【正文】 性得解法2：利用拉氏變換復(fù)域平移定理及線性性質(zhì)得（3）解：利用部分分式法。由圖可見根據(jù)拉氏變換的積分特性得圖題521f1(t)f1(t－2)10?1(t－2)f1(t)f1(t－1)2?1(t－3)f1(t－3)1(t－1)26 √試求下列象函數(shù)的拉氏反變換（1）解法1：利用部分分式法。25 求圖題2－5所示的各種波形所表示的函數(shù)的拉氏變換。解：（1）根據(jù)拉氏變換的微分特性得知f 39。(t)，然后求f(0＋)和f 39。(0＋)的值。【注】本題求拉氏反變換時(shí)，可以利用教材表21中的第10項(xiàng)。（2） 通過取F(s)的拉氏反變換，求t→∞時(shí)的f(t)值。所以 π 2π 3π 4π 5π6π101tf(t)圖題22sin(t)sin(t－π)?1(t－π)解法2：直接按定義求解。換句話說，這里(t?1)2并不是t2的延時(shí)函數(shù)。利用拉氏變換線性特性、延時(shí)特性和復(fù)域平移特性【注】本題不可對第二項(xiàng)(t?1)2e2t采用如下方法：因?yàn)椋脮r(shí)域位移定理得，再利用復(fù)域平移定理得。（4）解法1：，利用復(fù)域平移特性得解法2： 利用復(fù)域微分特性得解法3：直接按定義并與tn的拉氏變換進(jìn)行比較解法4：直接按定義求解得到遞推關(guān)系如下：所以解法5：直接套用教材表21中第9項(xiàng)結(jié)果22 √求下列函數(shù)的拉氏變換。習(xí) 題21 √試求下列函數(shù)的拉氏變換，假設(shè)當(dāng)t＜0時(shí)f(t)＝0。（2）F(s)有重極點(diǎn)的情況假設(shè)F(s)有r個(gè)重極點(diǎn)p1，其余極點(diǎn)均不相同，則式中K1K1…、K1r的求法如下： 其余系數(shù)Kr＋K r＋…、Kn的求法與第一種情況所述的方法相同，即求得所有的待定系數(shù)后，F(xiàn)(s)的反變換為5. 用拉氏變換求解微分方程的步驟。注意，由于f(t)是個(gè)實(shí)函數(shù)。 式中pi為A(s)＝0的根。4. 用部分分式法求拉氏反變換的方法。對任一常數(shù)a（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)），有 （6）初值定理若函數(shù)f(t)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，則函數(shù)f(t)的初值為 即原函數(shù)f(t)在自變量t趨于零（從正向趨于零）時(shí)的極限值，取決于其象函數(shù)F(s)的自變量s趨于無窮大時(shí)sF(s)的極限值。對于定積分的拉普拉斯變換，如果f(t)是指數(shù)級的，則上述定理修改如下：如果f(t)在t＝0處包含一個(gè)脈沖函數(shù)，則，此時(shí)依此類推如果，該定理也要修正成（4）時(shí)域的位移定理若f(t)的拉氏變換為F(s)，對任一正實(shí)數(shù)a，有 f(t－a)為延遲時(shí)間a的函數(shù)f(t)，當(dāng)t＜a時(shí)，f(t)＝0。式中，是在t = 0時(shí)的值。如果在t＝0處有斷點(diǎn)，f(0－)≠f(0＋)，則該定理需修改成式中f (i)(0＋)（0＜i＜n）表示f(t)的i階導(dǎo)數(shù)在t從正向趨近于零時(shí)的取值。此定理需考慮在t＝0處是否有斷點(diǎn)。這一條件是使拉氏變換的被積函數(shù)f(t)e＿st絕對收斂，由下式看出因?yàn)? 所以 只要是在復(fù)平面上對于Re(s)＞a的所有復(fù)數(shù)s，都能使式(21)的積分絕對收斂，則Re(s)＞a為拉氏變換的定義域，a稱作收斂坐標(biāo)，見圖2f2。若式(21)的積分收斂于一確定的函數(shù)值，則f(t)的拉氏變換F(S)存在，這時(shí)f(t)必須滿足：①在任一有限區(qū)間上，f(t)分段連續(xù)，只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，如圖2f1的ab區(qū)間。第2章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法復(fù)習(xí)思考題1. 