【正文】 角下沖，求剛爆炸的這兩塊碎片的速率各為多少？[解答] 炮彈在最高點(diǎn)的速度大小為v = v0cosθ，方向沿水平方向．v0θvv`v`45176。圓弧時(shí)，馬對(duì)雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？[解答]取弧長(zhǎng)增加的方向?yàn)檎较?，弧位移的大小為ds = Rdθ．重力的大小為G = mg，方向豎直向下，與位移元的夾角為π + θ，所做的功元為，積分得重力所做的功為．摩擦力的大小為f = μkN = μkmgcosθ，方向與弧位移的方向相反，所做的功元為，積分得摩擦力所做的功為．要使雪橇緩慢地勻速移動(dòng)，雪橇受的重力、摩擦力和馬的拉力就是平衡力，即 ，或者 ．拉力的功元為， 拉力所做的功為．由此可見(jiàn)：重力和摩擦力都做負(fù)功，拉力做正功．3．8 一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)拴在細(xì)繩的一端，繩的另一端固定，此質(zhì)點(diǎn)在粗糙水平面上作半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)質(zhì)點(diǎn)最初的速率是v0，當(dāng)它運(yùn)動(dòng)1周時(shí)，其速率變?yōu)関0/2，求：（1）摩擦力所做的功；（2）滑動(dòng)摩擦因數(shù)；（3）在靜止以前質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了多少圈？[解答] （1）質(zhì)點(diǎn)的初動(dòng)能為E1 = mv02/2，末動(dòng)能為E2 = mv2/2 = mv02/8，動(dòng)能的增量為ΔEk = E2 – E1 = 3mv02/8，這就是摩擦力所做的功W．（2）由于dW = fds = μkNds = μkmgrdθ，積分得．由于W = ΔE，可得滑動(dòng)摩擦因數(shù)為．（3）在自然坐標(biāo)中，質(zhì)點(diǎn)的切向加速度為at = f/m = μkg，根據(jù)公式vt2 – vo2 = 2ats，可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)為，圈數(shù)為 n = s/2πr = 4/3．[注意]根據(jù)用動(dòng)能定理，摩擦力所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量fs = ΔE k，可得 s = ΔE k/f，由此也能計(jì)算弧長(zhǎng)和圈數(shù)。．求當(dāng)物體A由靜止下滑時(shí)，能使彈簧長(zhǎng)度產(chǎn)生的最大壓縮量是多大？[解答]取彈簧自然伸長(zhǎng)處為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的零勢(shì)點(diǎn)，由于物體A和彈簧組成的系統(tǒng)只有保守力做功，所以機(jī)械能守恒，當(dāng)彈簧壓縮量最大時(shí)，可得方程，整理和一元二次方程，解得= (m)（取正根）．3．10 一個(gè)小球與另一質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生彈性碰撞．如果碰撞不是對(duì)心的，試證明：碰撞后兩小球的運(yùn)動(dòng)方向彼此垂直．p1p2θp0[證明]設(shè)一個(gè)小球碰撞前后的速度大小分別為v0和v1，另一小球的在碰撞后的速度大小為v2，根據(jù)機(jī)械能守恒得，即 ；根據(jù)動(dòng)量守恒得，其中各動(dòng)量的大小為p0 = mv0、p1 = mv1和p2 = mv2，對(duì)矢量式兩邊同時(shí)平方并利用得，即化簡(jiǎn)得，結(jié)合機(jī)械能守恒公式得2v1v2cosθ = 0，由于v1和v2不為零，所以θ = π/2，即碰撞后兩小球的運(yùn)動(dòng)方向彼此垂直．證畢．l = m2m1O3．11 如圖所示，繩的另一端O固定．把繩拉到水平位置后，再把它由靜止釋放，求碰撞后鋼球繼續(xù)運(yùn)動(dòng)能達(dá)到的最大高度．[解答]鋼球下落后、碰撞前的速率為．鋼球與鋼塊碰撞之后的速率分別為v1`和v1`，根據(jù)機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒得方程，．整理得．將上式除以下式得v1 + v1` = v2`，代入整理的下式得，解得 ．碰撞后鋼球繼續(xù)運(yùn)動(dòng)能達(dá)到的最大高度為= (m)．[討論]如果兩個(gè)物體的初速率都不為零，發(fā)生對(duì)心彈性碰撞時(shí)，同樣可列出機(jī)械能和動(dòng)量守恒方程，．同理可得．從而解得，或者；將下標(biāo)1和2對(duì)調(diào)得，或者．