【正文】 y=f(x)在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù)，記作；當(dāng)存在時(shí)，稱其極限值為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的右導(dǎo)數(shù)，記作．據(jù)極限與左、右極限之間的關(guān)系 f162。(x0)，這樣就在開區(qū)間(a,b)內(nèi)，構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這一新的函數(shù)稱為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作等f162。= (23)導(dǎo)函數(shù)也簡稱為導(dǎo)數(shù)．注意?。ǎ保ゝ162。(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值． 例2 求y=C (C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)． 解　因?yàn)镈y=CC=0，=0，所以y162。R)的導(dǎo)數(shù)． 解 因?yàn)镈y=(x+Dx)nxn=nxn1Dx+xn2(Dx)2+...+(Dx)n， = nxn1 +xn2Dx+...+(Dx)n1，從而有 y162。=a xa1．例如　()162。=x2=． 例4 求y=sinx, (x206。R)的導(dǎo)數(shù)為 (cosx)162。=．對(duì)一般的a，只要先用換底公式得y=logax=，以下與167。(x0)． 導(dǎo)數(shù)的幾何意義——函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f162。0)時(shí)的法線方程為 　　　　　　　　yf(x0)=(xx0) (25) 例6 求曲線y=sinx在點(diǎn)(,)處的切線和法線方程．解　（sinx）162。=，因?yàn)榍芯€平行于直線y=2x，所以=2，即x0=；又切點(diǎn)位于曲線上，因而y0=ln=ln2．故所求的切線方程為 y+ln2=2(x)，即y=2x1ln2．四、可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系 如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則存在極限 =f162。(x0) Dx+aDx]=0．這表明函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)．但y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，在x0處不一定是可導(dǎo)的．例如：（１）y=|x|在x=0處都連續(xù)但卻不可導(dǎo)．xyOy=|x|（２）y=在x=0處都連續(xù)但卻不可導(dǎo)．注意在點(diǎn)(0,0)處還存在切線，只是切線是垂直的．1xyOy=11122 基本導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)四則運(yùn)算法則一、導(dǎo)數(shù)的基本公式 1. (C)162。=－sinx； 5. (tanx)162。=－cscxcotx； 9. (ax)162。=； 13. (arcsinx)162。=－．二、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 設(shè)u,v都是x的可導(dǎo)函數(shù)，則有： 1. 和差法則：(u177。v162。；特別地，(cu)162。u2177。=． 證明法則2　設(shè)Du=u(x+Dx)u(x)，Dv=v(x+Dx)v(x)，則 u(x+Dx)=u(x) +Du，v(x+Dx)=v(x)+ Dv，于是 (uv)162。0．又 =u162。(1)． 解　f162。+(sin)162。+0+0=4x3； f162。=(tanx)162。=csc2x． 例3 設(shè)y=secx，求y162。=即 (secx)162。(x)=1+2x+(x3)162。=csc2x． 例6 設(shè)g(x)=，求g162。(x)= = =． 例8 求曲線y=x32x的垂直于直線x+y=0的切線方程． 解：設(shè)所求切線切曲線于點(diǎn)(x0,y0)，由于y162。．解 y162。=(2sinxcosx)162。0，由 =，=f162。(u0)j162。=[]162。=(1+x2)162。=2sin(2x+)cos(2x+)[(2x+)]162。 =2x=． 例8 求y=ln(x+)的導(dǎo)數(shù) 解　y162。]=[1+]=． 例9 y=ln|x|,(x185。=[ln(x)]162。． 解　y162。(x)=(sinnx)162。 =ncosn1x(cosnxcosxsinnxsinx)=ncosn1xcos(n+1)x． 例12 設(shè)f(u),g(v)都是可導(dǎo)函數(shù)，y=f(sin2x)+g(cos2x)，求y162。=f162。 =f162。 =sin2xf162。=ex證明求導(dǎo)基本公式y(tǒng)162。=ealnxa=xaa=axa1． 167。y163。=0，解得 　　　y162。=－． 應(yīng)用直線的點(diǎn)斜式，即得橢圓在點(diǎn)M(x0,y0)處切線方程為 yy0=－(x－x0)，即=1． 例4 設(shè)y=ax, (a0,a185。=ylna．以y=ax回代，即得　　　(ax)162。(－,)　．兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得1=cosyy162。==，即 (arcsinx)162。= xx(lnx+1)．推廣　?。ǎ保﹜=u(x)v(x)的形式，稱這類函數(shù)為冪指函數(shù)．（２）為了求y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y162。=y(lnsinx+xcotx)，即　　　　y162。=exlnsinx(lnsinx+xcotx)= (sinx)x(lnsinx+xcotx)． 例8 設(shè)y=，求y162。t163。(t)185。==－cott, (0tp)． 例10 求擺線(a為常數(shù))上對(duì)應(yīng)于t=的點(diǎn)M0處的切線方程． 解：擺線上對(duì)應(yīng)于t=的點(diǎn)M0的坐標(biāo)為(,a) ，又 ==cot，=1，即擺線在M0處的切線斜率為1，故所求的切線方程為 ya=1(x)，即xy+(2)a=0． 例11 以初速v0、發(fā)射角a發(fā)射炮彈，已知炮彈的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是 x=(v0cosa)t，v0xyOa x(t)y(t) y=(v0sina)tgt2,(g為重力加速度)，(1)求炮彈在任一時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)方向(2)求炮彈在任一時(shí)刻t的速率． 解　(1) ==tana－t； (2)炮彈的運(yùn)動(dòng)速度是一個(gè)向量(vx,vy)，vx==v0cosa, vy==v0sina－gt．設(shè)t時(shí)的速率為v(t)，則 v(t)=． 167。(x)]162。162。162。162。162。162。(x)． 一般地，若y=f(x)的n1階導(dǎo)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)，則稱n1階導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，記作y(n)或f(n)(x)或,，即 y(n)=[y(n1)]162。=9x2+4x+1；y162。