【正文】 變換也可表示為 。 21( , ) l im ( , )2XT TG e x eT?????21( , ) l im ( , )2XT TG e x eT?????( , )Txe? ( , )Tx t e? 又 ∵ 隨機(jī)過(guò)程是由一族樣本函數(shù)組成，即 ? 顯然對(duì)每一個(gè)樣本函數(shù)，按照上面類似的方法都呆以求出它的一個(gè)樣本函數(shù)的功率譜密度，于是對(duì)所有的樣本函數(shù)取統(tǒng)計(jì)平均就可給出隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度定義。 ?解 ∵ ? ∴ 0( ) ( ) c o s ( )X t X t t? ? ???為0,a ?2?? 是 在 (0 , )()Xt21l im [ ( ) ]2TTTW E X t d tT???? ?2 2 2 00[ ( ) ] [ c o s ( ) ]E X t E a t????22022200220c os( 2 2 )222c os ( 2 2 )22sin( 2 )2aaEtaatdaat???? ? ??????? ? ?????? ? ????顯然該過(guò)程不平穩(wěn)。如果我們?cè)试S協(xié)方差函數(shù)或功率譜密度函數(shù)含有函數(shù)定義下協(xié)方差函數(shù)與功率譜密度存在付氏變換。 解 ∵ 又 ∵ ∴ 0000[ ( ) ] ( )jtj t j tttF t t t t e d t e e ????? ?? ????? ?? ? ? ? ??0( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )FF? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?和1 1[ ( ) ] 2 ( )2jtF F e d?? ? ? ? ????????? ?( ) 1jte ??????????01001[ 2 ( ) ] 2 ( )2jtjtF e d e ??? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ??01 02 ( )jt FFe? ? ? ? ????? ?0 0 0()j t j t jjtF e e e d t e d t? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ??? ???? ???例 若隨機(jī)過(guò)程 X(t)的協(xié)方差函數(shù)為 解 01( ) c o s2XR ? ? ??000( ) ( )1c o s21()2jXXjjj jG R e dede e e d????? ? ? ? ??? ? ?? ? ??????????????? ??????????00( ) ( )00001144112 ( ) 2 ( )44[ ( ) ( ) ]2j j de d e? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 謝謝收看 。 ? 性質(zhì) 若 為無(wú)窮次可微函數(shù)，則 ?或 ?例 求 的付氏變換。 ?定理 如果平穩(wěn)過(guò)程 X(t)的相關(guān)函數(shù) 絕對(duì)可積，即 則過(guò)程 X(t)的相關(guān)函數(shù)和功率譜密度之間存在付氏變換，即 ()XR ?()XRd??????? ? ??( ) ( ) jXXG R e d??? ? ??? ???? ?1( ) ( )2jXXR G e d??? ? ? ??????? ? ? ? ? ??11( ) ( )[ ( ) ] ( )[ ( ) ] ( )FxXFXXXXRGF R GF G R?????????????? 例 設(shè) X(t)是平穩(wěn)過(guò)程，共相關(guān)函數(shù) ? ，其中 、 是正數(shù)， X(t)的譜密度 。 ? 特別地，當(dāng)我們研究的隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)過(guò)程時(shí)，此時(shí)的平穩(wěn)過(guò)程平均功率可表示為： ? ∵ X(t)平穩(wěn) ∴ ()xG ?2[ ( )]E X t22[ ( ) ] ( 0 )XXE X t R???2221l im [ ( ) ]21l im2TTTTXXTTW E X t d ttdtT?????????????21l im 2 ( 0 )2 XXT TRT ??? ???∴ ? 該式說(shuō)明：平穩(wěn)過(guò)程的平均功率等于該過(guò)程的均方值，也可由隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度在全頻域上積分得到。 ? 在上式中，令 ? 則稱（ ）式為隨機(jī)過(guò)程 X(t)的樣本函數(shù)的 功率譜密度函數(shù)。 ? ∴ 存在付氏變換，即 ? 這里 稱 為的頻譜函數(shù)。 ? 這樣，對(duì)隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)而方，雖然研究它的頻譜沒(méi)有意義，但研究它的平均功率確有意義。巴塞伐公式理解為時(shí)間域上的總能量可用頻率域上的頻譜能量表示。 ? 定理 設(shè) S(t)是一個(gè)確定信號(hào)，且在 上，則 S(t)的傅氏變換存在，或者說(shuō)具有頻譜 記為 ()St( , )?? ??()S?( ) ( ) jtS S t e d t?? ?? ???? ?1( ) ( )2jtS t S e d????????? ?1( ) ( )FFS t s ?????[ ( ) ] ( )F S t S ??? 一般頻譜 是一個(gè)復(fù)數(shù)，且有 ，*表示共軛。