后一公式很好記憶，其中代表質(zhì)心速度．3．12 一質(zhì)量為m的物體，從質(zhì)量為M的圓弧形槽頂端由靜止滑下，設(shè)圓弧形槽的半徑為R，張角為π/2，如圖所示，所有摩擦都忽略，求：mMABRvV（1）物體剛離開(kāi)槽底端時(shí)，物體和槽的速度各是多少？（2）在物體從A滑到B的過(guò)程中，物體對(duì)槽所做的功W；（3）物體到達(dá)B時(shí)對(duì)槽的壓力．[解答]（1）物體運(yùn)動(dòng)到槽底時(shí)，根據(jù)機(jī)械能定律守恒得，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得 0 = mv + MV．因此，解得，從而解得．（2）物體對(duì)槽所做的功等于槽的動(dòng)能的增量．（3）物體在槽底相對(duì)于槽的速度為，物體受槽的支持力為N，則，因此物體對(duì)槽的壓力為．3．13 在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)觀察到相距很遠(yuǎn)的一個(gè)質(zhì)子（質(zhì)量為mp）和一個(gè)氦核（質(zhì)量為4mp）沿一直線相向運(yùn)動(dòng)；速率都是v0，求兩者能達(dá)到的最近距離．[解答] 當(dāng)兩個(gè)粒子相距最近時(shí)，速度相等，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得4mpv0 mpv0 = (4mp + mp)v，因此v = 3v0/5．質(zhì)子和氦核都帶正電，帶電量分別為e和2e，它們之間的庫(kù)侖力是保守力．根據(jù)能量守恒定律得，因此，所以最近距離為．lθm3．14 如圖所示，有一個(gè)在豎直平面上擺動(dòng)的單擺．問(wèn)：（1）擺球?qū)覓禳c(diǎn)的角動(dòng)量守恒嗎？（2）求出t時(shí)刻小球?qū)覓禳c(diǎn)的角動(dòng)量的方向，對(duì)于不同的時(shí)刻，角動(dòng)量的方向會(huì)改變嗎？（3）計(jì)算擺球在θ角時(shí)對(duì)懸掛點(diǎn)角動(dòng)量的變化率．lmgNθ[解答]（1）由于單擺速度的大小在不斷發(fā)生改變，而方向與弧相切，因此動(dòng)量矩l不變；由于角動(dòng)量L = mvl，所以角動(dòng)量不守恒．（2）當(dāng)單擺逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)，角動(dòng)量的方向垂直紙面向外；當(dāng)單擺順時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)，角動(dòng)量的方向垂直紙面向里，因此，在不同的時(shí)刻，角動(dòng)量的方向會(huì)改變．（3）質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量的變化率等于質(zhì)點(diǎn)所受合外力對(duì)同一點(diǎn)的力矩，因此角動(dòng)量的變化率為．3．15 證明行星在軌道上運(yùn)動(dòng)的總能量為．式中M和m分別為太陽(yáng)和行星的質(zhì)量，r1和r2分別為太陽(yáng)和行星軌道的近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的距離．r1r2v1v2[證明]設(shè)行星在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度分別為v1和v2，由于只有保守力做功，所以機(jī)械能守恒，總能量為 （1）和 ． （2）它們所組成的系統(tǒng)不受外力矩作用，所以行星的角動(dòng)量守恒．行星在兩點(diǎn)的位矢方向與速度方向垂直，可得角動(dòng)量守恒方程mv1r1 = mv2r2，即 v1r1 = v2r2． (3)將（1）式各項(xiàng)同乘以r12得Er12 = m(v1r1)2/2 GMmr1， (4)將（2）式各項(xiàng)同乘以r22得Er22 = m(v2r2)2/2 GMmr2， (5)將（5）式減（4）式，利用（3）式，可得E(r22 r12) = GMm(r2 r1)， (6)由于r1不等于r2，所以（r2 + r1)E = GMm，故 ． 證畢．3．16 我國(guó)第一顆人造地于衛(wèi)星的質(zhì)量為173kg，其近地點(diǎn)高度為439km，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度為2 384km，求它的軌道總能量．[解答]地球半徑R0 = 6371km，因此r1 = R0 + h1，r2 = R0 + h2．根據(jù)萬(wàn)有引力定律，在地球表面有，因此，根據(jù)上題的結(jié)果可得衛(wèi)星的軌道總能量為= 109(J)．