解線性方程組的直接方法(文件)
【正文】 )11 1 12 2 13 3 1 1( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )22 2 23 3 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )32 2 33 3 3 3( 2 ) ( 2 )2 2 3 3 nnnnnnnna x a x a x a x ba x a x a x ba x a x a x ba x a x? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???( 2 ) ( 2 )nn n na x b??????????????2022/8/18 8 22 x bA ? （）（）得到新同解方程組：bbbbaaaaaaaAnnnnnn)2()2(2)1(1( 2 ))2()2(2)2(2)2(22)1(1)1(12)1(11)2( 00 ???????? ，其中aamamaa )()(ii)( ji)(ij)(ij 11111111112 ???2 1 111 23,( ) ( ) ( )i i i , , , n ijb b b m? ? ? ?2022/8/18 9 子陣作如上計算：對除第一行第一列外的，若第二步消元： 0 ≠ )2(22a 00000 3332211( 3 )3333333322223222111131121113bbbbbaaaaaaaaaaaA)(n)()()()(nn)(n)(n)()(n)()()(n)()()()(?????????== ，aamamaa ijijij )2(22)2( 2i2)2(2i2)2()3( ???3 2 222 34,( ) ( ) ( )i i i , , , n ijb b b m? ? ? ?2022/8/18 10 bxA )()( 33 =得到同解方程組行下去則此消去過程可依次進，若 0)3(33 ?a()() 1 nnnx bA??第 步消去過程后，得到等價三角方程組。 ????????? 21 2 )) * ( n ( n n二)(nnk) ( k nk13 212∑ ????乘法總計21 ∑ 11)n ( n k nk????除法1 2n ( n ) ?回代總計算量32 1 ( 3 0 , 9 8 9 0 )33 n nn n? ? ?總乘除法共 為167。 高斯主元素消去法 ()() 00kkkkkkaa??在高斯法消元過程中可能出現(xiàn) 的情況，這時消去法將無法進行；即使主元素 但很小，用其作除數(shù)，也會導致其他元素數(shù)量級的嚴重增長和舍入誤差的擴散。（列主元素法）32 00 72 43 00 0 0 .5000 0 68 87 ( , , )mTx????????????????????? ? ?31 rr ?m31= 2022/8/18 24 定理 8（列主元素的三角分解定理） 如果 A為非奇異 矩陣，則存在排列矩陣 P使 PA=LU 其中 L為單位下三角陣， U為上三角陣。G J 方法主要用途是求一個矩陣的逆矩陣。 直接三角分解法 將高斯消去法改寫為緊湊形式，可以直接從矩陣 A的元素 得到計算 L,U元素的遞推公式，而不需要任何中間步驟， 這就是 直接三角分解法。 , , 1 n, 1,j , 。 2022/8/18 39 本章作業(yè) 設(shè) Ax=b，用 LU分解法求此方程組 ??????????????????????????11115675781079108610975bA P230 7 。 , r ( i ) /( , nr , ri n),(rrLrUuulalulaurrrkkrikirirrkkirkriri????????????????且1)。 , 2 n, 2,j , 。 高斯 — 若當消去法 2022/8/18 26
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