【正文】 能夠利用的一個周期內(nèi)信號的傅里葉變換的等間隔采樣來表示。 我們有： （） 而周期信號： （） 故可得出周期信號的傅里葉變換： （） （）式就是周期信號的傅里葉表示形式，它在頻域上是由一串沖擊所組成，各沖擊的面積正比于傅里葉級數(shù)系數(shù)。與連續(xù)時間情況相同，當周期時，趨于，也就是說，對任何有限時間n值而言，就等于。 同時，式（）也向我們揭示了周期序列頻譜系數(shù)與離散時間非周期信號傅里葉變換之間的關(guān)系，即：一個周期信號的傅里葉系數(shù)能夠利用在一個周期內(nèi)的序列的傅里葉變換的等間隔采樣來表示。同連續(xù)情況一樣，周期序列傅里葉變換的引入，就能在統(tǒng)一的框架內(nèi)對離散序列進行分析?？梢越柚蓸佣ɡ韥硖接懰麄冞@種關(guān)系。討論如下 ， （） 根據(jù)的傅里葉變換是，所以有 （） 考慮的離散時間傅里葉變換，利用（）式得： （） 對比（）式和（）式可見： （）式（）表明可由進行尺度變換得到，這種頻率域尺度的伸縮變換是數(shù)字頻率與模擬頻率的體現(xiàn)。 連續(xù)信號的離散化處理過程 現(xiàn)在來觀察連續(xù)信號離散化處理的整個過程。該圖的左邊是某一具有代表性的頻譜，和，其中假定，所以沒有頻譜混疊。 離散時間信號的采樣與抽取 離散信號與連續(xù)信號有很多相對應(yīng)的性質(zhì)，連續(xù)時間信號的采樣定理是連續(xù)信號就行傅里葉分析的一個極其重要的定理，而離散時間信號是否具有類似的采樣定理呢？ 離散時間信號的采樣Figure Discrete time signal sampling 其中 （） 所以，在頻域內(nèi)就有 （） 采樣序列的離散時間傅里葉變換為 （） 式中采樣頻率，所以得 （） 一個離散時間信號經(jīng)脈沖串采樣的頻譜特性Figure The spectrum characteristics of a discrete time signal by pulse sequence sampling由式（）可知，當采樣頻率大于2倍最大數(shù)字頻率時，不產(chǎn)生頻譜混疊。 （） 序列采樣與抽取間的關(guān)系Figure The relationship between the sequence of sampling and extraction為了確定抽取在頻域中的效果，希望能求得的傅里葉變換和之間的關(guān)系。我們知道對連續(xù)信號進行采樣，其離散時間傅里葉變換的頻譜就是原連續(xù)信號頻譜周期擴展后的尺度變換，換句話說就是對脈沖采樣信號頻譜的歸一化過程。然而以上討論的信號處理方式都是連續(xù)函數(shù)或者以積分的形式出現(xiàn)，這樣不利于計算機進行處理。周期信號可以看成非周期信號的周期性擴展。 離散傅里葉變換（DFT） 在離散傅里葉級數(shù)的變換中，我們已知與都是以N為周期的序列。 序列的離散時間傅里葉變換為： 所以有： （） 式（）表明了離散傅里葉變換的物理意義[15]，即為的離散時間傅里葉變換在區(qū)間上的N點等間隔采樣。 將（）式代入上式化簡得： （） 所以： （）式（）說明，在上的N點等間隔采樣的N點IDFT是原序列以N為周期進行周期擴展后的主值序列。當對信號進行16點DFT時，其IDFT將產(chǎn)生混疊失真（如(d)所示）；但對信號進行32點DFT時，其IDFT與原信號相同，順利恢復(fù)原序列。循環(huán)卷積與線性卷積具有一定的關(guān)系使得循環(huán)卷積定理具有很強的實用性，在計算系統(tǒng)輸出以及用FFT實現(xiàn)FIR濾波器等都是以該定理為基礎(chǔ)。 觀察（）式，我們可以建立一個的L點“循環(huán)卷積矩陣”： 并可得：（） 上式，就是在計算機上用矩陣相乘的方法計算兩個序列的循環(huán)卷積。 序列及其循環(huán)卷積波形Figure Sequence and its cyclic convolution waveform 循環(huán)卷積定理表明，對于式（）所示卷積，的L點DFT為： （） 其中。它說明了線性卷積與循環(huán)卷積之間的關(guān)系。由于可以用矩陣法和利用DFT計算循環(huán)卷積，故在滿足時，我們也可以用相同的方法計算線性卷積。而DFT是對連續(xù)信號時域和頻率的采樣，是離散的傅里葉變換，適合數(shù)值運算。而DFT對應(yīng)的是有限長序列和有限點頻域采樣，故對連續(xù)非周期信號進行DFT處理時通常先對信號進行預(yù)濾波和截取處理，使信號滿足DFT的要求，當然這也必然引入誤差，這不是本文所要討論的內(nèi)容。