*3．17第四章 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)P109．R1R2OO`H4．1 質(zhì)量為M的空心圓柱體，質(zhì)量均勻分布，其內(nèi)外半徑為R1和R2，求對(duì)通過(guò)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．[解答]設(shè)圓柱體的高為H，其體積為V = π(R22 – R12)h，體密度為ρ = M/V．在圓柱體中取一面積為S = 2πRH，厚度為dr的薄圓殼，體積元為dV = Sdr = 2πrHdr，其質(zhì)量為dm = ρdV，繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dI = r2dm = 2πρHr3dr，總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為．4．2 一矩形均勻薄板，邊長(zhǎng)為a和b，質(zhì)量為M，中心O取為原點(diǎn)，坐標(biāo)系OXYZ如圖所示．試證明：（1）薄板對(duì)OX軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為；（2）薄板對(duì)OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為．a(chǎn)ObXYZ[證明] 薄板的面積為S = ab，質(zhì)量面密度為σ = M/S．（1）在板上取一長(zhǎng)為a，寬為dy的矩形元，其面積為dS = ady，其質(zhì)量為dm =σdS，繞X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dIOX = y2dm = σay2dy，積分得薄板對(duì)OX軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為．同理可得薄板對(duì)OY軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為．a(chǎn)ObXYZZ`O`yxr（2）方法一：平行軸定理．在板上取一長(zhǎng)為b，寬為dx的矩形元，其面積為dS = bdx，質(zhì)量為dm = σdS，繞過(guò)質(zhì)心的O`Z`軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于繞OX軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dIO`Z` = b2dm/12．根據(jù)平行軸定理，矩形元對(duì)OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dIOZ = x2dm + dIO`Z` = σbx2dx + b2dm/12，積分得薄板對(duì)OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為．方法二：垂直軸定理．在板上取一質(zhì)量元dm，繞OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dIOZ = r2dm．由于r2 = x2 + y2，所以dIOZ = (x2 + y2)dm = dIOY + dIOX，因此板繞OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為．4．3 一半圓形細(xì)桿，半徑為R，質(zhì)量為M，求對(duì)過(guò)細(xì)桿二端AA`軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．[解答]半圓的長(zhǎng)度為θAA`RC = πR，質(zhì)量的線密度為λ = M/C．在半圓上取一弧元ds = Rdθ，其質(zhì)量為dm = λds，到AA`軸的距離為r = Rsinθ，繞此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dI = r2dm = λR3sin2θdθ，半圓繞AA`軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為4．4 如圖所示，在質(zhì)量為M，半徑為R的勻質(zhì)圓盤(pán)上挖出半徑為r的兩個(gè)圓孔．圓孔中心在圓盤(pán)半徑的中點(diǎn)．求剩余部分對(duì)大圓盤(pán)中心且與盤(pán)面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．[解答]大圓的面積為OrRrS = πR2，質(zhì)量的面密度為σ = M/S．