三、多維隨機變量及其分布(文件)
【正文】 ) ( m a x( , ) ) ( , ) ( ) ( ) .ZXYF z P Z z P X Y zP X z Y z F z F z? ? ? ?? ? ? ?因 X和 Y獨立同分布，設(shè) Z的分布函數(shù)為 F(x). 2( ) ( ) ( m a x( , ) ) ( , ) ( ) .ZF x P Z x P X Y xP X x Y x F x? ? ? ?? ? ? ?一般地 考查：隨機變量函數(shù)的分布、獨立性 B. 應(yīng)注意到 Z的分布函數(shù)是一元函數(shù) . C. 實際上這是 min{X,Y}的答案 . 錯解： 4.（ 06134） 設(shè)隨機變量 X和 Y獨立 ,且服從區(qū)間 [0,3]上的均勻 分布，則 ( m a x( , ) 1 ) __ __ __ __ .P X Y ??91( m a x( , ) 1 ) ( 1 , 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 1 3 3 9P X Y P X Y P X P Y? ? ? ? ? ? ?? ? ?考查：獨立性和均勻分布 5.（ 07134） 設(shè)隨機變量 (X,Y)服從 二維正態(tài) 分布，且 X和 Y 不相關(guān)， ( ) ( ) . ( ) ( ) .()( ) ( ) ( ) . ( ) .()XYXXYYA f x B f yfxC f x f y Dfy( ) , ( )XYf x f y 分別表示 X和 Y的概率密度 . ( ) _ _ _ _ _ .XYf x y ?則在 Y=y的條件下 ,X的條件概率 )(A X與 Y相互獨立 ,0?? (X與 Y不相關(guān) ) 若 (X,Y)服從 二維正態(tài) 分布，則 一般地 X,Y 相互獨立 X與 Y不相關(guān) 考查：二維正態(tài)分布 ,獨立性 ,不相關(guān) ,二維概率密 度，邊緣密度和條件密度，是一道綜合題。YYF y f y??當(dāng) 時， 14y??11( ) ( ) ( 1 0 ) (0 ) = , 24YF y P y X y P X P X y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?故 Y的概率密度 3, 0 1 ,81( ) , 1 4 ,80,Yyyf y yy??????? ? ??????其 它 .1 ( ) 。zZf z z d x z z? ? ? ??當(dāng) 時， 12z?? 1 21( ) ( 2 ) ( 2 ) 。2( YXP ?（ 2） Z=X+Y的概率密度 fZ(z). 解 (1) 2( 2 ) ( , )xyP X Y f x y d x d y??? ??20xy??o xy111D 1 12027 ( 2 ) .24yd y x y d x? ? ? ???1( 2 )Dx y d x d y? ? ???123001( ) ( 2 ) ( 2 ) .3z z yZDF z x y d x d y d y x y d x z z?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?2Dzyx ??o xyzz11zz(2) 法 1 先求 Z的分布函數(shù)，如圖 ( ) ( ) ( , )Zx y zF z P X Y z f x y d x d y??? ? ? ? ??當(dāng) 時， 0z ? ( ) 0。DP X Y D f x y d x d y?? ??).,(),(2yxfyx yxF ???? 設(shè) (X,Y)的密度函數(shù)為 f(x,y)，則 X和 Y的分布函數(shù) 可表示為 ( ) ( ( , ) ) .xXF x f x y d y d x??? ? ? ?? ??( ) ( ( , ) ) .yYF y f x y d x d y??? ? ? ?? ??分別稱為 (X,Y)的關(guān)于 X和 Y的 邊緣分布函數(shù) ，而 ( ) ( , )Xf x f x y d y????? ?( ) ( , ) .Yf y f x y d x????? ?分別稱為 (X,Y)的關(guān)于 X和 Y的 邊緣密度函數(shù) . 對于給定的 x，若 fX(x)0,則稱 ??????? yxf yxfxyfXXY ,)(),()(為 Y關(guān)于 X=x的 條件密度函數(shù) . 為 X關(guān)于 Y=y的 條件密度函數(shù) . 類似地，若 fY(y)0,則稱 ( , )( ) ,()XY Yf x yf x y xfy? ? ? ? ? ? ? 條件密度函數(shù) 同樣滿足密度函 數(shù)的所有性質(zhì) . ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )XY Y X X Yf x y f x f y x f y f x y??注 ： （四）隨機變量的獨立性 設(shè) n維隨機變量 的聯(lián)合分布函數(shù)為 ),( 21 nXXX ?12( , , , ) ,nF x x x( ) , 1 , 2 , , .XiF x i n?關(guān)于 Xi 的邊緣分布函數(shù)為 若對任意實數(shù) 有 12, , , ,nx x x121 2 1 2( , , , ) ( ) ( ) ( ) ,nn X X X nF x x x F x F x F x?則稱隨機變量 相互獨立 . 12, , , nX X X 設(shè) 為 n維離散型隨機變量，若對 一切可能的值 有 ),( 21 nXXX ?12, , , ,nx x x1 1 2 2 1 1 2 2( , , , ) ( ) ( ) ( )n n n nP X x X x X x P X x P X x P X x? ? ? ? ? ? ?則稱隨機變量 相互獨立 . 12, , , nX X X特殊：二維情形 X,Y 相互獨立 ?,2,1, ?? ?? jippp jiij 設(shè) 為 n維離散型隨機變量，若對任意實數(shù) 有 ),( 21 nXXX ?12, , , ,nx x x121 2 1 2( , , , ) ( ) ( ) ( ) ,nn X X X nf x x x f x f x f x?其中 是聯(lián)合密度， 12( , , , )nf x x x()iXifx 為 Xi 的 邊緣密度 ， 1 , 2 , , ,in?則稱隨機變量 相互獨立 . 12, , , nX X XX,Y 相互獨立 ( , ) ( ) ( )XYf x y f x f y?特殊：二維情形 （五）隨機變量函數(shù)的分布 (重點 ) 隨機變量 Z為隨機變量 X,Y的函數(shù)，即 Z=g(X,Y), 則 Z的分布函數(shù)為 ?????????? zzYXgPzZPzF Z ),),(()()( 已知 ),(,),( YXgzpyYxXP ijji ????則 Z的
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