【正文】 2 1 .2nn nbba??? ? ? ?時綜上所述 11 nn nba???? 例 6． 數(shù)列 {an}中， 212,a t a t??（ 0?t 且 1?t ）．函數(shù) 1])1[(3)( 131 ????? ?? nnn aatxaxf )2( ?n xt? 是的一個極值點． （ 1）證明數(shù)列 1{}nnaa? ? 是等比數(shù)列，并求數(shù)列 {}na 的通 項 公式； （ 2）記 12(1 )n nb a??，當(dāng) 2?t 時，數(shù)列 {}nb 的前 n 項和為 nS ，求使 2020?nS 的 n 的最小值； （ 3）當(dāng) 2?t 時，是否存在指數(shù)函數(shù) )(xg ，使得對于任意的正整數(shù) n 有 ?? ? ???kk kk aakg1 1 31)1)(1( )( 成立？若存在，求出滿足條件的一個 )(xg ；若不存在，請說明理由． 【解】 （ 1） 21139。 B． 1 3 2 1, , , ,na a a ? 或 2 4 2, , , ,na a a 是等比數(shù)列。而且往往還以解答題的形式出現(xiàn)，所以我們在復(fù)習(xí)時應(yīng)給予重視。江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 1 頁 共 20 頁 數(shù)列 （ 5課時） 一 【 本章知識結(jié)構(gòu) 】 二 【 高考要求 】 1．了解數(shù)列有關(guān)概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式） . 2．理解等差（比）數(shù)列的概念，掌握等差（比）數(shù)列的通項公式與前 n 項和的公式 . 并能運用這些知識來解決一些實際問題 ． 三 【 熱點分析 】 1． 數(shù)列在歷年高考中都占有較重要的地位，一般情況下都是一個客觀性試題加一個解答題，分值占整個試卷的 10%左右 .客觀性試題主要考查等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前 n 項和公式 等內(nèi)容，對基本的計算技能要求比較高，解答題大多以考查數(shù)列內(nèi)容為主，并涉及到函數(shù)、方程、不等式知識的綜合性試題，在解題過程中通常用到等價轉(zhuǎn)化，分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，是屬于中高檔難度的題目 . 2． 有關(guān)數(shù)列題的命題趨勢 ： （ 1）數(shù)列是特殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認(rèn)識函數(shù)和數(shù)列的重要工具，三者的綜合求解題是對基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗，而三者的求證題所顯現(xiàn)出的代數(shù)推理是近年來高考命題的新熱點 ； （ 2）數(shù)列推理題是新出現(xiàn)的命題熱點 .以往高考常使用主體幾何題來考查邏輯推理 能力，近兩年在數(shù)列題中也加強 等差與等比數(shù)列綜合 的考查 ； 3． 熟練掌握、靈活運用等差、等比數(shù)列的性質(zhì) 。近 幾年的高考數(shù)列試題不僅考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了學(xué)生的各種能力。 C． 1 3 2 1, , , ,na a a ? 和 2 4 2, , , ,na a a 均是等比數(shù)列。( ) 3 3 [ ( 1 ) ] ( 2)n n nf x a x t a a n??? ? ? ? ?．由 題意 0)( ?? tf ， 即 2113 ( ) 3 [ ( 1 ) ] ( 2)n n na t t a a n??? ? ? ?， ∴ 11( ) ( 2)n n n na a t a a n??? ? ? ?， ∵ 0t? 且 1t? ， ∴ 數(shù)列 1{}nnaa? ? 是以 2tt? 為首項， t 為公比的等比數(shù)列， 211 2 13 2 1( ) ( 1 ) , ( 1 ) ,( 1 ) , ( 1 )nnnnnnna a t t t t t a a t ta a t t a a t t????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 以上各式兩邊分別相加得 211 ( 1 ) ( )nna a t t t t ?? ? ? ? ? …， ∴ ( 2)nna t n??（ 累加法求通項） 當(dāng) 1n? 時， 上式也成立， ∴ nnat? （ 2）當(dāng) 2?t 時，12 ( 2 1) 1222nn nnb ??? ? ? 2112112)2 121211(2 12??????????? ? nnn nnS ? .21222)211(22 nn nn ??????? 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 12 頁 共 20 頁 由 2020nS ? ，得 12 2 2 ( ) 2 0 0 82 nn ? ? ?， 1( ) 10052 nn??， 當(dāng) 111 0 0 4 , ( ) 1 0 0 5 , 1 0 0 5 , ( ) 1 5 0 022nnn n n n? ? ? ? ? ?時 當(dāng) 時， 因此 n 的最小值為 1005． （ 3） ∵1111 1 1 1 1()( 1 ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1k k k k kkkaa ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?（裂項相消） 令 ( ) 2kgk? ，則有：11( ) 1 1( 1 ) ( 1 ) 2 1 2 1kkkkgkaa ?? ??? ? ? ? 則11111( ) 1 1( ( )( 1 ) ( 1 ) 2 1 2 1nnk k kkkkgkaa ????? ??? ? ? ??? 2 2 3 11 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1nn ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?…11 1 13 2 1 3n?? ? ?? 