大圓繞過(guò)圓心且與盤(pán)面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IM = MR2/2．小圓的面積為s = πr2，質(zhì)量為m = σs，繞過(guò)自己圓心且垂直圓面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IC = mr2/2，根據(jù)平行軸定理，繞大圓軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Im = IC + m(R/2)2．，剩余部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為．OF4．5 飛輪質(zhì)量m = 60kg，半徑R = ，繞水平中心軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為900rm2，軸承無(wú)摩擦．求F=98NP=98Nm(a)(b)(（1）飛輪的角加速度．（2）繩子拉下5m時(shí)，飛輪的角速度和動(dòng)能．（3）將重力P = 98N的物體掛在繩端，如圖（b）所示，再求上面的結(jié)果．[解答]（1）恒力的力矩為M = Fr = (Ns1)．(3)物體的質(zhì)量為m = P/g = 10(kg)．設(shè)繩子的張力為T(mén)，則P – T = ma，Tr = Iβ．由于a = βr，可得Pr = mr2β + Iβ，解得角加速度為= (radm1．它的一端固定，另一端通過(guò)一條細(xì)線繞過(guò)定滑輪和一個(gè)質(zhì)量為m1 = 80g的物體相連，如力產(chǎn)所示．定滑輪可看作均勻圓盤(pán)，它的半徑為r = ，質(zhì)量為m = 100g．先用手托住物體m1，使彈簧處于其自然長(zhǎng)度，然后松手．求物體m1下降h = ？忽略滑輪軸上的摩擦，并認(rèn)為繩在滑輪邊上不打滑．[解答]根據(jù)機(jī)械能守恒定律可列方程，其中I = mr2/2，ω = v/r，可得2m1gh – kh2 = m1v2 + mv2/2，解得= (ms1，當(dāng)兩者最接近時(shí)，便函拉起手來(lái)，開(kāi)始繞質(zhì)心作圓周運(yùn)動(dòng)，．求該瞬時(shí)：（1）系統(tǒng)對(duì)通過(guò)質(zhì)心的豎直軸的總角動(dòng)量；（2）系統(tǒng)的角速度；（3）兩人拉手前、后的總動(dòng)能．這一過(guò)程中能量是否守恒？vBrvAmAmBrArB[解答]（1）設(shè)質(zhì)心距A的平行線為rA，距B的平行線為rB，則有rA + rB = r，根據(jù)質(zhì)心的概念可得mArA = mBrB，解方程組得，．兩運(yùn)動(dòng)員繞質(zhì)心的角動(dòng)量的方向相同，他們的總角動(dòng)量為= 630(kgs1)．將地球看成一個(gè)良好的參考系，在南極上看赤道上的鐘做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在赤道上看南極的鐘做反向的勻速直線運(yùn)動(dòng)．南極和赤道上的鐘分別用A和B表示，南極參考系取為S，赤道參考系取為S`．A鐘指示S系中的本征時(shí)，同時(shí)指示了B鐘的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，因此又指示S`系的運(yùn)動(dòng)時(shí)．同理，B鐘指示S`系中的本征時(shí)，同時(shí)指示了A鐘的反向運(yùn)動(dòng)時(shí)間，因此又指示S系的運(yùn)動(dòng)時(shí)．方法一：以S系為準(zhǔn)．在S系中，A鐘指示B鐘的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即運(yùn)動(dòng)時(shí)Δt=50108365246060=1016(s)．B鐘在S`中的位置不變的，指示著本征時(shí)Δt`．A鐘的運(yùn)動(dòng)時(shí)Δt和B鐘的本征時(shí)Δt`之間的關(guān)系為，可求得B鐘的本征時(shí)為，因此時(shí)間差為 =105(s)．在南極上看，赤道上的鐘變慢了．方法二：以S`系為準(zhǔn)．在S`系中，B鐘指示A鐘的反向運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即運(yùn)動(dòng)時(shí)Δt`=50108365246060=1016(s)．A鐘在S中的位置不變的，指示著本征時(shí)Δt．B鐘的運(yùn)動(dòng)時(shí)Δt`和A鐘的本征時(shí)Δt之間的關(guān)系為，可求得A鐘的本征時(shí)為，因此時(shí)間差為 =105(s)．在赤道上看，南極上的鐘變慢了．[注意]解此題時(shí)，先要確定參考系，