【正文】 101102103270225180135904504590Bode Diagramsys1sys2sys3sys4sys5sys?60dB/dec?40dB/dec?20dB/dec?40dB/decL(ω)/dBφ(ω)/186。比例環(huán)節(jié)：，積分環(huán)節(jié)：。15010050050100 10210110010110236031527022518013590450Bode Diagramsys1sys2sys3sys4sys?20dB/decL(ω)/dBφ(ω)/186。且終點(diǎn)從第3象限趨于原點(diǎn)，所以與負(fù)虛軸必有交點(diǎn)，令實(shí)部等于0，解得與虛軸的交點(diǎn)頻率ω=ωn=10，該點(diǎn)幅值和相角為峰值點(diǎn)：，④⑤解：，與實(shí)軸交點(diǎn)頻率與實(shí)軸交點(diǎn)32105040302010010Nyquist DiagramRe(ω)Im(ω)100Nyquist DiagramRe(ω)Im(ω)?⑥解：設(shè)k＞0，T＞0，Re(0)=0，Im(0)=0，Re(∞)=k/T，Im(∞)=0，所以，Nyquist曲線是一個(gè)圓心在（k/(2T)，0），半徑為k/(2T)的半圓。56 √設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求閉環(huán)系統(tǒng)的Mr，ωr及ωb。s1ec)1System: sysPeak gain (abs): At frequency ( rad解：（1）開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為由上式可見，這是一個(gè)典型二階系統(tǒng)，其中 （1） （2）將阻尼比ζ代入解得代入（2）式得根據(jù)題意，幅頻特性存在峰值，所以阻尼比應(yīng)該小于，即取ζ=，K=。s1ec): Magnitude (abs): System: sysFrequency ( rad(b)（b）由圖中對(duì)數(shù)幅頻特性各段斜率可見，系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，由一個(gè)比例環(huán)節(jié)、二個(gè)慣性環(huán)節(jié)（斜率?20dB/dec）和一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)（斜率+20dB/dec）串聯(lián)組成，所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有如下形式：式中靜態(tài)增益K可由水平段線段確定，即解得 K=10時(shí)間常數(shù)Ti（i=1，2，3）為各對(duì)應(yīng)段漸近線轉(zhuǎn)角頻率的倒數(shù)，即T1=1/=20 sT2=1/=10 sT3=1/=2 s將結(jié)果代入傳遞函數(shù)表達(dá)式中得下圖是根據(jù)求出的傳遞函數(shù)畫出的Bode圖，以供比較。（e）由圖中對(duì)數(shù)幅頻特性各段斜率可見，系統(tǒng)是一個(gè)0型系統(tǒng)，由一個(gè)比例環(huán)節(jié)、一個(gè)振蕩環(huán)節(jié)（斜率?40dB/dec）串聯(lián)組成，所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有如下形式：(e)式中靜態(tài)增益K可由斜率為0dB/dec的線段與橫軸的的交點(diǎn)確定，即解得 K=30振蕩環(huán)節(jié)的參數(shù)可根據(jù)幅頻特性曲線峰值點(diǎn)的頻率和峰值來確定。阻尼比小于振蕩環(huán)節(jié)幅頻特性的峰值為所以 解得 因?yàn)檎袷幁h(huán)節(jié)的幅頻特性有峰值，所以，所以取由 rad勞斯數(shù)列為Routh表第一列元素均大于0。特征根：， 177。由于Routh表第一列元素的符號(hào)改變了兩次，因此，系統(tǒng)有兩個(gè)特征根的實(shí)部為正。（1）解： 閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)特征方程為： 方法1：勞斯穩(wěn)定性判據(jù)勞斯數(shù)列為系統(tǒng)若要穩(wěn)定，特征方程系數(shù)必須全為正，且勞斯數(shù)列第一列必須全大于0，即由此解得：當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。方法2：利用胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程系數(shù)符號(hào)相同，滿足胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的必要條件，但系統(tǒng)是否穩(wěn)定還要看胡爾維茨行列式結(jié)果是否全為正。方法2：利用胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù) 根據(jù)胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)，解得當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。特征根：， 177。，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。勞斯數(shù)列為，故系統(tǒng)穩(wěn)定胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)特征方程系數(shù)符號(hào)相同，滿足胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的必要條件。圖題63X(s)Y(s)+－X(s)Y(s)+－（a）2s+－（b）解：（a）前向傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)特征方程為：利用勞斯判據(jù)判穩(wěn)特征方程系數(shù)符號(hào)相同，滿足勞斯穩(wěn)定性判據(jù)的必要條件。勞斯數(shù)列勞斯數(shù)列第1列皆為正，根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)知：系統(tǒng)穩(wěn)定。（1）解：開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為p1=?1，p2=?10，即在右半s平面無極點(diǎn)存在，所以p=0。也可以只畫出的Nyquist曲線，然后根據(jù)包圍(?1/100，j0)點(diǎn)的圈數(shù)N來判穩(wěn)?！?270186。