常微分課后答案第五章(文件)
【正文】 到通解．10．給定方程，其中在上連續(xù)，試利用常數(shù)變易公式，證明：若在上有界，則上面方程的每一個解在上有界；若當時，則上面方程的每一個解，滿足（當時）．證明 對應(yīng)的特征方程有特征根，故對應(yīng)的齊線性方程的基本解組，．由公式（）得原方程的一個特解（）為 ，所以方程的任一解可寫為．由于在上有界，故，有．又由于，從而當時， ，即方程的每一個解在上有界．當時，故由知，若有界，則，若無界，由于在連續(xù)，故為無窮大量，因此，即總有．同理．從而對方程的每一個解，有．11．給定方程組，這里是區(qū)間上的連續(xù)矩陣．設(shè)是它的一個基解矩陣，維向量函數(shù)在上連續(xù)，．試證明初值問題： （*）的唯一解是積分方程組 （**）的連續(xù)解．反之，（**）的連續(xù)解也是初值問題（*）的解．證明 是初值問題（*）的解，故，這說明是的向量函數(shù)，于是由公式（）得，即是積分方程組（**）的連續(xù)解．反之，設(shè)是積分方程組（**）的連續(xù)解，則有，兩端對求導，就有 ，即也是初值問題（*）的解． 167。第五章 線性微分方程組167。 常系數(shù)線性微分方程組 1．假設(shè)是矩陣，試證：對任意的常數(shù)都有；對任意整數(shù)，都有．（當是負整數(shù)時，規(guī)定．證明 因為 ，所以矩陣與可交換，故．①先證明，有，這只須對施以數(shù)學歸納法．當時，成立，設(shè)當時，則當時，有，故對一切自然數(shù)，．②．③若是負整數(shù)，則，注意到，并由以上證明應(yīng)用于矩陣，就有，由①②③，對一切整數(shù)，均有．2．試證：如果是滿足初始條件的解，那么．證明 由于 ，又，故是方程組滿足初始條件的解．由解的唯一性，命題得證．3．試計算下列矩陣的特征值及對應(yīng)的特征向量．； ； ； ．解 特征方程，特征值，對應(yīng)于特征值的特征向量必須滿足方程組，得到，是對應(yīng)于特征值的特征向量．類似地可求得對應(yīng)于特征值的特征向量為，其中的任意常數(shù)．特征方程，特征值，．對應(yīng)于特征值的特征向量必須滿足方程組，得到，是對應(yīng)于特征值的特征向量．類似地，可以求出對應(yīng)于特征值以及的特征向量分別為 （的任
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