【正文】 0c1111 ??? Δ? （ b）基本結構 X1 3） 計算系數(shù)和自由項 。 將系數(shù)和自由項代入力法方程 ， 解得 ， ?? 311c113lEIΔX ???5） 繪制內力圖 。 11 XMM ?（ d） M圖 對于圖 (a)所示的超靜定梁 ， 若去掉 A支座處限制轉動的約束 ， 代之以相應的多余未知力 ， 則得到的基本結構為如圖所示的簡支梁 。 (3) 由于沒有載荷作用 ， 所以結構的內力全部由多余未知力產生 。 因此 ， 超靜定結構的位移計算問題可以轉化為基本結構的位移計算問題 ， 即靜定結構的位移計算問題 。 綜合以上分析 ， 可以得出超靜定結構位移計算的步驟如下： (1)用力法求解超靜定結構 ， 求出其最后內力或繪出內力圖 ， 以此作為實際狀態(tài)； (2)將單位力施加在基本結構上作為虛擬狀態(tài) ， 并求出相應的內力或繪出內力圖； (3)按位移公式或圖乘法求超靜定結構的位移 。 2) 選取懸臂剛架為基本結構 ， 將單位力施加在基本結構上 ， 繪出 圖如圖 （ c） 所示 。 最后需要說明的是 ， 在計算超靜定結構的過程中 ， 經過的計算步驟和數(shù)學運算較多 ， 比較容易發(fā)生錯誤 。 正確的內力圖還應該滿足變形條件 。 對稱性的利用 用力法計算超靜定結構時 ， 要建立和解算力法方程 ， 結構的超靜定次數(shù)愈高 ， 需要計算力法方程中的系數(shù)和自由項的工作量就愈大 。 即對稱結構必須有對稱軸 。 其中圖（ a） 所示的剛架 ， 有一根對稱軸 。 即力的大小 、 方向相同 ， 力的作用點相對應 ［ 圖 （ b）］ 。 2. 對稱性的應用 （ 1） 選取對稱的基本結構 當結構對稱時 ， 應考慮選取對稱的基本結構進行計算 。 可以看出 ， 對稱的未知力 X1=1和 X2=1所產生的彎矩圖 圖和 圖以及變形圖是對稱的；反對稱的未知力 X3所產生的彎矩圖 圖和變形圖是反對稱的 。 = (a)MF圖 (b)MF圖 0d33F ?? ? ? sEI MMΔlF當結構上的荷載為對稱荷載時 ， 荷載作用于基本結構的 MF圖為對稱的如圖 （ a） 所示 。 這時由于 圖和 圖是對稱的 ， 因此有 1M 2M0d11F ?? ? ? sEI MMΔlF0d22F ?? ? ? sEI MMΔlF(b)MF圖 由力法方程的前兩式可知 ， 對稱的多余未知力X1=X2=0。 【 例 】 繪制圖示單跨對稱剛架的彎矩圖 。 在對稱荷載作用下 [圖 （ b） ]， 如果忽略橫梁軸向變形 ， 則只有橫梁承受軸向壓力 F/2， 其他桿件無內力 。 由于荷載是反對稱的 ， 在橫梁中點切口的兩側截面上彎矩和軸力 ， 都是對稱未知力 ， 所以均為零 。 分別繪出基本結構在荷載及 X1=1作用下的彎矩圖 MF圖和 圖 ， 如圖 （ e， f） 所示 。 F11 MXMM ??4166 Fh????416 26 Fh?????F 位移法 力法計算超靜定結構是以多余未知力為基本未知量 ， 當結構的超靜定次數(shù)較高時 ， 用力法計算比較麻煩 。 為了說明位移法的基本概念 ， 我們來研究圖（ a） 所示的等截面連續(xù)梁 。 B?B?B?B?因此 ， 如把結點 B的轉角 作為支座移動看待 ，則上述連續(xù)梁可轉化為兩個單跨超靜定梁 。 假設在結點 B處加入一附加剛臂 [圖 (a)]， 附加剛臂的作用是約束 B點的轉動 ， 而不能約束移動 ， 即相當于固定端 。 B?第二步 ， 在基本結構中 ， 只有荷載 q的作用 ，無轉角 Z1影響 ， 如圖 (b)所示 。 （ c） 第四步 ， 把基本結構的兩種情況疊加 ， 計算轉角 Z1。 如在圖 (c)中令 r11表示當 Z1=1時附加剛臂上的約束力矩 ， 即 R11= r11 它們的方向規(guī)定與 Z1方向相同為正 ， 反之為負 。 （ 2） 以增加附加約束后的一系列單跨超靜定梁的組合體作為位移法的基本結構 。 為了使用方便 ，對各種約束的單跨超靜定梁由荷載及支座移動引起的桿端彎矩和桿端剪力數(shù)值均列于表 ， 以備查用 。 轉角以順時針轉動為正 ，反之為負 。 圖 （ a） 所示剛架有兩個剛結點 ， 現(xiàn)在兩個剛結點都發(fā)生了角位移和線位移 ， 但在忽略桿件的軸向變形時 ， 這兩個線位移相等 ， 即獨立的結點線位移只有一個 ， 因此用位移法求解時 ， 該結構的基本未知量是兩個角位移 和 以及一個線位移 Δ。 若此體系是幾何不變體系 ， 則由此知道結構的所有結點均無獨立結點線位移 。因此 ， 在確定了基本未知量后 ， 就要增加附加約束以限制所有結點的位移 ， 把原結構轉化為一系列相互獨立的單跨超靜定梁的組合體 。 (b)基本結構 (a)原結構 需要強調說明：力法中的基本結構是從原結構中拆除多余約束而代之以多余未知力的靜定結構 。 圖 (a) 所示剛架有兩個基本未知量 ， 即結點 B的轉角 Z1和結點 C的水平位移 Z2。 先求出各桿的桿端力 ， 然后求約束中存在的約束力 R1F、 R2F[圖 (a)]。 于是我們把圖 (b)擴大 Z1倍 ， 即乘以 Z1 。 于是我們把圖 (c)擴大 Z2倍 ， 即乘以 Z2 。 可由結點隔離體和桿件隔離體的平衡條件確定 ， 得到各系數(shù)及自由項后 ， 代入位移法方程中 ， 即可解出各結點位移 Z Z2的值 。 2． 位移法計算舉例 上面討論了用位移法典型方程解算超靜定結構的解題思路和方法 ， 根據(jù)前面所述 ， 用位移法解超靜定結構的步驟可歸納如下： （ 1） 首先確定基本未知量 ， 增加阻止剛結點轉動和結點移動的附加約束 ， 從而形成基本結構； （ 2） 使基本結構承受原荷載 ， 并令附加約束發(fā)生與原結構相同的位移 ， 根據(jù)附加約束上的反力矩或反力等于零的條件 ， 建立位移法的典型方程； （ 3） 繪出基本結構的單位彎矩圖 圖與荷載彎矩圖 MF圖 ， 利用平衡條件求系數(shù)和自由項； （ 4） 解算典型方程 ， 求出各基本未知量； iM （ 5） 按疊加公式 繪出最后彎矩圖 ， 然后根據(jù)最后彎矩圖作出剪力圖并根據(jù)剪力圖繪出軸力圖 。 對于超靜定梁和無側移剛架這類無結點線位移結構用位移法求解最為方便 。 此超靜定梁有一個剛結點 B， 無結點線位移 。 令 ， 繪出 Z1=1和荷載單獨作用于基本結構上時的彎矩圖 圖和 MF圖 ， 如圖 (c， d)所示 。 由疊加公式 ， 求各桿端彎矩繪出最后 M圖 ， 如圖 (e)所示 。 從圖 (e)中取結點 B為隔離體 ， 驗算其是否滿足平衡條件 ∑MB =0 計算無誤。因此 ， 基本未知量為結點 1和 2處的轉角 Z1和 Z2，基本結構如圖 (b)所示 。 4EIi ?1M 2M圖)a( 1M 圖)c( FM圖)b( 2M 在圖 (a～ c)中分別利用結點的平衡條件可計算出系數(shù)和自由項如下： r11=20i ， r12=4i=r21 ， r22=12i ， R1F=40 ， R2F=0 圖)a( 1M 圖)c( FM圖)b( 2M 4) 解方程求基本未知量 。 在位移法計算中 ， 只需作平衡條件校核 。 這也是工程中常用的結構 。 【 解 】 1)確定基本未知量 ， 形成基本結構 。 得到基本結構如圖 (b)所示 。 分別繪出 Z1。 r11Z1+r12Z2+R1F=0 r21Z1+r22Z2+R2F=0 其中第二式是根據(jù)原結構結點 2上沒有水平約束力這一條件建立的 。 因此 ， 基本未知量為結點 1處的轉角 Z1和結點 2的水平位移 Z2。 下面舉例說明如何用位移法計算有側移結構 。 01 ?? M 02 ?? M0760710071601 ????? M07207202 ???? M 可知計算無誤。 由 疊加繪出最后 M圖 ， 如圖 (d)所示 。 