402002040608010012080604020020406080Nyquist DiagramRe(ω)Im(ω)p=0，N=?2，N≠p，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。之間，且終點(diǎn)從第2象限趨于原點(diǎn)，所以與負(fù)實(shí)軸必有一交點(diǎn)，令I(lǐng)m(ω)=0得交點(diǎn)頻率為，代入實(shí)部得交點(diǎn)的實(shí)部為2502001501005002000150010005000500100015002000Re(ω)Im(ω) 25201510504224Nyquist DiagramRe(ω)Im(ω)因?yàn)榇嬖诜e分環(huán)節(jié)，即開環(huán)傳遞函數(shù)在原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，將此極點(diǎn)看成在左半s平面，則從ω=0?到ω=0+用一個(gè)半徑為無窮大的圓順時(shí)針將Nyquist曲線封閉起來即可判穩(wěn)。（6）210864202468Nyquist DiagramRe(ω)Im(ω)p=0，N=?2，N≠p，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。66 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定使相位裕量等于45186。分別畫出其乃奎斯特圖和伯德圖，求出其相位裕量并在所作出的上述兩圖上標(biāo)出。612 設(shè)控制系統(tǒng)中：，該系統(tǒng)在增益K為任何值時(shí)均不穩(wěn)定，試畫出該系統(tǒng)的根軌跡圖，利用作出的根軌跡圖，說明在負(fù)載軸上加一個(gè)零點(diǎn)，即把G(s)改為可以使該系統(tǒng)穩(wěn)定。610 設(shè)開環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)如題圖610中各圖所示，試畫出各自相應(yīng)的根軌跡圖。67 有下列開環(huán)傳遞函數(shù)（1）（2）（3）試?yán)L制系統(tǒng)的伯德圖并分別求它們的幅值裕量和相位裕量。解：K=1時(shí)765432102101Nyquist DiagramRe(ω)Im(ω)p=0，N=0，N=p，故系統(tǒng)穩(wěn)定。（4）Nyquist DiagramRe(ω)Im(ω)210123456432101234p=0，N=0，N=p，故系統(tǒng)穩(wěn)定。開環(huán)頻率特性，Re(0) = ?220，Im(0) = ?∞，Re(∞)= 0，Im(∞)=0+因?yàn)橄嘟窃?90186。令Re(ω)=0得與虛軸之交點(diǎn)頻率為，代入虛部得交點(diǎn)的虛部為Im(ωI)=?。（2）解：開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為p1=?2，p2=?5，p2=?20，即在右半s平面無極點(diǎn)存在，所以p=0?！?180186。 也可以利用開環(huán)傳遞函數(shù)用乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)判穩(wěn)。特征根： 177。特征根：， 177。，特征根：， 177。勞斯數(shù)列為 或 ，系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)實(shí)部為正的根。勞斯數(shù)列為 系統(tǒng)穩(wěn)定方法2：利用胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程系數(shù)符號(hào)相同，滿足胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的必要條件，但系統(tǒng)是否穩(wěn)定還要看胡爾維茨行列式結(jié)果是否全為正。特征根：， 1， 177。（2）解：閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)特征方程為：方法1：利用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程系數(shù)符號(hào)相同，滿足勞斯判據(jù)必要條件，但系統(tǒng)是否穩(wěn)定還要看勞斯數(shù)列第一列元素的符號(hào)是否相同。 。由勞斯數(shù)列第一列元素的符號(hào)變化次數(shù)可確定特征方程具有正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。方法2—利用胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)特征方程為：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程系數(shù)符號(hào)相同，滿足胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的必要條件，但系統(tǒng)是否穩(wěn)定還要看胡爾維茨行列式結(jié)果是否全為正。第6章 系統(tǒng)的穩(wěn)定性復(fù)習(xí)思考題1. 如何區(qū)分穩(wěn)定系統(tǒng)和不穩(wěn)定系統(tǒng)？2. 判別系統(tǒng)穩(wěn)定與否的基本出發(fā)點(diǎn)是什么？3. 勞斯－胡爾維茨判別系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是什么？4. 乃奎斯特方法判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本原理和方法，為什么能用開環(huán)傳遞函數(shù)并結(jié)合開環(huán)乃奎斯特圖就可以判定閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位置？5. 當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在虛軸上有極點(diǎn)存在時(shí)，如何處理對(duì)應(yīng)于極點(diǎn)處的乃奎斯特圖？6. 當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在原點(diǎn)或虛軸上存在重極點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的乃奎斯特圖與無重極點(diǎn)的有什么不同？7. 相位裕量和幅值裕量是如何定義的，在極坐標(biāo)和對(duì)數(shù)坐標(biāo)上如何表示？8. 根軌跡是如何定義的？它應(yīng)滿足什么條件？9. 根據(jù)哪些特征就能方便地畫出根軌跡的近似線？