此外，很多隨要過(guò)程的樣本函數(shù)極不規(guī)則，無(wú)法用方程描述。即，如果一個(gè)信號(hào)有“高”頻成分，我們?cè)陬l率域內(nèi)就可以看到“快”的變化。 ( ) ,X t Y Y?111,( ) ,a X t a ?? ??()Nt1( ) ( ) ( )Y t a X t N t?? ? ?()XYR ?()XYR ?? 5. 設(shè)有隨機(jī)過(guò)程 ，其中 A是具有瑞利分布的隨機(jī)變量，其概率密度為 ? 是在（ 0, 2 ）上具有均勻分布且與 A相互獨(dú)立的隨機(jī)變量， 是一個(gè)常數(shù)，問(wèn)X(t)是否是寬平穩(wěn)過(guò)程。 ( ) c o s ( )X t t???? ?? ( , )???( ) 2 s i n 2X t A x o s t t? ? ???( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 1E A E B D A D B? ? ? ?( )E A B ?? 3. 設(shè)隨機(jī)過(guò)程 是方差不為零的隨機(jī)變量，試討論其各態(tài)歷經(jīng)性。 ?性質(zhì) 一般情況下，互相關(guān)函數(shù) 是非奇非偶函數(shù)，同理，互協(xié)方差函數(shù) 也是非奇非偶函數(shù)。其物理意義為：若隨機(jī)過(guò)程 X(t)的相關(guān)時(shí)間為 ，則認(rèn)為隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間間隔大于 的兩個(gè)時(shí)刻的取值不相關(guān)。也可以說(shuō)，當(dāng)狀態(tài)與狀態(tài)之間的時(shí)間間隔越小，狀態(tài)之間的關(guān)系越高。 ) ( 。 167。 TtN??1()2kt k t? ? ? 1 , 2 , , ( )k N x t? 對(duì)( ) , 1 , 2 , ,kkx x t k N??r rt? ??? 最后指出，工程上遇到的很多平穩(wěn)過(guò)程，我們一般都把它看成各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，然后用各態(tài)歷經(jīng)的方法來(lái)確定過(guò)程 X(t)的統(tǒng)計(jì)特性，看處理出來(lái)的結(jié)果是否與實(shí)際相符合，如果不相符合，再對(duì)過(guò)程的假設(shè)作修改。 圖 第二種方法用數(shù)字處理方法（即近似計(jì)算方法）。因此工程上經(jīng)常都是憑經(jīng)驗(yàn)把各態(tài)歷經(jīng)性作為一種假設(shè)，在后根據(jù)實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)是否合理。 解 ∵ [ ( ) ] 0E X t ? ()XRe ??? ??? ?2 201l im 1 ( )2T XXT R M d rTT ? ??? ?????????2||02||0222201l im 1 [ 0]21l im 121 1 1l im 02TTTTTTTe drTTedTTeT T T?????????????????????? ? ??????????????? ?? ? ?????????∴ X(t)是均值各態(tài)歷經(jīng)的。 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( )XYX t Y t E X t Y t R? ? ?? ? ? ?? 3. 隨機(jī)過(guò)程成為各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程的判定 從前面的分析知，如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程能成為一個(gè)平衡過(guò)程，這對(duì)我們研究各態(tài)歷經(jīng)，則該過(guò)程一定是平衡過(guò)程，反之則一定成立，于是很自然提出這樣一個(gè)問(wèn)題，能不能給出一些判定定理，使其可以很方便地判定一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程成為各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。 解 ① 0( ) c o s ( )X t A t????0,A? ?2001[ ( ) ] c o s ( ) 02E X t A t d?? ? ??? ? ??0 0 020 0 0220 0 0020[ ( ) ( ) ][ c os( ) c os( ) ][ c os c os( 2 2 ) ]21[ c os c os( 2 2 ) ]22c os ( )2XE X t X tE A t A tAEtAdAR??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ????∴ X(t)為一寬平穩(wěn)過(guò)程。 ? （ 3）若 X(t)的均值和協(xié)方差函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱 X(t)是寬各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，簡(jiǎn)稱 X(t)為各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。 ? 由上述分析可知，是不是任何一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 ，它的數(shù)學(xué)期望、相關(guān)函數(shù)