【正文】 要檢查 所以 ，從而 例15設(shè)3階矩陣的特征值為:.測試點(diǎn) 關(guān)于階方陣與對角陣相似的公式:設(shè)為三階方陣的三個特征值,依次為屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量,則令 有故 解 令為求,需先求. 所以故 例16 已知2階矩陣的特征值為與，對應(yīng)的特征向量分別為求：（1）；（2）知識點(diǎn) 利用矩陣與對角陣形似將計(jì)算轉(zhuǎn)化為計(jì)算 解 因?yàn)?階矩陣的特征值為與，對應(yīng)的特征向量分別為取，則,所以.例17設(shè)矩陣，存在，使得；，使得.測試點(diǎn) 方陣的特征值和特征向量的定義；方陣能與對角陣相似的充分必要條件及其相應(yīng)的等式解 因?yàn)?，?有 同理，取，有，故故取 ，則. :設(shè)2．向量的長度3．單位化向量4．正交向量組的定義及其性質(zhì)定義 如果一個向量組不含零向量，且其中任意兩個向量都正交（簡稱兩兩正交），則稱該向量組為正交向量組.主要性質(zhì) 正交向量組必線性無關(guān)5施密特正交化手續(xù)例18已知3維向量則內(nèi)積____________.測試點(diǎn) 內(nèi)積的定義解 答案 例19 求一個單位向量使得與都正交.解 設(shè)與都正交,則 可取,單位化得即為所求.例20利用施密特正交化方法，將下列向量組化為正交的單位向量組: ， .測試點(diǎn) 施密特正交化手續(xù) 解 取則為所求的單位正交向量組.驗(yàn)算 6. 正交矩陣1）正交矩陣的定義；如果階方陣滿足，則稱它為正交陣2）正交矩陣的性質(zhì)：設(shè)方陣為正交陣，則必可逆，且；如果都是階正交陣，則也是正交陣；是正交陣的充分必要條件是的列（行）向量組構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基.四．實(shí)對稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形 1．實(shí)對稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)；2．實(shí)對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量相互正交；3．實(shí)對稱矩陣必能與對角陣相似，且存在正交陣，使得為對角形.4．任給實(shí)對稱陣，如何求出正交陣，使得為對角形.例21設(shè)3階實(shí)對稱矩陣的特征值為，則秩=（　　?。〢． B．C． D．測試點(diǎn) 。測試點(diǎn) 用配方法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形解 令，得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.相應(yīng)的線性變換為，即 例5 用配方法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的線性變換.解 令則原二次型 其中，整理后得所作的線性變換為： 五. 慣性定律和二次型的規(guī)范形定理 任意的元二次型，一定可以經(jīng)過可逆的線性變換化為規(guī)范形 而且其中的和是由原二次型惟一確定，與所做的變換無關(guān)，為規(guī)范形中系數(shù)取的項(xiàng)的個數(shù)，稱為該二次型的正慣性指數(shù)，為該二次型的秩，為為規(guī)范形中系數(shù)取的項(xiàng)的個數(shù)，稱為該二次型的負(fù)慣性指數(shù).例6二次型的正慣性指數(shù)p為（　　?。〢．0 B．1C．2 D．3測試點(diǎn) 二次型的正慣性指數(shù)的概念解 1答案 B例7 3元實(shí)二次型的規(guī)范形為 【 】A. B. C. D.測試點(diǎn) 二次型的由標(biāo)準(zhǔn)形化為規(guī)范形的方法解析 因?yàn)槎涡偷囊粋€標(biāo)準(zhǔn)形為，故規(guī)范形為答案 D例8設(shè)矩陣，則二次型的規(guī)范形為（　　?。〢． B．C． D．