習(xí) 題61 設(shè)(圖題61)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)，試判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定與否。s1得 將上述結(jié)果代入傳遞函數(shù)表達(dá)式中得下圖是根據(jù)求出的傳遞函數(shù)畫出的Bode圖，以供比較。(d) rads1ec): Phase (deg): 90 Phase (deg)Magnitude (abs)（2）開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)頻率特性幅頻特性 （1）令 得 代入（1）式得58 √有下列最小相位系統(tǒng)，通過實(shí)驗(yàn)求得各系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性如題58圖，試估計(jì)它們的傳遞函數(shù)。s1ec)01System: sysPeak gain (abs): At frequency ( rads1): Magnitude (abs): System: sysFrequency ( rad所以相對(duì)諧振峰值：謝振頻率： 截止頻率：10203040506070809010018013590450System: sysFrequency ( rads1)，T值應(yīng)為多少？圖題55解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 （1） （2）所以令解得 【注】如果要套用教材上的公式，則在套用之前一定要先將傳遞函數(shù)或頻響函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)的慣性環(huán)節(jié)表達(dá)式，確定時(shí)間常數(shù)，如上面公式（1）和（2）所示。，因相角從0186。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?20dB/dec振蕩環(huán)節(jié)，時(shí)間常數(shù)T=1 s，無阻尼固有角頻率ωn=1/T=1 rad?s?1，阻尼比ζ=(2T)=。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?40dB/dec，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/T=ωn=10 rad?s?1。慣性環(huán)節(jié)1：，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/=2 rad?s?1。積分環(huán)節(jié)：。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec慣性環(huán)節(jié)1：，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/=20 rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?20dB/dec慣性環(huán)節(jié)2：，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/=10 rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?20dB/dec第二個(gè)由一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)和一個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)一階微分環(huán)節(jié)：，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/=20 rad?s?1。①②③解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 則 ①因?yàn)橄到y(tǒng)是線性系統(tǒng)，且輸入為簡諧信號(hào)，所以系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為其中將輸入信號(hào)角頻率ω=1代入上兩式得所以系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為②過程同①，ω=2，所以所以系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為③因?yàn)檩斎霝棰佗?，根?jù)線性系統(tǒng)的疊加原理知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出就是上面兩個(gè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)相減，即52 √繪制下列各環(huán)節(jié)的伯德圖①解：兩個(gè)都是比例環(huán)節(jié)②解：第一個(gè)為比例環(huán)節(jié)與積分環(huán)節(jié)串聯(lián)，第二個(gè)為2重微分環(huán)節(jié)，斜率=?20dB/dec；，斜率=40dB/dec③解：第一個(gè)是一個(gè)比例環(huán)節(jié)與一個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)：，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1 rad?s?1。4. 頻率特性和單位脈沖函數(shù)的關(guān)系是什么？5. 各典型環(huán)節(jié)的伯德圖和乃奎斯特圖。對(duì)于線性定常系統(tǒng)，若輸入為簡諧信號(hào)，則其穩(wěn)態(tài)輸出一定是同頻率的簡諧信號(hào)。（2）若在擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1 / s，對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差有什么影響？在擾動(dòng)作用點(diǎn)之后引入積分環(huán)節(jié)1 / s，結(jié)果又將如何？題4－10（圖中K1應(yīng)為K）解：（1）由圖可知求得復(fù)域系統(tǒng)誤差為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為將R(s)=1/s和N(s)=2/s代入上式得【注】此題原題可能有數(shù)據(jù)錯(cuò)誤。（2）試求外部擾動(dòng)N1(s)和N2(s)分別單獨(dú)作用時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。靜態(tài)位置誤差系數(shù) 靜態(tài)速度誤差系數(shù) 靜態(tài)加