數(shù)值分析--第6章解線性方程組的迭代法(文件)
【正文】 定理 設(shè)，則（零矩陣）的充分必要條件是矩陣的譜半徑。以為例由于，其中為階單位陣。證明 必要性。推論1 對任一種矩陣范數(shù)，若，則收斂。，迭代法收斂與否只決定于迭代矩陣的譜半徑，與初始向量以方程組的右端項無關(guān)。如果用GaussSeidel法，迭代矩陣為特征方程由已知得特征值，所以，因此GaussSeidel迭代法發(fā)散。2）J法和G法的收斂性沒有必然聯(lián)系。 若滿足且至少有一個，使上式中不等式嚴格成立，則稱為弱對角占優(yōu)。 例如就是可約矩陣，因為取定義中的，當(dāng)，而，即時，有，即另一方面，將其第二行和第三行對換，同時也把第二列和第三列對換，就可化為 若嚴格對角占優(yōu)或為不可約弱對角占優(yōu)矩陣，則，且非奇異。我們有如下結(jié)論：1．若為嚴格對角占優(yōu)陣或不可約弱對角占優(yōu)，則Jacobi迭代法和GaussSeidel均收斂。顯然，為嚴格對角占優(yōu)，故J和GS法均收斂。表明，改變方程組中方程的次序，即將系數(shù)矩陣作行交換會改變迭代法的收斂性。J法的迭代陣顯然有，故，從而J法收斂。 若為對稱正定矩陣，則解的SOR法收斂的充要條件為。 若為嚴格對角占優(yōu)陣或不可約弱對角占優(yōu)，則SOR法收斂。因而只能，即，于是SOR法收斂。注：1），一般可取1，2或范數(shù)。根據(jù)事先給定的精度，可以估算出迭代的次數(shù)：迭代法是否收斂雖與初始向量的選取無關(guān)，但由上面的公式看出對迭代次數(shù)卻有很大的影響，因而應(yīng)重視初始向量的選取。因為，所以，我們可選擇足夠大的使這樣便可使上面的不等式(613)成立。它是依賴于所選擇的范數(shù)和迭代次數(shù)。顯然，且與取何種范數(shù)及迭代次數(shù)無關(guān)。 如果為三對角形正定矩陣，和分別是Jacobi和Seidel迭代法的迭代矩陣，則(1) (2) 最佳松弛因子(3) 松弛迭代矩陣的譜半徑。為了達到(19)的要求，可以用代替(20)作為所需迭代次數(shù)的估計。由于，我們再給出下面的定理。 稱為迭代法的平均收斂率。這樣，迭代次后，平均每次迭代誤差范數(shù)的壓縮率就可以看成是。若，即使很小，也不能判定很小。(2) 由關(guān)系式及，有(a) (b) 反復(fù)利用(b)即得(2)。采用反證法，假設(shè)，由已知，則，于是令，有。設(shè)是的任一特征值（可能是復(fù)數(shù)），若能證明，則定理得證。現(xiàn)在證明。證明 我們只給出嚴格對角占優(yōu)情形的證明。例5 若計算可得，所以J和GS法均發(fā)散。3．若為對稱正定矩陣，則SOR收斂的充要條件為。若奇異，則有滿足。 若，能找到排列矩陣，使得其中均為方陣，
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