由剛結點 2處附加剛臂約束力矩總和分別為零 ， 建立位移法方程為 r11Z1+r12Z2+R1F=0 r21Z1+r22Z2+R2F=0 (b)基本結構 z2 z1 3) 求系數(shù)和自由項 。 【 解 】 1)確定基本未知量 ， 形成基本結構 。 F11 MZMM ??(e)M圖 (f)FS 圖 6） 校核 。 1MR1F 利用結點的平衡條件可計算出系數(shù)和自由項如下： r11=7i 8 21FqlR ? 4) 解方程求基本未知量 。 (b)基本結構 (a)原結構 z1 F 2) 建立位移法方程 。 已知 F=2ql。 在位移法計算中 ， 由于位移條件自然滿足 ， 所以只需校核平衡條件 。 對于具有 n個基本未知量的結構 ， 則附加約束（ 附加剛臂或附加鏈桿 ） 也有 n個 ， 由 n個附加約束上的受力與原結構一致的平衡條件 ， 可建立 n個位移法方程 : 1M 2Mr11Z1+r12Z2+… +r1nZn+R1F=0 r21Z1+r22Z2+… +r2nZn+R2F=0 … … … … … … … rn1Z1+rn2Z2+… +rnnZn+RnF=0 上式稱為 位移法的典型方程 。 根據(jù)以上各種因素引起的附加約束上的約束力疊加后應與原結構一致 ，即各附加約束上的總約束力應等于零的條件 。 使基本結構在結點 C發(fā)生單位水平位移 Z2=1， 但結點 B仍被鎖住 。 使基本結構在結點 B發(fā)生單位轉角 Z1=1， 但結點 C仍被鎖住 。 (b)基本結構 (a)原結構 下面利用疊加原理建立位移法方程 。 雖然它們的形式不同 ，但都是原結構的代表 ， 其受力和變形與原結構是一致的 。 圖 (a)所示剛架有兩個剛結點 D和 E， 在忽略各桿件自身軸向變形的情況下 ， 兩結點有相同的線位移 ，所以只要在結點 D和 E處附加兩個剛臂 ， 以阻止兩個剛結點的轉動 ， 在結點 E處附加支座鏈桿以限制其線位移 。 例如圖 (a)所示結構 ， 鉸化結點后增加一根鏈桿可變?yōu)閹缀尾蛔凅w系 [圖 (b)]， 所以結點獨立線位移的數(shù)目為一 ， 整個結構的基本未知量為兩個角位移和一個獨立結點線位移 。 當結構的獨立結點線位移的數(shù)目由直觀的方法難以判斷時 ， 則可以采用 “ 鉸化結點 、 增加鏈桿 ”的方法判斷 。 在結構中 ， 一般情況下剛結點的角位移數(shù)目和剛結點的數(shù)目相同 ， 但結構獨立的結點線位移的數(shù)目則需要分析判斷后才能確定 。 表 中桿端彎矩的正 、 負號規(guī)定為：對桿端而言彎矩以順時針轉向為正 （ 對支座或結點而言 ， 則以逆時針轉向為正 ） ， 反之為負 [如圖所示 ]。 （ 4） 原結構的內力是荷載和結點位移共同下 ，在基本結構中產生的內力 。 代入位移法方程 ， 得 821FqlR ??lEIr 711 ? EIqlZ5631 ?（ c） （ b） 求出 Z1后 ， 將圖 (b， c)兩種情況疊加 ， 即得原結構的彎矩圖如圖 (d)所示 。Z1+ R1F =0 上式稱為 位移法方程 。 由于基本結構的受力和變形與原結構相同 ， 在原結構上沒有附加剛臂 ，故基本結構中附加剛臂上的約束力矩應為零 。 (b) 第三步 ， 施加力偶 ， 使基本結構的結點 B產生角位移 Z1如圖 (c)所示 。 我們把加入附加剛臂后的結構稱為位移法計算的 基本結構 。 B?B?B?B?下面分為四步討論如何計算轉角 的問題 。 由于 B點為剛性結點 ， 所以 ， 匯交于此點的各桿在該端將發(fā)生相同的轉角 。 位移法的基本概念 位移法是以結構的結點位移作為基本未知量 ，由平衡條件建立位移法方程求解結點位移 ， 利用桿端位移和桿端內力之間的關系計算桿件和結構的內力 ， 從而把超靜定結構的計算問題轉化為單跨超靜定梁的計算問題 。 代入力法方程 ， 設 ， 解得 lIhIk12?lFhkkX21661 ????6）