=(9x2+4x+1)162。=(y162。=18；y(4)= (y162。=(18)162。162。=lna(ax)162。=(y162。=[lna]2(ax)162。=； y162。=(sinx)162。=[]162。=f162。)162。162。)162。=(ax)162。162。)162。162。=(y162。 或 =．因此，函數(shù)f(x)的n階導(dǎo)數(shù)是由f(x)連續(xù)依次地對(duì)x求n次導(dǎo)數(shù)得到的． 函數(shù)的二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)．函數(shù)f(x)的n階導(dǎo)數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)值記作記作y(n)(x0)或f(n)(x0)或等． 例1 求函數(shù)y=3x3+2x2+x+1的四階導(dǎo)數(shù)y(4)． 解 y162。162。為y=f(x)的三階導(dǎo)數(shù)，記作y162。162。)162。162。(x)]162。(x)，若導(dǎo)函數(shù)f162。==．例9 求由方程(0tp)所確定的函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y162。(t),y162。=+－，所以 y162。=(exlnsinx)162。．常稱這種求導(dǎo)方法為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法．根據(jù)對(duì)數(shù)能把積商化為對(duì)數(shù)之和差、冪化為指數(shù)與底的對(duì)數(shù)之積的特點(diǎn)，對(duì)冪指函數(shù)或多項(xiàng)乘積函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法必定比較簡便． 例7 利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求函數(shù)y=(sinx)x的導(dǎo)數(shù)．解　兩邊取對(duì)數(shù)，得lny=xlnsinx；兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得　　　　　　y162。=－． 例6 求y=xx的導(dǎo)數(shù)．解　兩邊取對(duì)數(shù)，得lny=xlnx；兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得 y162。=．因?yàn)閥206。=ex． 例5設(shè)y=arcsinx,(|x|1)，證明y162。=axlna． 證明　y=ax的反函數(shù)為x=logay．兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得1=y162。=0，解出 y162。0)所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 解 在方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得 2x3y2y162。=0，解出y162。=(ealnx)162。(cos2x)=sin2x[f(sin2x)g(cos2x)]． 例13 設(shè)y=xa,(a206。+g162。+g162。=[f(sin2x)]162。=cosnx(nx)162。(x)． 例11 f(x)=sinnxcosnx，求f162。=．合之得 (ln|x|)162。． 解　當(dāng)x0，y=lnx，據(jù)基本求導(dǎo)公式，y162。=[1+()162。=sin()162。=[ sin2(2x+)]162。=(2x)=． 例5 求y=ln(1+x2)的導(dǎo)數(shù)． 解　y162。(x) ，函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處也有導(dǎo)數(shù)=f162。(x0)得 (f[j(x)])162。0時(shí)Du174。=cos2x．這個(gè)結(jié)果對(duì)嗎？換一種方法： y162。2．167。(x)=2x2x3=(x41)． 例7 設(shè)f(x)=，求f162。=1+2x+3x2secx+x3tanxsecx． 例5 設(shè)y=2log2x+x，求y162。=cotxcscx． 例4 設(shè)f(x)=x+x2+x3secx，求f162。=(secx)162。=即 (tanx)162。13=1． 例2 設(shè)y=tanx，求y162。=2(x2)162。=(2x2)162。(x)，=0，代入(1)式即得證法則． 例1 設(shè)f(x)=2x23x+sin+ln2，求f162。= (1) 由于v(x)在x處可導(dǎo)，因此在x處連續(xù)，當(dāng)Dx 174。un)162。, (c是常數(shù)）； 3. 除法法則：()162。=u162。= u162。=－； 15. (arctanx)162。=ex； 11. (logax)162。=－csc2； 7. (secx)162。=axa1； 3. (sinx)162。 定理 如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)． 例8 設(shè)函數(shù)f(x)=，討論函數(shù)f(x)在x=0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性． 解： 因?yàn)? f(x)= (x+1)=1185。(x0)+a (a=0)，或Dy= f162。(x0)， y162。(x0)(xx0) 　　　　 (24) 過切點(diǎn)A (x0,f(x0))且垂直于切線的直線，稱為曲線y=f(x)在點(diǎn)A (x0,f(x0))處的法線，則當(dāng)切線非水平(即f162。=．三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 方程為y=f(x)的曲線，在點(diǎn)A(x0,f(x0))處存在非垂直切線AT的充分必要條件是f(x)在x0存在導(dǎo)數(shù)f162。1, x0)． 解　對(duì)a=e、y=lnx的情況，在167。17中已經(jīng)求得 =cosx，即 (sinx)162。=；()162。=nxn1． 可以證明，一般的冪函數(shù)y=xa, (a206。=0常數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒等于零）． 例3 求y=xn(n206。(x0)是一個(gè)數(shù)值（２）f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f162。等． 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，就可得出導(dǎo)函數(shù) f162。 存在,，且== f162。(x0)= (22)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下：第一步 求函數(shù)的改變量Dy=f(x0+Dx)f(x0)； 第二步 求比值； 第三步 求極限f162。0時(shí)存在極限，我們就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這一極限稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)(或變化率)，記作或f162。0，過點(diǎn)A的割線AB如果也能趨向于一個(gè)極限位置——直線AT，我們就稱L在點(diǎn)A處存在切線AT．記AT的傾斜角為a，則a為b的極限，若a185。(0,1)，使F(x)=0．即f(x)x=0綜上所述，結(jié)論得證．第2章 導(dǎo)數(shù)和微分