測試點(diǎn) 化二次型為規(guī)范形的方法解法1 所以矩陣的三個特征值為原二次型的一個標(biāo)準(zhǔn)形為所以原二次型的規(guī)范形為 解法2 令則 所以原二次型的規(guī)范形為 .答案 C 六．正定二次型與正定矩陣1．二次型正定性的定義及其判別方法定義 元二次型和對應(yīng)的實(shí)對稱矩陣1) 如果對任意的非零實(shí)向量，都有，則稱為正定（負(fù)定）二次型，稱為正定（負(fù)定）矩陣.2) 如果對任意實(shí)向量，都有，則稱為半正定（半負(fù)定）二次型，稱為半正定（半負(fù)定）矩陣.3) 其它的二次型稱為不定二次型，其它的實(shí)對稱矩陣成為不定矩陣.2．二次型正定（實(shí)對稱矩陣正定）的充分必要條件正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)＝.正定的充分必要條件是與單位陣合同.正定的充分必要條件是的所有特征值都大于零.正定的充分必要條件是的各階順序主子都大于零..3二次型正定性的判別方法元二次型正（負(fù)）定它的正（負(fù)）慣性指數(shù)＝；元二次型半正（負(fù)）定它的負(fù)（正）慣性指數(shù)＝0；元二次型不定它的正，負(fù)慣性指數(shù)都大于0.，則a的取值應(yīng)滿足_____________.解 該二次型的矩陣為,為使其正定所以a的取值應(yīng)滿足 4實(shí)對稱矩陣合同的充要條件實(shí)對稱矩陣矩陣與合同當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的秩和相同的正慣性指數(shù).()通過上述串講，可以看出，線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題的特點(diǎn)確實(shí)是主要考核大家對基本概念，基本公式，基本方法掌握的情況，同時(shí)，試題涉及的非常全面,考核的非常細(xì)，這就更要求我們復(fù)習(xí)得更加全面,，還是我們開始說的要狠抓基本，全面復(fù)習(xí)，把復(fù)習(xí)作細(xì) ，！謝謝大家.53線性代數(shù)（經(jīng)管類）考點(diǎn)逐個擊破第一章 行列式（一）行列式的定義行列式是指一個由若干個數(shù)排列成同樣的行數(shù)與列數(shù)后所得到的一個式子，它實(shí)質(zhì)上表示把這些數(shù)按一定的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，其結(jié)果為一個確定的數(shù).1．二階行列式由4個數(shù)得到下列式子：稱為一個二階行列式，其運(yùn)算規(guī)則為2．三階行列式由9個數(shù)得到下列式子：稱為一個三階行列式，它如何進(jìn)行運(yùn)算呢？教材上有類似于二階行列式的所謂對角線法，我們采用遞歸法，為此先要定義行列式中元素的余子式及代數(shù)余子式的概念.3．余子式及代數(shù)余子式設(shè)有三階行列式 對任何一個元素，我們劃去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序組成一個二階行列式，稱它為元素的余子式，記成例如 ，再記 ，稱為元素的代數(shù)余子式.例如 ，那么 ，三階行列式定義為我們把它稱為按第一列的展開式，經(jīng)常簡寫成　　4．n階行列式一階行列式 n階行列式 其中為元素的代數(shù)余子式.　5．特殊行列式上三角行列式下三角行列式對角行列式 （二）行列式的性質(zhì)性質(zhì)1 行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即性質(zhì)2 用數(shù)k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是說，行列式可以按行和列提出公因數(shù).性質(zhì)3 互換行列式的任意兩行（列），行列式的值改變符號.推論1 如果行列式中有某兩行（列）相同，則此行列式的值等于零.推論2 如果行列式中某兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零.性質(zhì)4 行列式可以按行（列）拆開.