1673整除的概念(文件)
【正文】 對 ( ) , ( ) [ ] , ( ) 0 ,f x g x P x g x? ? ?定理 并且這樣的 ( ), ( )g x r x是唯一決定的． 稱 為 除 的 商 ， 為 除 ()qx ()gx ()fx ()rx ()gx ()fx的 余式 . ① 若 ( ) 0 ,fx ? 則令 ( ) ( ) 0 .q x r x??結(jié)論成立． ② 若 ( ) 0 ,fx ? 設(shè) ( ) , ( )f x g x的次數(shù)分別為 ,nm證 ： 當(dāng) 時， nm?結(jié)論成立． 顯然取 即有 ( ) 0 , ( ) ( )q x r x f x??( ) ( ) ( ) ( ) ,f x q x g x r x??下面討論 的情形， nm?假設(shè) 對 次數(shù)小于 n的 ， ()fx 結(jié)論已成立． 先證存在性． 對 n作數(shù)學(xué)歸納法． 次數(shù)為０時結(jié)論顯然成立． 設(shè) 的首項為 ()fx ,nax ()gx , ( )mb x n m?的首項為 則 與 首項相同， ? ?1 nmb a x g x?? ()fx 因而，多項式 ? ?1 ( ) ( ) 1= gn mf x f x b ax x的次數(shù)小于 n或 f1為 0． 若 ? ?1 = 0 ,fx 令 1( ) , ( ) 0nmq x b a x r x????即可． 若 ? ?? ?1 ,f x n??由歸納假設(shè)，存在 11( ) , ( )q x r x使得 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1f x q x g x r x??現(xiàn)在來看次數(shù)為 n的情形． 其中 ? ?? ? ? ?1 ()r x g x??或者 1 ( ) 0 .rx ?于是 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 11 .nmf x b a x q x g x r x??? ? ?即有 ? ? ? ? ? ?1 11( ) ,nmq x b a x q x r x r x??? ? ?使 ( )
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