對于從等間隔取樣的序列，其N點DFT就是對的離散時間傅里葉變換在上的等間隔采樣，用表示，在前邊的討論中我們知道，當變換區(qū)間長度N大于序列的長度時，對進行IDFT變能還原序列。這大大限制了DFT算法的使用。其突出的優(yōu)點在于能快速高效地和比較精確地完成 DFT 的計算。其周期性表現(xiàn)為 （） 其對稱性表現(xiàn)為 （) （） FFT算法就是不斷把長序列的DFT分解成幾個短序列的DFT，并利用的周期性和對稱性來減少DFT的運算次數(shù)。按n的奇偶將分解為兩個點的子序列 則的DFT為 因為： 所以 （） 其中和分別為和的點DFT。 8點DFT一次時域抽取分解運算流圖Figure The flow diagram of one time deposition operation in 8 point DFT 依照上述方法，對信號進行M次分解最后將N點DFT分解成N個1點DFT和M級蝶形運算，而一點DFT就是時域序列本身。也正是由于各種快速算法的提出，大大提高了DFT的運算速度，使得DFT能夠在信號處理中得到廣泛的應(yīng)用，并極大促進了數(shù)字信號處理技術(shù)的發(fā)展。 本文從基本概念出發(fā)，介紹了傅里葉變換的基本內(nèi)容，并分析討論了各種傅里葉變換的概念及其相互間的關(guān)系。我們對信號及其頻譜進行有限長取樣，從而引入離散傅里葉變換DFT，這是對信號頻譜分析的逼近。參考文獻：[1] [N].新聞天地(論文版),2009,(01):138140.[2] 奧本海姆 A V :西安交通大學(xué)出版社,2002.[3] 彭啟琮,邵懷宗,[M].北京:電子工業(yè)出版社,2006.[4] (第四版)[M].北京:高等教育出版社,2005.[5] Joyce Van de of digital signal processing [M].Beijing: Publishing House of Electronics Industry,2003:470481.[6] [M].北京:科學(xué)出版社,2008.[7] Gabel R A,Robert R and Linear ed.[.]:John Wiley and Sons, Inc. ,1987.[8] Ambardar 、[M].北京:機械工業(yè)出版社,2001.[9] 李亞峻,史興榮,[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2012. [10] 桂志國,[M].北京:國防工業(yè)出版社,2012.[11] 桂志國,[M].北京:電子工業(yè)出版社,2009.[12] 芮坤生,潘夢賢,(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2003.[13] 覃 [J].科技向?qū)?2013,(05):54.[14] [J].現(xiàn)代電子技術(shù),2006,(11):134137.[15] 高西全,(第三版)[M].西安:.[16] 鄭君里,應(yīng)啟珩,(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2004.[17] Alan V Oppenheim,Ronald W Schafer,John R ,黃建國,:西安交通大學(xué)出版社,2001.[18] (第三版)[M].北京:.[19] [M].北京:北京理工大學(xué)出版社,1997. WORD格式整理 。限于篇幅，關(guān)于傅里葉分析理論中兩個極其重要的概念拉普拉斯變換和Z變換本文并不涉及。然后對信號的離散化處理和離散信號的采樣與抽取進行了簡要介紹以加深對傅里葉變換的認識。使得傅里葉變換在信號分析領(lǐng)域得以廣泛運用的原因。所以，M級運算總的復(fù)數(shù)乘法次數(shù)為 lb （） 復(fù)數(shù)加法次數(shù)為 lb （） 所以對比直接計算N點DFT，DITFFT大大減少了運算次數(shù)。（）和（），稱為蝶形運算符號。在此，我們僅以時域抽取基2FFT算法（簡稱DITFFT）為例進行討論。顯然，把N點DFT分解為幾個較短的DFT可使乘法次數(shù)大大減少。這些算法，稱之為快速傅立葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）。這就是可以用離散傅里葉變換DFT來擬合連續(xù)信號頻譜的基本思路。對連續(xù)時間信號以采樣間隔進行等間隔脈沖采樣，則其頻譜以進行周期性延拓，當采樣頻率大于兩倍的最高頻率時，將不產(chǎn)生