性質(zhì)5 把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一個數(shù)以后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去，所得的行列式仍為D.定理1（行列式展開定理）n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和，即或前一式稱為D按第i行的展開式，后一式稱為D按第j列的展開式.本定理說明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開來求出它的值.定理2 n階行列式的任意一行（列）各元素與另一行（列）或（三）行列式的計(jì)算行列式的計(jì)算主要采用以下兩種基本方法：（1）利用行列式性質(zhì)，把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值，此時(shí)要注意的是，在互換兩行或兩列時(shí)，必須在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k時(shí)，必須在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按選定的某一行或某一列展開，把行列式的階數(shù)降低，再求出它的值，通常是利用性質(zhì)在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個“0”元素，再按這一行或這一列展開：　例1　計(jì)算行列式 　　解：觀察到第二列第四行的元素為0，而且第二列第一行的元素是，利用這個元素可以把這一列其它兩個非零元素化為0，然后按第二列展開.　　例2 計(jì)算行列式 　　解：方法1　這個行列式的元素含有文字，在計(jì)算它的值時(shí)，切忌用文字作字母，這個行列式的特點(diǎn)是它的每一行元素之和均為（我們把它稱為行和相同行列式），我們可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子，再將后三行都減去第一行：　　方法2 觀察到這個行列式每一行元素中有多個b，我們采用“加邊法”來計(jì)算，即是構(gòu)造一個與 有相同值的五階行列式：這樣得到一個“箭形”行列式，如果，則原行列式的值為零，故不妨假設(shè)，即，把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化為零.例3 三階范德蒙德行列式 （四）克拉默法則　　定理1（克拉默法則）設(shè)含有n個方程的n元線性方程組為如果其系數(shù)行列式，則方程組必有唯一解：其中是把D中第j列換成常數(shù)項(xiàng)后得到的行列式.把這個法則應(yīng)用于齊次線性方程組，則有定理2 設(shè)有含n個方程的n元齊次線性方程組如果其系數(shù)行列式，則該方程組只有零解：換句話說，若齊次線性方程組有非零解，則必有，在教材第二章中，將要證明，n個方程的n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零.　第二章 矩陣（一）矩陣的定義　　　1．矩陣的概念由個數(shù)排成的一個m行n列的數(shù)表稱為一個m行n列矩陣或矩陣當(dāng)時(shí)，稱為n階矩陣或n階方陣元素全為零的矩陣稱為零矩陣，用或O表示　2．3個常用的特殊方陣：①n階對角矩陣是指形如 的矩陣②n階單位方陣是指形如 的矩陣 ③n階三角矩陣是指形如 的矩陣　　3．矩陣與行列式的差異矩陣僅是一個數(shù)表，而n階行列式的最后結(jié)果為一個數(shù)，因而矩陣與行列式是兩個完全不同的概念，只有一階方陣是一個數(shù)，而且行列式記號“”與矩陣記號“”也不同，不能用錯.（二）矩陣的運(yùn)算　　1．矩陣的同型與相等設(shè)有矩陣，若，,且對應(yīng)元素相等，即，則稱矩陣A與B相等，記為因而只有當(dāng)兩個矩陣從型號到元素全一樣的矩陣，才能說相等.　　2．矩陣的加、減法設(shè)，是兩個同型矩陣則規(guī)定 注意：只有A與B為同型矩陣，它們才可以相加或相減.由于矩陣的相加體現(xiàn)為元素的相加，因而與普通數(shù)的加法運(yùn)算有相同的運(yùn)算律.　　3．?dāng)?shù)乘運(yùn)算設(shè)，k為任一個數(shù)，則規(guī)定 故數(shù)k與矩陣A的乘積就是A中所有元素都乘以k，要注意數(shù)k與行列式D的乘積，只是用k乘行列式中某一行或某一列，這兩種數(shù)乘截然不同.