計算，detA=0.③ If ik 185。④ 消元對i=k+1,k+2,…,n 計算因子。重復(fù)上述過程，設(shè)已完成第k1次按列選主元消元后，得到下列等價方程組： 在方框內(nèi)的諸元素中選取絕對值最大的元素為主元素，保證: 從而確定 ik. If ik 185。 k
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