常微分課后答案第五章(文件)
【正文】 到通解．10．給定方程，其中在上連續(xù)，試?yán)贸?shù)變易公式，證明：若在上有界，則上面方程的每一個(gè)解在上有界；若當(dāng)時(shí)，則上面方程的每一個(gè)解，滿足（當(dāng)時(shí)）．證明 對(duì)應(yīng)的特征方程有特征根，故對(duì)應(yīng)的齊線性方程的基本解組，．由公式（）得原方程的一個(gè)特解（）為 ，所以方程的任一解可寫(xiě)為．由于在上有界，故，有．又由于，從而當(dāng)時(shí)， ，即方程的每一個(gè)解在上有界．當(dāng)時(shí)，故由知，若有界，則，若無(wú)界，由于在連續(xù)，故為無(wú)窮大量，因此，即總有．同理．從而對(duì)方程的每一個(gè)解，有．11．給定方程組，這里是區(qū)間上的連續(xù)矩陣．設(shè)是它的一個(gè)基解矩陣，維向量函數(shù)在上連續(xù)，．試證明初值問(wèn)題： （*）的唯一解是積分方程組 （**）的連續(xù)解．反之，（**）的連續(xù)解也是初值問(wèn)題（*）的解．證明 是初值問(wèn)題（*）的解，故，這說(shuō)明是的向量函數(shù)，于是由公式（）得，即是積分方程組（**）的連續(xù)解．反之，設(shè)是積分方程組（**）的連續(xù)解，則有，兩端對(duì)求導(dǎo)，就有 ，即也是初值問(wèn)題（*）的解． 167。第五章 線性微分方程組167。 常系數(shù)線性微分方程組 1．假設(shè)是矩陣，試證：對(duì)任意的常數(shù)都有；對(duì)任意整數(shù)，都有．（當(dāng)是負(fù)整數(shù)時(shí)，規(guī)定．證明 因?yàn)?，所以矩陣與可交換，故．①先證明，有，這只須對(duì)施以數(shù)學(xué)歸納法．當(dāng)時(shí)，成立，設(shè)當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，有，故對(duì)一切自然數(shù)，．②．③若是負(fù)整數(shù)，則，注意到，并由以上證明應(yīng)用于矩陣，就有，由①②③，對(duì)一切整數(shù)，均有．2．試證：如果是滿足初始條件的解，那么．證明 由于 ，又，故是方程組滿足初始條件的解．由解的唯一性，命題得證．3．試計(jì)算下列矩陣的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量．； ； ； ．解 特征方程，特征值，對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量必須滿足方程組，得到，是對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量．類似地可求得對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為，其中的任意常數(shù)．特征方程，特征值，．對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量必須滿足方程組，得到，是對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量．類似地，可以求出對(duì)應(yīng)于特征值以及的特征向量分別為 （的任
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