矩陣的數(shù)乘運(yùn)算具有普通數(shù)的乘法所具有的運(yùn)算律. 　　4．乘法運(yùn)算設(shè)，則規(guī)定其中 由此定義可知，只有當(dāng)左矩陣A的列數(shù)與右矩陣B的行數(shù)相等時(shí)，AB才有意義，而且矩陣AB的行數(shù)為A的行數(shù)，AB的列數(shù)為B的列數(shù)，而矩陣AB中的元素是由左矩陣A中某一行元素與右矩陣B中某一列元素對應(yīng)相乘再相加而得到.故矩陣乘法與普通數(shù)的乘法有所不同，一般地：①不滿足交換律，即②在時(shí)，不能推出或，因而也不滿足消去律.特別，若矩陣A與B滿足，則稱A與B可交換，此時(shí)A與B必為同階方陣.矩陣乘法滿足結(jié)合律，分配律及與數(shù)乘的結(jié)合律.　　5．方陣的乘冪與多項(xiàng)式方陣設(shè)A為n階方陣，則規(guī)定特別又若，則規(guī)定稱為A的方陣多項(xiàng)式，它也是一個n階方陣　　6．矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)A為一個矩陣，把A中行與列互換，得到一個矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為，轉(zhuǎn)置運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律：，由轉(zhuǎn)置運(yùn)算給出對稱矩陣，反對稱矩陣的定義設(shè)A為一個n階方陣，若A滿足，則稱A為對稱矩陣，若A滿足，則稱A為反對稱矩陣.7．方陣的行列式矩陣與行列式是兩個完全不同的概念，但對于n階方陣，有方陣的行列式的概念.設(shè)為一個n階方陣，則由A中元素構(gòu)成一個n階行列式，稱為方陣A的行列式，記為方陣的行列式具有下列性質(zhì)：設(shè)A，B為n階方陣，k為數(shù)，則①；②③（三）方陣的逆矩陣　　1．可逆矩陣的概念與性質(zhì)設(shè)A為一個n階方陣，若存在另一個n階方陣B，使?jié)M足，則把B稱為A的逆矩陣，且說A為一個可逆矩陣，意指A是一個可以存在逆矩陣的矩陣，把A的逆矩陣B記為，從而A與首先必可交換，且乘積為單位方陣E.逆矩陣具有以下性質(zhì)：設(shè)A，B為同階可逆矩陣，為常數(shù)，則①是可逆矩陣，且；②AB是可逆矩陣，且；③kA是可逆矩陣，且④是可逆矩陣，且⑤可逆矩陣可從矩陣等式的同側(cè)消去，即　　 設(shè)P為可逆矩陣，則 　　2．伴隨矩陣設(shè)為一個n階方陣，為A的行列式中元素的代數(shù)余子式，則矩陣稱為A的伴隨矩陣，記為（務(wù)必注意中元素排列的特點(diǎn)）伴隨矩陣必滿足 （n為A的階數(shù)）　　3．n階陣可逆的條件與逆矩陣的求法定理：n階方陣A可逆，且推論：設(shè)A，B均為n階方陣，且滿足，則A，B都可逆，且，　　 例1 設(shè)（1）求A的伴隨矩陣（2）a，b，c，d滿足什么條件時(shí)，A可逆？此時(shí)求　　 解：（1）對二階方陣A，求的口訣為“主交換，次變號”即（2）由，故當(dāng)時(shí)，即，A為可逆矩陣此時(shí)（四）分塊矩陣1． 分塊矩陣的概念與運(yùn)算對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了表示方便和運(yùn)算簡潔，常用一些貫穿于矩陣的橫線和縱線把矩陣分割成若干小塊，每個小塊叫做矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣叫做分塊矩陣.在作分塊矩陣的運(yùn)算時(shí)，加、減法，數(shù)乘及轉(zhuǎn)置是完全類似的，特別在乘法時(shí)，要注意到應(yīng)使左矩陣A的列分塊方式與右矩陣B的行分塊方式一致，然后把子塊當(dāng)作元素來看待，相乘時(shí)A的各子塊分別左乘B的對應(yīng)的子塊.2．準(zhǔn)對角矩陣的逆矩陣形如 的分塊矩陣稱為準(zhǔn)對角矩陣，其中均為方陣空白處都是零塊.若都是可逆矩陣，則這個準(zhǔn)對角矩陣