拉氏變換的定義是什么？解：有時(shí)間函數(shù)f(t)，t≥0，則f(t)的拉氏變換記作：L[f(t)]或F(s)，并定義為 s為復(fù)數(shù)。解答：普通電風(fēng)扇、普通洗衣機(jī)、全自動(dòng)洗衣機(jī)在順序控制模式下、電動(dòng)攪拌機(jī)等均屬開環(huán)控制。閉環(huán)控制：為了提高控制精度，采用圖11(b)所示的反饋控制，以檢測裝置隨時(shí)測定工作臺(tái)的實(shí)際位置(即其輸出信息)；然后反饋送回輸入端，與控制指令比較，再根據(jù)工作臺(tái)實(shí)際位置與目的位置之間的誤差，決定控制動(dòng)作，達(dá)到消除誤差的目的。開環(huán)控制：一種簡單的控制方案是根據(jù)控制裝置發(fā)出的一定頻率和數(shù)量的指令脈沖驅(qū)動(dòng)步進(jìn)電機(jī)，以控制工作臺(tái)或刀架的移動(dòng)量，而對工作臺(tái)或刀架的實(shí)際移動(dòng)量不作檢測，其工作原理如圖15(a)所示。而基于與此相反的理由，軸承上半部壓力減小，于是軸承下半部油腔產(chǎn)生反作用力，與負(fù)荷相平衡，以減少偏移量e，甚至完全消除偏移量e，即達(dá)到“無窮大”的支承剛度。圖題12(a)是其結(jié)構(gòu)示意圖，圖題12(b)是其方框圖。如果反饋回去的訊號(hào)（或作用）與原系統(tǒng)的輸入訊號(hào)（或作用）的方向相反，則稱之為“負(fù)反饋”；反饋回去的信號(hào)（或作用）與系統(tǒng)的輸入信號(hào)（或作用）的方向相同，則稱之為“正反饋”。圖題11 工藝過程中信息的傳遞工藝過程毛坯尺寸工件尺寸x0nn0y4. 么是反饋及反饋控制？試舉例說明。信息傳遞：是指信息在系統(tǒng)及過程中以某種關(guān)系動(dòng)態(tài)地傳遞，或稱轉(zhuǎn)換。3. 什么是信息及信息的傳遞？試舉例說明。具體地說，它研究的是機(jī)械工程技術(shù)中的廣義系統(tǒng)在一定的外界條件（即輸入或激勵(lì)，包括外加控制與外加干擾）作用下，從系統(tǒng)的一定的初始狀態(tài)出發(fā)，所經(jīng)歷的由其內(nèi)部的固有特性（即由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)所決定的特性）所決定的整個(gè)動(dòng)態(tài)歷程：研究這一系統(tǒng)及其輸入、輸出三者之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系。機(jī)械行業(yè)工程管理控制基礎(chǔ)作者：日期：《機(jī)械工程控制基礎(chǔ)》（修訂本）．陳康寧（主編）．西安交通大學(xué)出版社，1997年11月第1版習(xí)題解答山東理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程系2009年第1章 緒 論復(fù)習(xí)思考題1. 控制論的中心思想是什么？解答：它抓住一切通訊和控制系統(tǒng)所共有的特點(diǎn)，站在一個(gè)更概括的理論高度揭示了它們的共同本質(zhì)，即通過信息的傳遞、加工處理和反饋來進(jìn)行控制，這就是控制論的中心思想。2. 機(jī)械工程控制論的研究對象及任務(wù)是什么?解答：機(jī)械工程控制論實(shí)質(zhì)上是研究機(jī)械工程中廣義系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題。從系統(tǒng)、輸入、輸出三者之間的關(guān)系出發(fā)，根據(jù)已知條件與求解問題的不同，機(jī)械工程控制論的任務(wù)可以分為以下五方面（1）已知系統(tǒng)和輸入求系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)），并通過輸出來研究系統(tǒng)本身的有關(guān)問題，即系統(tǒng)分析問題；（2）己知系統(tǒng)和系統(tǒng)的理想輸出，設(shè)計(jì)輸入，使輸出盡可能符合給定的最佳要求，即最優(yōu)控制問題；（3）已知輸入和理想輸出，設(shè)計(jì)系統(tǒng)，使得輸出盡可能符合給定的最佳要求，即最優(yōu)設(shè)計(jì)問題；（4）系統(tǒng)的輸入和輸出已知，求系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，即建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，即系統(tǒng)辨識(shí)問題；（5）系統(tǒng)和輸出已知，識(shí)別輸入或輸入中的有關(guān)信息，此即濾波與預(yù)測問題。