即 存在 函數(shù) ( ) 2xgx? 滿足條件． 例 7． 已 知曲線 C ： )0(2 ?? xxy 過 C 上的點 )1,1(1A 作曲線 C 的切線 1l 交 x 軸于點 1B ，再過 1B 作y 軸的平行線交曲線 C 于點 2A ，再過 2A 作曲線 C 的切線 2l 交 x 軸于點 2B ，再過 2B 作 y 軸的平行線交曲線 C 于點 3A ，?，依次作下去，記點 nA 的橫坐標(biāo)為 )( *Nnan ? ． （Ⅰ）求數(shù)列 {}na 的通項公式； （Ⅱ）記 nn anb )28( ?? ，設(shè)數(shù)列 }{nb 的前 n 項和為 nT ，求證： 40 ?? nT ． 【 解 】 (1) 因為 2| 11 ?? ?xyk ，所以過點 )1,1(1A 的切線 1l ： 12 ?? xy ，則 211?a 設(shè)過點 ),( 2nnn aaA 的切線為 nl ： )(22 nnn axaay ??? ，即 22 nn axay ?? ， 令 0?y ，得nn aa 211 ??， 所以數(shù)列 {}na 是首項 211?a，公比 21?q 的等比數(shù)列； nna )21(? （ 2） nn anb )28( ??1242 28 ????? nn nn nn bbbbT ????? ?321 132 242 1212213 ????????? n n?（利 用錯位相減法求和） nnn nnT 24232 121222321 1432 ?????????? ?? 作差得：nnn nT 242 12 12 12 12 1321 1432 ?????????????? ?? 4242 12 12 12 12 11 1432 ???????????????? ? nn n? 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 13 頁 共 20 頁 424211))21(1(??????? nn nnn2 22 ???， 42 24 1 ???? ?nn nT， 因為 22)11(2 110 ????????? ? nCCCC nnnnnnnn ?， 所以 42 22 21 ????? nnn n，所以 40 ?? nT 例 8． 已知點 (1, 0) , (0,1)AB和互不相同的點 1P ， 2P ， 3P ，?， nP 滿足 OBbOAaOP nnn ?? ? ?*nN? 其中 { } { }nnab、 分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列， O 為坐標(biāo)原點，若 1P 是線段 AB 的中點 ． （ 1）求 11,ab的值； （ 2）點 1P ， 2P ， 3P ，?， nP ，?能否共線？證明你的結(jié)論； （ 3）證明：對于給定的公差不零的 {}na ，都能找到唯一的一個 {}nb ，使得 1P ， 2P ， 3P ，?， nP ，?，都在一個指數(shù)函數(shù)的圖象上 ． 【 解 】 （ 1） 1P 是線段 AB 的中點 OBOAOP21211 ??? 又 OBbOAaOP 111 ?? ，且 OBOA, 不共線， 由平面向量基本定理，知： 2111 ??ba (2) 由 *( ) ( , )n n n n n nO P a O A b O B n N O P a b? ? ? ? ? 設(shè) }{na 的公差為 d ， }{nb 的公比為 q ，則由于 1P ， 2P ， 3P ，?， nP ，?互不相同，所以 0?d ， 1?q 不會同時成立； 若 0?d ，則 )(21 *1 Nnaa n ???， 1P ， 2P ， 3P ，?， nP ，?都在直線 21?x 上； 若 1?q ，則 12nb?為常數(shù)列 ， 1P ， 2P ， 3P ，?， nP ，?都在直線 21?y 上； 若 0?d 且 1?q ， 1P ， 2P ， 3P ，?， nP ，?共線 ? 1nnPP? ? 11( , )n n n na a b b????與 1 1 1( , )n n n n n nP P a a b b? ? ?? ? ?共線（ *,1 Nnn ?? ） 11( ) ( )n n n na a b b??? ? ? ?11( )( ) 0n n n na a b b??? ? ? 1()nnd b b?? ? ? 1( ) 0nnd b b ??? 1()nnbb?? ? ? 1()nnbb?? 1q??與 1?q 矛盾， ∴當(dāng) 0?d 且 1?q 時， 1P ， 2P ， 3P ，?， nP ，?不共線。從 C 上的點 ),( nnn yxQ 作 x 軸的垂線，交 nC 于點 nP ，再從點 nP 作 y 軸的垂線，交 C 于點 ),( 111 ??? nnn yxQ ，設(shè) 11?x ，nnn xxa ?? ?1 1??? nnn yyb ． （ I）求 21, 的坐標(biāo)； （ II）求數(shù)列 ??na 的通項公式； （ III）記數(shù)列 ? ?nn ba ? 的前 n 項和為 nS ，求證： 31?nS． 【 解 】 （ 1）由題意得知 )1,1(1Q ， )32,1(1P， )32,23(2Q （ 2） ),( nnn yxQ? ， ),( 111 ??? nnn yxQ ，點 nP 的坐標(biāo)為 ),( 1?nn yx 1, ?nn ? 在曲線 C 上，nn xy1?? ，111?? ? nn xy 又 nP 在曲線 nC 上 ，nnn xy ?? ?? 211（點數(shù)列的常用作法） nnn xx ?? ??? 21 nna ??? 2 （ 3） ????? ??? )()( 211 nnnnn xxxxx ?? + 112 )( xxx ?? 1222 1)2()1( ????? ????? ??nn nn?????? 122211)21(1 )11(2)()(111 ???? ????????nnnnnnnnn xxyyxxba )22 122 1(2 1 nnn ??? ???? )122()22( 1 ?????? nn ? nn 2222 ??? ， 3122 ??? n 江西省于都中學(xué) 2020 屆高三第二輪 復(fù)習(xí)資料 (數(shù)列 ) 第 19 頁 共 20 頁 nnn ba 23 1????（放縮成等比 數(shù)列） nnnn bababaS 23 123 123 1 22211 ??????????? ???? 31)211(31211)21(161 ??????? nn 【練習(xí) 7】 在 m 個不同數(shù)的排列 nPPP ?21 中，若