【正文】 得各行,各列,:先從左到右,從上到下,將1～9這9個數(shù)依次填入幻方中（如（2））；然后中心的5不動，周圍的8個數(shù)順時針轉(zhuǎn)一格（如（3））；再將（3）中的對角的數(shù)互換一下（如（4））,即為填1～（4）中每個數(shù)減去5（或加5）,得（5）,即填4～.仔細體會上述填法從（4）到（5）這一步,我們發(fā)現(xiàn)它事實上提出了幻方的一種變換方式：變換1 將一個幻方中的各數(shù)同時加上（或減去）一個相同的數(shù)，得到的仍就是幻方.如,上面的圖（4）中每一行,每一列以及每條對角線的幾個數(shù)分別加起來所得的和都15,是個3階幻方，那么由變換1知道把圖（4）中的每行數(shù)字加上2或減去2可分別得到圖（6）,圖（7）.圖（6）中每行，每列及每條對角線的幾個數(shù)分別加起來所得的和是21，圖（7）也是一個3階幻方.6+21+28+26212827+25+23+27252322+29+24+2229242 （6） （7）變換2 將一個幻方中的各數(shù)按一定順序（從大到小或從小到大）與一個等差數(shù)列中的各數(shù)對應(yīng)相加（或減），得到的還是幻方.如（8）,（9）就是在（4）的基礎(chǔ)上按變換2得到的. 6+111+18+1567117837+135+93+575593132+39+174+721591411 (8) (9)二．幻方的對稱與方冪和性質(zhì)認真觀察（5）,我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)：（各行,各列,斜對角的三個數(shù)之和相等）和方冪的性質(zhì)（互為相反數(shù)的兩個數(shù)的偶次冪相等,而奇次冪互為相反數(shù)）,我們得到（5）的兩條奇妙性質(zhì)：（i） 關(guān)于中心行（列）對稱的兩行（列）的各數(shù)之和互為相反數(shù),且各數(shù)的奇次冪之和亦互為相反數(shù).（ii） 關(guān)于中心行（列）對稱的兩行（列）的各數(shù)之和相等,且各數(shù)的偶次冪之和亦相等.面對如此奇妙的性質(zhì),我們不盡浮想連翩：（4）,（6）～（9）同樣都是幻方,它們也有這樣的性質(zhì)嗎？不難否定性質(zhì)（i）.現(xiàn)在我們以（4）為例來考察一下性質(zhì)（ii）.先取第一,三行： ………………….所以 再取第1,3列 ....................所以 由此我們猜測：33幻方中,關(guān)于中心行（列）對稱的兩行（列）的各數(shù)之平方和相等.此猜想正確嗎？不妨嘗試著證明一下： 圖 10證明： 設(shè)（10）是一個33幻方,則,設(shè),則,所以 所以 = = =所以 同理可證 .從而,上述猜想是正確的.第二章 低階幻方 三階幻方三階幻方是最簡單的幻方由1,2,3,4,5,6,7,8,9 九個數(shù)字組成的一個三行三列的矩陣,其對角線,橫行,縱向的數(shù)字的和都15.我們可以這樣想：1+9=10,2+8=10,3+7=10,4+6= 15,可確定中心格應(yīng)填5,這四組數(shù)應(yīng)分別填在橫,若填兩對奇數(shù),那么因三個奇數(shù)的和才可能得奇數(shù),一對奇數(shù),其余格里再填奇數(shù)就很容易了,4 9 2 3 5 7 8 1 6 圖21三階幻方的解法第一種：楊輝法對洛書的構(gòu)造方法“九子斜排,上下對易,左右相更,四維挺出”,觀下圖22自明： 1 9 4 2 4 2 7 5 3 3 5 7 8 6 8 6 9 1 九子斜排（a） 上下對易,左右相更（b）4 9 2 4 9 2 3 5 7 3 5 7 8 1 6 8 1 6 四維挺出（c） 四方收攏（d） 圖22 洛書幻方的生成第二種：九宮圖也是3階幻方的別稱,三階幻方就是著名的洛書,他的排列是“戴九履一,右三左七,二四為肩,六八為足,五居中央（9在上中,7在左中,2在左上,4在右上,6在左下,8在右下）” 9 9 7 3 1 1 戴九履一 （1） 右三右七（2）2 9 4 2 9 4 7 3 7 3 1 6 6 1 8 二四為肩（3） 六八為足（4） 2 9 4 7 5 3 6 1 8 五居中央（5）第三種：羅伯法：最小的數(shù)據(jù)上行中央,依次向右上方斜填,上出框往下寫,右出框往左填,排重便在下格填,右上排重一個樣8 1 6 3 5 7 4 9 2 ,其中為幻方的階數(shù),所求的數(shù)為. 四階幻方 楊輝稱4階幻方為“花十六圖”或“四四圖”,一個頗為著名的幻方是印度太蘇神廟石碑上的幻方,如圖23,不但每行每列每條對角線上的數(shù)字和為34,而且有20組某四行四列交叉點上的四個數(shù)字,它們的和也都為34,例如9+2+15+8=,所得到的正方形排列仍是一個幻方4 9 5 16 14 7 11 2 15 6 10 3 1 12 8 13 圖23 楊輝4階幻方四階幻方的解法：楊輝4階幻方的生成方法是最簡單的,如；1) 4階陰圖是把這個數(shù)字按順序從上到下,自右至左填入4乘4的方陣.2) 內(nèi)外四個角對角上互補的數(shù)相易,（方陣分為兩個正方形,外大內(nèi)小,然后把大正方形的四個對角上的數(shù)字對換,小正方形四個對角上的數(shù)字對換）即（1 ,16）（4 ,13）互換 （6 ,11）（7 ,10）互換13 9 5 1 14 10 6 2 15 11 7 3 16 12 8 4 圖24其陽圖則是將陰圖逆時針轉(zhuǎn)90176。5=65,因此,.） 六階幻方6階幻方是個數(shù)字排列成下面的形式,使每一行,每一列,每條對角線上的六個數(shù)字和均為111的幻方.六階幻方的制作步驟：,將1～36這36個數(shù)中間的16個數(shù)11～26排成一個四階幻方.,使相對應(yīng)的兩個數(shù)的和均為37.小數(shù)組： 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 得到圖34.1141541312818111052711141276936101513231616954 圖33 圖34 圖34是用環(huán)形法做出的4階對稱幻方.（2k階,k為奇數(shù)）,若有6階對稱幻方,：A B C D E F G H K L M N P Q R S T V 37V 37T 37S 37R 37Q 37P 37N 37M 37L 37K 37H 37G 37F 37E 37D 37C 37B 37A 圖 35 將后5式相加減去第1式得到因為上式左邊恒為偶數(shù),右邊為奇數(shù),故不可能成立,. 圓筒幻方一個階幻方,如果不但各行各列,而且對角線組的每條線上各數(shù)的和都等于幻方常數(shù),則稱為圓筒幻方.下面討論圓筒幻方的作法: ,第一列的數(shù)為1,6,11,16, 馬步（向左11格向下2格）填寫6,11,16,21 （如圖38所示）,.1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 16 11 12 13 14 15 6 16 17 18 19 20