解答：信息：一切能表達(dá)一定含義的信號(hào)、密碼、情報(bào)和消息。如圖題11所示機(jī)床加工工藝系統(tǒng)，將工件尺寸作為信息，通過工藝過程的轉(zhuǎn)換，加工前后工件尺寸分布有所變化，這樣，研究機(jī)床加工精度問題，可通過運(yùn)用信息處理的理論和方法來進(jìn)行。解答：反饋：所謂信息的反饋，就是把一個(gè)系統(tǒng)的輸出信號(hào)不斷直接地或經(jīng)過中間變換后全部或部分地返回，再輸入到系統(tǒng)中去。舉例1：圖題12是一個(gè)薄膜反饋式徑向靜壓軸承。當(dāng)主軸受到負(fù)荷W后，產(chǎn)生偏移e，因而使軸承下油腔壓力p2增加，軸承上油腔壓力p1減小，這樣，與之相通的薄膜反饋機(jī)構(gòu)的下油腔壓力亦隨之增加，上油腔壓力則減小，從而使薄膜向上產(chǎn)生凸起變形δ，因此薄膜下半部高壓油輸入軸承的通道擴(kuò)大，液阻下降，從而使軸承下部壓力上升。圖題 11 靜壓軸承薄膜反饋控制系統(tǒng)舉例2：以數(shù)控機(jī)床工作臺(tái)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為例。這種控制方式簡單，但問題是從驅(qū)動(dòng)電路到工作臺(tái)這整個(gè)“傳遞鏈”中的任一環(huán)的誤差均會(huì)影響工作臺(tái)的移動(dòng)精度或定位精度。圖題12 兩種控制方式5. 日常生活中有許多閉環(huán)和開環(huán)控制系統(tǒng)，試舉例說明。電冰箱、電飯鍋、空調(diào)等均屬閉環(huán)控制。稱f(t)為原函數(shù)，F(xiàn)(s)為象函數(shù)。②當(dāng)t→∞時(shí)，f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù)，即滿足[f(t)]≤Meat式中M、a均為實(shí)常數(shù)。 圖2f1 在[a，b]上分段連續(xù)0f(t)tba 圖2f2 拉氏變換定義域a0Im(s)Re(s)定義域2. δ(t)，1(t)，t，sinωt，cosωt，eat，tn的拉氏變換是什么？解：3. 拉氏變換的線性性質(zhì)、微分定理、積分定理、時(shí)域的位移定理、復(fù)域位移定理、初值定理、終值定理、卷積定理是什么？如何應(yīng)用？解答：（1）線性性質(zhì)：若有常數(shù)K1，K2，函數(shù)f1(t)，f2(t)，且L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s)，則 （2）微分定理：若f(t)的拉氏變換為F(s)，則 f(0)為t=0時(shí)的f(t)值。如果在t＝0處有斷點(diǎn)，f(0－)≠f(0＋)，則該定理需修改成f(0＋)為由正向使t→0時(shí)的f(t)值；f(0—)為由負(fù)向使t→0時(shí)的f(t)值；進(jìn)而可推出f(t)的各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換： 式中f (i)(0)（0＜i＜n）表示f(t)的i階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的取值。f (i)(0—)（0＜i＜n）表示f(t)的i階導(dǎo)數(shù)在t從負(fù)向趨近于零時(shí)的取值當(dāng)初始條件均為零時(shí)，即則有（3）積分定理若f(t)的拉氏變換為F(s)，則 是對不定積分的拉普拉斯變換。如果f(t)在t＝0處包含一個(gè)脈沖函數(shù)，則，此時(shí)，必須將上述定理修正如下：式中，是在t = 0＋時(shí)的值；，是在t = 0—時(shí)的值。（5）復(fù)域位移定理f(t)的拉氏變換為F(s)。（7）終值定理若函數(shù)f(t)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，并且除在原點(diǎn)處唯一的極點(diǎn)外，sF(s)在包含jω軸的右半s平面內(nèi)是解析的（這意味著當(dāng)t→∞時(shí)f(t)趨于一個(gè)確定的值），則函數(shù)f(t)的的終值為 （8）卷積定理若，則有 式中，積分，稱作f(t)和g(t)的卷積。解答：（1）F(s)無重極點(diǎn)的情況F(s)總是能展開為下面簡單的部分分式之和： 式中KK…、Kn為待定系數(shù)（系數(shù)Ki為常數(shù)，稱作極點(diǎn)s＝pi上的留數(shù)）。求得各系數(shù)后，則F(s)可用部分分式表示 因從而可求得F(s)的原函數(shù)為 當(dāng)F(s)的某極點(diǎn)等于零，或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)時(shí)，同樣可用上述方法。若p1和p2是一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，那么相應(yīng)的系數(shù)K1和K2也是共軛復(fù)數(shù)，只要求出K1或K2中的一個(gè)值，另一值即可得。解答：用拉氏變換解線性常微分方程，首先通過拉氏變換將常微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程，進(jìn)而解出象函數(shù)，最后由拉氏反變換求得常微分方程的解。（1）（2）（3） （用和角公式展開）（4）（1）解：利用拉氏變化的線性疊加特性（2）解法1：利用cos10t的拉氏變換結(jié)果和復(fù)數(shù)域位移定理解法2：直接按定義并與cosωt的拉氏變換進(jìn)行比較解法3：直接按定義求解解法4：直接套用教材表21中第14項(xiàng)結(jié)果（3）（用和角公式展開）解法1：利用和角公式展開，然后利用拉氏變換的線性疊加性所以解法2：直接利用定義求解，令，則有 （1）而 （2）（3）將（3）式和（2）式代入（1）得【注】本題不可直接利用延時(shí)定理，因?yàn)楹瘮?shù)不是延時(shí)函數(shù)，如果使用了延時(shí)定理，則將改變定義域。（1）（2）（3）（4）（1）解：設(shè)t＜0時(shí)，f(t)＝0利用拉氏變換的線性特性（2）解：利用拉氏變換的性質(zhì)：線性性質(zhì)，復(fù)域平移特性（3）解：設(shè)t＜0時(shí)，f(t)＝0。這樣計(jì)算的結(jié)果是錯(cuò)誤的，原因在于：在利用時(shí)域位移定理時(shí)，將(t?1)2的定義域變成了，而原題中(t?1)2的定義域?yàn)?。?）解法1：，如圖22所示。23 √已知（1） 利用終值定理，t→∞時(shí)的f(t)值。解：（1）（2）根據(jù)部分分式法得所以 所以 所以 ，與（1）中計(jì)算結(jié)果相同。24 √已知（1） 利用初值定理，求f(0＋)和f 39。（2） 通過取F(s)的拉氏反變換，求f(t)，再求f 39。(0＋)。(t)的拉氏變換為則再次利用初值定理得（2） 則 結(jié)果與（1）中計(jì)算的一致。圖題2－5解：（a）解法1：設(shè)，則（見圖251(a)）由此得解法2：令 根據(jù)拉氏變換的積分特性得解法3：直接利用拉氏變換定義則（b）解法1：設(shè)，則由圖251(b)可知所以 解法2：令 根據(jù)拉氏變換的積分特性得解法3：直接利用拉氏變換定義則（c）解法1：利用拉氏變換的積分特性。先將F(s)展開成部分分式因?yàn)閮蓚€(gè)極點(diǎn)共軛，所以K2與K1共軛，即即 所以 解法2：查表法利用拉氏變換對照表查得（2）解法1：利用部分分式法。先將F(s)展開成部分分式即 所以 （4）解：利用部分分式法。先將F(s)展開成部分分式即 則（6）解：利用拉氏變換的實(shí)數(shù)域位移定理（延時(shí)定理）得（7）解：將F(s)展開成部分分式即 所以27 √求下列卷積（1） 1*1解：因?yàn)?，利用拉氏變換的卷積定理得對上式